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树链剖分

参考资料​

实现​

vector<int> G[N];
int fa[N],son[N],siz[N],dep[N];
int top[N],dfn[N],rnk[N],out[N];
int cnt=0;
void dfs1(int u)
{
	siz[u]=1;
	dep[u]=dep[fa[u]]+1;
	for(auto v:G[u])
	{
		if(v==fa[u])continue;
		fa[v]=u;
		dfs1(v);
		siz[u]+=siz[v];
		if(siz[v]>siz[son[u]])son[u]=v;
	}
}
void dfs2(int u,int t)
{
	top[u]=t;
	dfn[u]=++cnt;
	rnk[cnt]=u;
	if(son[u])dfs2(son[u],t);
	for(auto v:G[u])
	{
		if(v==fa[u]||v==son[u])continue;
		dfs2(v,v);
	}
	out[u]=cnt;
}

应用​

例题​

洛谷 P3384 【模板】重链剖分/树链剖分​

洛谷 P3384 【模板】重链剖分/树链剖分

给定一棵 nn 个结点的树，每个节点上包含一个数值，支持以下操作：

  • 1 x y z：表示将树从 xx 到 yy 结点最短路径上所有节点的值都加上 zz。
  • 2 x y：表示求树从 xx 到 yy 结点最短路径上所有节点的值之和。
  • 3 x z：表示将以 xx 为根节点的子树内所有节点值都加上 zz。
  • 4 x：表示求以 xx 为根节点的子树内所有节点值之和。
#include <bits/stdc++.h>
#define ls (u<<1)
#define rs (u<<1|1)
#define mid (l+r>>1)
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=100005;
vector<int> G[N];
int fa[N],son[N],siz[N],dep[N];
int top[N],dfn[N],rnk[N],out[N];
int mod,cnt=0;
void dfs1(int u)
{
	siz[u]=1;
	dep[u]=dep[fa[u]]+1;
	for(auto v:G[u])
	{
		if(v==fa[u])continue;
		fa[v]=u;
		dfs1(v);
		siz[u]+=siz[v];
		if(siz[v]>siz[son[u]])son[u]=v;
	}
}
void dfs2(int u,int t)
{
	top[u]=t;
	dfn[u]=++cnt;
	rnk[cnt]=u;
	if(son[u])dfs2(son[u],t);
	for(auto v:G[u])
	{
		if(v==fa[u]||v==son[u])continue;
		dfs2(v,v);
	}
	out[u]=cnt;
}
ll a[N],val[N<<2],tag[N<<2];
void gx(int u,ll v,int len)
{
	val[u]=(val[u]+v*len%mod)%mod;
	tag[u]=(tag[u]+v)%mod;
}
void push_up(int u)
{
	val[u]=(val[ls]+val[rs])%mod;
}
void push_down(int u,int l,int r)
{
	gx(ls,tag[u],mid-l+1);
	gx(rs,tag[u],r-mid);
	tag[u]=0;
}
void build(int u,int l,int r)
{
	if(l==r){val[u]=a[rnk[l]]%mod;return;}
	build(ls,l,mid);
	build(rs,mid+1,r);
	push_up(u);
}
void update(int u,int l,int r,int x,int y,ll v)
{
	if(x<=l&&r<=y){gx(u,v,r-l+1);return;}
	push_down(u,l,r);
	if(x<=mid)update(ls,l,mid,x,y,v);
	if(y>mid)update(rs,mid+1,r,x,y,v);
	push_up(u);
}
ll query(int u,int l,int r,int x,int y)
{
	if(x<=l&&r<=y)return val[u]%mod;
	push_down(u,l,r);
	ll res=0;
	if(x<=mid)res=(res+query(ls,l,mid,x,y))%mod;
	if(y>mid)res=(res+query(rs,mid+1,r,x,y))%mod;
	return res;
}
void update_path(int n,int x,int y,ll v)
{
	while(top[x]!=top[y])
	{
		if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
		update(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x],v);
		x=fa[top[x]];
	}
	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
	update(1,1,n,dfn[y],dfn[x],v);
}
ll query_path(int n,int x,int y)
{
	ll res=0;
	while(top[x]!=top[y])
	{
		if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
		res=(res+query(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]))%mod;
		x=fa[top[x]];
	}
	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
	res=(res+query(1,1,n,dfn[y],dfn[x]))%mod;
	return res;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	int n,m,r;
	cin>>n>>m>>r>>mod;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
	}
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		G[u].push_back(v);
		G[v].push_back(u);
	}
	dfs1(r);
	dfs2(r,r);
	build(1,1,n);
	while(m--)
	{
		int op,x,y;
		ll z;
		cin>>op;
		if(op==1)
		{
			cin>>x>>y>>z;
			update_path(n,x,y,z);
		}
		else if(op==2)
		{
			cin>>x>>y;
			cout<<query_path(n,x,y)<<'\n';
		}
		else if(op==3)
		{
			cin>>x>>z;
			update(1,1,n,dfn[x],out[x],z);
		}
		else if(op==4)
		{
			cin>>x;
			cout<<query(1,1,n,dfn[x],out[x])<<'\n';
		}
	}
	return 0;
}

