参考资料
Part.0 前置知识
0.1 增量
增量:在一段时间内,自变量取不同的值所对应的 函数值之差。
一个变量或函数的增量表示为 Δ。
例子:x 的增量表示为 Δx;f(x) 的增量表示为 Δf(x)。
0.2 极限
当 x 趋近于 x0 时,f(x) 会无限趋近于一个 确定 的值,这个值就是函数 f(x) 在 x0 处的极限。
- 例1. 求极限 x→+∞limx+33x−1。
x | 3x−1 | x+3 | (3x−1)/(x+3) |
---|
1 | 2 | 4 | 0.5 |
10 | 29 | 13 | 2.23076923077 |
100 | 299 | 103 | 2.90291262136 |
1000 | 2999 | 1003 | 2.99002991027 |
10000 | 29999 | 10003 | 2.99900029991 |
100000 | 299999 | 100003 | 2.999900003 |
不难发现,随着 x 趋近于 +∞,函数值逐渐趋近 3,所以 x→+∞limx+33x−1=3。
- 例2. 求极限 x→0limxsinx。
x | sinx | sin(x)/x |
---|
1 | 0.841470984808 | 0.841470984808 |
0.1 | 0.0998334166468 | 0.998334166468 |
0.01 | 0.00999983333417 | 0.999983333417 |
0.001 | 0.000999999833333 | 0.999999833333 |
0.0001 | 0.0000999999998333 | 0.999999998333 |
0.00001 | 0.00000999999999983 | 0.999999999983 |
不难发现,随着 x 趋近于 0,函数值逐渐趋近 1,所以 x→0limxsinx=1。(洛!)
0.3 切线
《人教版高中选修二》:在曲线 y=f(x) 上任取一点 P(x,f(x)),如果当点 P(x,f(x)) 沿着曲线 y=f(x) 无限趋近于点 P0(x0,f(x0)) 时,割线 P0P 无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线 y=f(x) 在点 P0 处的切线(tangent line)。
解释:切线是一条 恰好碰到 曲线上某一点的直线。
直线方程
常见的直线方程有 斜截式、两点式、点斜式、截距式、一般式 等。
斜截式 y=kx+b 即为一次函数。
直线与一次函数的区别:所有的一次函数都是直线,但平行于 y 轴的直线不是函数(例如直线 x=C,C 为常数)。
斜率计算
在初中阶段我们学过一次函数 y=kx+b,其中 k 就是直线的 斜率。
两点确定一条直线 y=kx+b,设两点分别为 A(x1,y1) 和 B(x2,y2)。
这里 x1,y1,x2,y2 为已知的常量,要求的未知数是斜率 k。
带入一次函数:y1=kx1+b,y2=kx2+b。
第二个减第一个:y2−y1=k(x2−x1)。
解得:k=x2−x1y2−y1=ΔxΔy。
所以斜率 k 等于两点纵横坐标之差之比,即纵横坐标增量之比。
切线也是直线,所以切线等斜率 k 也等于 ΔxΔy。
Part.1 定义和意义
假设函数 y=f(x) 在点 x0 处的邻域内有定义,当自变量 x 在 x0 处取得增量 Δx,相对应的函数取得增量 Δy,如果 ΔxΔy 在 Δx→0 时的极限存在,那么称函数 y=f(x) 在点 x0 处可导。
解释:导数就是函数在某点处的 瞬时变化率。
f(x) 的导数一般写作 f′(x) 或 y′,一个式子的的导数一般在最后加 ′(撇号).
例子:ax2+bx+c 的导数写作 (ax2+bx+c)′。
1.1 速度
平均速度和瞬时速度:
平均速度:一段路程的变化(Δs)和时间的变化(Δt)之比,即 V=ΔtΔs.
瞬时速度:瞬间路程的变化(Δs)和时间的变化(Δt)之比,此时 Δt→0,即 V=Δt→0limΔtΔs.
Tips:这里不区分“速度”和“速率”、“路程”和“位移”的区别。
1.2 瞬时变化率
瞬时变化率 和 瞬时速度 类似,即 f′(x)=Δx→0limΔxΔy.
