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求根公式

引入​

在中学阶段，我们就学习了二次方程的求根公式，但至此以后就再也没有讲过高次方程的求根公式。

而 伽罗瓦理论 指出，对于一般五次以及五次以上的方程，不存在一般的代数解，即五次方程没有求根公式。

那么，三次方程和四次方程的求根公式是什么呢？又是如何推导出来的？

提示

本文讨论的所有方程都是一元多项式方程，也就是说只有一个未知数。

代数基本定理​

任何一个复系数多项式方程都至少有一个复数根。

这个定理另外的两种等价描述：

  1. 任何一个 nn 次复系数多项式，都正好有 nn 个复数根（重根视为多个根）。
  2. 任何一个 nn 次复系数多项式，都可以因式分解为 nn 个复系数一次多项式的乘积。

韦达定理​

对于代数基本定理的第二种等价描述，我们不妨设多项式的 nn 个根分别为 x1,x2,⋯ ,xnx_1,x_2,\cdots,x_n，此时多项式可以分解为：

a(x−x1)(x−x2)⋯(x−xn)=0a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)=0

其中 aa 为多项式的最高次项系数。

当 xx 为第 ii 个根时，第 ii 项为 00，方程成立。

通过这个定理可以轻松证明韦达定理。

一次方程​

一般形式​

ax+b=0(a≠0)ax+b=0\left(a \ne 0 \right)

求根公式​

x=−bax=-\frac{b}{a}

二次方程​

一般形式​

ax2+bx+c=0(a≠0)ax^2+bx+c=0\left(a \ne 0 \right)

求根公式​

x1=−b+b2−4ac2a,x2=−b−b2−4ac2ax_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

推导过程​

方程两边同时除以 aa，使最高次项系数化为 11：

x2+bax+ca=0x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0
两种方法

移项：

x2+bax=−cax^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}

通过配方法，使方程左边变为一个式子的平方。

方程两边同时加上 (b2a)2\left(\frac{b}{2a}\right)^2：

x2+bax+(b2a)2=−ca+(b2a)2x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2

化简：

(x+b2a)2=b2−4ac4a2\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}

将平方转化为开根：

x+b2a=±b2−4ac4a2x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}

移项：

x=±b2−4ac2a−b2ax=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{b}{2a}

解得：

x=−b±b2−4ac2ax=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} x1=−b+b2−4ac2a,x2=−b−b2−4ac2ax_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

分类讨论​

令判别式：

Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac

若 Δ>0\Delta>0，则有两个不等实数根：

x1=−b+Δ2a,x2=−b−Δ2ax_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

若 Δ=0\Delta=0，则有两个相等实数根：

x1=x2=−b2ax_1=x_2=-\frac{b}{2a}

若 Δ<0\Delta<0，则有两个共轭复数根：

x1=−b2a+−Δ2ai,x2=−b2a−−Δ2aix_1=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}i,x_2=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}i
注意

根的判别式不适用于非实系数的二次方程。

三次方程​

一般形式​

ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)ax^3+bx^2+cx+d=0\left(a \ne 0 \right)

求根公式​

推导过程​

方程两边同时除以 aa，使最高次项系数化为 11：

x3+bax2+cax+da=0x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0

二次方程求根公式推导的核心，在于如何通过配方把平方转化为开根。

但三次方程无法直接配方，要先用换元法消除二次项。

令：

x←x−b3ax\gets x-\frac{b}{3a}
为什么是 −b3a-\frac{b}{3a}？

设三次函数：

f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+d

求导，得到一个二次函数：

f′(x)=3ax2+2bx+cf'(x)=3ax^2+2bx+c

对于任意二次函数都是轴对称的，对称轴为：

x=−b3ax=-\frac{b}{3a}

所以任意三次函数都是中心对称的，对称中心为：

(−b3a,f(−b3a))\left(-\frac{b}{3a},f\left(-\frac{b}{3a}\right)\right)

为了消除二次项，即 −b3a=0-\frac{b}{3a}=0，我们可以将函数平移 −b3a-\frac{b}{3a}，即：

x←x−b3ax\gets x-\frac{b}{3a}

代入：

(x−b3a)3+ba(x−b3a)2+ca(x−b3a)+da=0\left(x-\frac{b}{3a}\right)^3+\frac{b}{a}\left(x-\frac{b}{3a}\right)^2+\frac{c}{a}\left(x-\frac{b}{3a}\right)+\frac{d}{a}=0

展开：

x3+(ca−b23a2)x+(2b327a3−bc3a2+da)=0x^3+\left(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2}\right)x+\left(\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}\right)=0

令：

p=ca−b23a2,q=2b327a3−bc3a2+dap=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2},q=\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}

此时方程的最高次项系数为 11，并消除了二次项：

x3+px+q=0x^3+px+q=0

分类讨论​

根据 介值定理 三次方程至少有一个实数根：

介值定理：假设 f:[a,b]→Rf:[a,b]\to \mathbb{R} 为一连续函数。若一实数 uu 满足 (f(a)−u)(f(b)−u)≤0(f(a)-u)(f(b)-u)\le0，则存在一实数 c∈[a,b]c \in [a,b] 使得 f(c)=uf(c)=u。

四次方程​

五次及以上方程​

伽罗瓦理论指出，对于一般五次以及五次以上的方程，不存在一般的代数解。

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