洛谷 P2590 [ZJOI2008] 树的统计​

洛谷 P2590 [ZJOI2008] 树的统计

一棵树上有 nn 个节点，每个节点都有一个权值 wiw_i，支持以下操作：

  • CHANGE u t：把结点 uu 的权值改为 tt。
  • QMAX u v：询问从点 uu 到点 vv 的路径上的节点的最大权值。
  • QSUM u v：询问从点 uu 到点 vv 的路径上的节点的权值和。
#include <bits/stdc++.h>
#define ls (u<<1)
#define rs (u<<1|1)
#define mid (l+r>>1)
using namespace std;

const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=30005;
vector<int> G[N];
int fa[N],son[N],dep[N],siz[N];
int top[N],dfn[N],rnk[N],out[N];
int cnt=0;
void dfs1(int u)
{
	siz[u]=1;
	dep[u]=dep[fa[u]]+1;
	for(auto v:G[u])
	{
		if(v==fa[u])continue;
		fa[v]=u;
		dfs1(v);
		siz[u]+=siz[v];
		if(siz[v]>siz[son[u]])son[u]=v;
	}
}
void dfs2(int u,int t)
{
	top[u]=t;
	dfn[u]=++cnt;
	rnk[cnt]=u;
	if(son[u])dfs2(son[u],t);
	for(auto v:G[u])
	{
		if(v==fa[u]||v==son[u])continue;
		dfs2(v,v);
	}
	out[u]=cnt;
}
int a[N],val[N<<2],mx[N<<2];
void push_up(int u)
{
	val[u]=val[ls]+val[rs];
	mx[u]=max(mx[ls],mx[rs]);
}
void build(int u,int l,int r)
{
	if(l==r){val[u]=a[rnk[l]];mx[u]=a[rnk[l]];return;}
	build(ls,l,mid);
	build(rs,mid+1,r);
	push_up(u);
}
void update(int u,int l,int r,int x,int v)
{
	if(l==r){val[u]=v;mx[u]=v;return;}
	if(x<=mid)update(ls,l,mid,x,v);
	else update(rs,mid+1,r,x,v);
	push_up(u);
}
int query_max(int u,int l,int r,int x,int y)
{
	if(x<=l&&r<=y)return mx[u];
	int res=-inf;
	if(x<=mid)res=max(res,query_max(ls,l,mid,x,y));
	if(y>mid)res=max(res,query_max(rs,mid+1,r,x,y));
	return res;
}
int query_sum(int u,int l,int r,int x,int y)
{
	if(x<=l&&r<=y)return val[u];
	int res=0;
	if(x<=mid)res+=query_sum(ls,l,mid,x,y);
	if(y>mid)res+=query_sum(rs,mid+1,r,x,y);
	return res;
}
int query_path_max(int x,int y,int n)
{
	int res=-inf;
	while(top[x]!=top[y])
	{
		if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
		res=max(res,query_max(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]));
		x=fa[top[x]];
	}
	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
	res=max(res,query_max(1,1,n,dfn[y],dfn[x]));
	return res;
}
int query_path_sum(int x,int y,int n)
{
	int res=0;
	while(top[x]!=top[y])
	{
		if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
		res+=query_sum(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]);
		x=fa[top[x]];
	}
	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
	res+=query_sum(1,1,n,dfn[y],dfn[x]);
	return res;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		G[x].push_back(y);
		G[y].push_back(x);
	}
	dfs1(1);
	dfs2(1,1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
	}
	build(1,1,n);
	int m;
	cin>>m;
	while(m--)
	{
		string op;
		int x,y;
		cin>>op>>x>>y;
		if(op=="CHANGE")
		{
			update(1,1,n,dfn[x],y);
		}
		else if(op=="QMAX")
		{
			cout<<query_path_max(x,y,n)<<'\n';
		}
		else if(op=="QSUM")
		{
			cout<<query_path_sum(x,y,n)<<'\n';
		}
	}
	return 0;
}
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