函数在 x 处的函数值为 f(x),增加 Δx 后,函数值变成 f(x+Δx),所以增量(Δy)就是 f(x+Δx)−f(x).
所以 f(x) 的导数 f′(x)=Δx→0limΔxΔy=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x).
1.3 几何意义
f′(x)=Δx→0limΔxΔy
不难发现 ΔxΔy 就是切线斜率 k 的定义?所以导数又是 函数在某点处切线的斜率.
Part.2 举例
- f(x)=C(C 为常数),求 f′(x).
- f′(x)=Δx→0limΔxΔy=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)=Δx→0limΔxC−C=0.
- f(x)=x,求 f′(x).
- f′(x)=Δx→0limΔxΔy=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)=Δx→0limΔx(x+Δx)−x=Δx→0limΔxΔx=1.
- f(x)=x2,求 f′(x).
- f′(x)=Δx→0limΔxΔy=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)=Δx→0limΔx(x+Δx)2−x2=Δx→0limΔx2xΔx+Δx2=Δx→0lim2x+Δx=2x.
Tips:有限个无穷小量相加减结果是无穷小量,无穷小量乘或除以任意有限的量结果是无穷小量.
Part.3 常见初等函数导数公式
3.1 常量函数
- f(x)=C(C 为常数),f′(x)=0.
3.2 幂函数
- f(x)=xa(a∈R,a=1),f′(x)=axa−1.
Tips:f(x)=x1,f′(x)=(x−1)′=−x−2=−x21.
Tips:f(x)=x,f′(x)=(x0.5)′=0.5x−0.5=2x1.
3.3 指数函数
- f(x)=ax(a>0),f′(x)=axlna.
Tips:f(x)=ex,f′(x)=exlne=ex.
3.4 对数函数
- f(x)=logax(a>0 且 a=1),f′(x)=xlna1.
Tips:f(x)=lnx(a>0 且 a=1),f′(x)=logex=xlne1=x1.
3.5 三角函数
3.6 常用公式
-
C′=0(C 为常数).
-
(xa)′=axa−1(a∈R,a=1).
-
(ax)′=axlna(a>0).
-
(logax)′=xlna1(a>0 且 a=1).
-
(sinx)′=cosx.
-
(cosx)′=−sinx.
Part.4 导数的运算
4.1 函数和差的导数
- [f(x)±g(x)]′=f(x)′±g(x)′.
4.2 函数积的导数
- [f(x)⋅g(x)]′=f(x)′g(x)+f(x)g(x)′.
Tips:[k⋅f(x)]′=k′f(x)+kf′(x)=kf′(x)(k 为常数).
4.3 函数商的导数
- [g(x)f(x)]′=[g(x)]2f(x)′g(x)−f(x)g(x)′(g(x)=0).
Tips:[f(x)1]′=[f(x)]21′f(x)−f(x)′=−[f(x)]2f(x)′(f(x)=0).
4.4 链式法则(Chain rule)
假设有三个相互咬合的齿轮,分别对应转动角度为 x、g(x) 和 f(g(x))。
g′(x) 表示第二个齿轮相对于第一个齿轮的传动速度比,f′(g(x)) 表示第三个齿轮相对于第二个齿轮的传动速度比。
第一个齿轮的速度变化为 Δx,第三个齿轮的速度变化则是 f′(g(x))g′(x),所以复合函数的导数是各部分导数的乘积。
f′(g(x))=f′(g(x))g′(x)
4.5 常用公式
-
[f(x)±g(x)]′=f(x)′±g(x)′.
-
[f(x)⋅g(x)]′=f(x)′g(x)+f(x)g(x)′.
-
[g(x)f(x)]′=[g(x)]2f(x)′g(x)−f(x)g(x)′(g(x)=0).
Part.5 高阶导数
原函数为零阶导数,零阶导数的导数为一阶导数;一阶导数的导数为二阶导数;二阶导数的导数为三阶导数……
一个函数 f(x) 的 n 阶导数就是对原函数求导 n 次,一般写作 f(n)(x).
Tips:f(n)(x)=[f(n−1)(x)]′.
咕.