最长上升子序列（LIS）

最长上升子序列：找到给定序列的一个子序列，使得这个子序列元素的数值依次递增，并且这个子序列的长度尽可能大。

参考资料

• 最长递增子序列 - 维基百科

二分查找

for(int i=1;i<=n;i++)
{
    int k=lower_bound(b+1,b+n+1,a[i])-b;
    b[k]=a[i];
    ans=max(ans,k);
}

树状数组

for(int i=1;i<=n;i++)
{
    int k=query(a[i]-1)+1;
    update(a[i],k);
    ans=max(ans,k);
}

例题

洛谷 B3637 最长上升子序列

洛谷 B3637 最长上升子序列

给定一个长度为 $n$ 的正整数序列 $a_i$，求最长上升子序列的长度。（$n\le5000,a_i\le10^6$）

二分查找

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ll=long long;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=5005;
int a[N],b[N];
int main()
{  
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=inf;
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int k=lower_bound(b+1,b+n+1,a[i])-b;
		b[k]=a[i];
		ans=max(ans,k);
	}
	cout<<ans<<'\n';
	return 0;
}

树状数组

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1000005;
int a[N],c[N];
void update(int u,int v)
{
	while(u<N)
	{
		c[u]=max(c[u],v);
		u+=u&-u;
	}
}
int query(int u)
{
	int res=0;
	while(u)
	{
		res=max(res,c[u]);
		u-=u&-u;
	}
	return res;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int k=query(a[i]-1)+1;
		update(a[i],k);
		ans=max(ans,k);
	}
	cout<<ans<<'\n';
	return 0;
}