NOI 竞赛大纲

参考资料

• NOI 全国青少年信息学奥林匹克竞赛
• 《NOI 大纲（2023年修订版）》

难度系数

• 入门级：$1 \sim 5$。
• 题高级：$5 \sim 8$。
• NOI 级：$7 \sim 10$。

1. 入门级

1.1 基础知识与编程环境

1. 【 $1$ 】计算机的基本构成（CPU、内存、I/O 设备等）
2. 【 $1$ 】Windows、Linux 等操作系统的基本概念及其常见操作
3. 【 $1$ 】计算机网络和 Internet 的基本概念
4. 【 $1$ 】计算机的历史和常见用途
5. 【 $1$ 】NOI 以及相关活动的历史
6. 【 $1$ 】NOI 以及相关活动的规则
7. 【 $1$ 】位、字节与字
8. 【 $1$ 】程序设计语言以及程序编译和运行的基本概念
9. 【 $1$ 】使用图形界面新建、复制、删除、移动文件或目录
10. 【 $1$ 】使用 Windows 系统下的集成开发环境（例如 Dev-C++ 等）
11. 【 $1$ 】使用 Linux 系统下的集成开发环境 （例如 Code::Blocks 等）
12. 【 $1$ 】g++、gcc 等常见编译器的基本使用

1.2 C++ 程序设计

1. 程序基本概念
   • 【 $1$ 】标识符、关键字、常量、变量、字符串、表达式的概念
   • 【 $1$ 】常量与变量的命名、定义及作用
   • 【 $2$ 】头文件与名字空间的概念
   • 【 $2$ 】编辑、编译、解释、调试的概念
2. 基本数据类型
   • 【 $1$ 】整数型：int、long long
   • 【 $1$ 】实数型：float、double
   • 【 $1$ 】字符型：char
   • 【 $1$ 】布尔型：bool
3. 程序基本语句
   • 【 $2$ 】cin 语句、scanf 语句、cout 语句、printf 语句、赋值语句、复合语句
   • 【 $2$ 】if 语句、switch 语句、多层条件语句
   • 【 $2$ 】for 语句、while 语句、do while 语句
   • 【 $3$ 】多层循环语句
4. 基本运算
   • 【 $1$ 】算术运算：加、减、乘、除、整除、求余
   • 【 $1$ 】关系运算：大于、大于等于、小于、小于等于、等于、不等于
   • 【 $1$ 】逻辑运算：与（&&）、或（||）、非（!）
   • 【 $1$ 】变量自增与自减运算
   • 【 $1$ 】三目运算
   • 【 $2$ 】位运算：与（&）、或（|）、非（~）、异或（^）、左移（<<）、右移（>>）
5. 数学库常用函数
   • 【 $3$ 】绝对值函数、四舍五入函数、下取整函数、上取整函数、平方根函数、常用三角函数、对数函数、指数函数
6. 结构化程序设计
   • 【 $1$ 】顺序结构、分支结构和循环结构
   • 【 $2$ 】自顶向下、逐步求精的模块化程序设计
   • 【 $2$ 】流程图的概念及流程图描述
7. 数组
   • 【 $1$ 】数组与数组下标
   • 【 $1$ 】数组的读入与输出
   • 【 $3$ 】二维数组与多维数组
8. 字符串的处理
   • 【 $2$ 】字符数组与相关函数
   • 【 $2$ 】string 类与相关函数
9. 函数与递归
   • 【 $2$ 】函数定义与调用、形参与实参
   • 【 $3$ 】传值参数与传引用参数
   • 【 $2$ 】常量与变量的作用范围
10. 结构体与联合体
    • 【 $3$ 】结构体
    • 【 $3$ 】联合体
11. 指针类型
    • 【 $4$ 】指针
    • 【 $4$ 】基于指针的数组访问
    • 【 $4$ 】字符指针
    • 【 $4$ 】指向结构体的指针
12. 文件及基本读写
    • 【 $2$ 】文件的基本概念、文本文件的基本操作
    • 【 $2$ 】文本文件类型与二进制文件类型
    • 【 $2$ 】文件重定向、文件读写等操作
13. STL 模板
    • 【 $3$ 】算法模板库中的函数：min、max、swap、sort
    • 【 $4$ 】栈（stack）、队列（queue）、链表（list）、向量（vector）等容器

1.3 数据结构

1. 线性结构
   • 【 $3$ 】链表：单链表、双向链表、循环链表
   • 【 $3$ 】栈
   • 【 $3$ 】队列
2. 简单树
   • 【 $3$ 】树的定义与相关概念
   • 【 $4$ 】树的表示与存储
   • 【 $3$ 】二叉树的定义与基本性质
   • 【 $4$ 】二叉树的表示与存储
   • 【 $4$ 】二叉树的遍历：前序、中序、后序
3. 特殊树
   • 【 $4$ 】完全二叉树的定义与基本性质
   • 【 $4$ 】完全二叉树的数组表示法
   • 【 $4$ 】哈夫曼树的定义和构造、哈夫曼编码
   • 【 $4$ 】二叉搜索树的定义和构造
4. 简单图
   • 【 $3$ 】图的定义与相关概念
   • 【 $4$ 】图的表示与存储：邻接矩阵
   • 【 $4$ 】图的表示与存储：邻接表

1.4 算法

1. 算法概念与描述
   • 【 $1$ 】算法概念
   • 【 $2$ 】算法描述：自然语言描述、流程图描述、伪代码描述
2. 入门算法
   • 【 $1$ 】枚举法
   • 【 $1$ 】模拟法
3. 基础算法
   • 【 $3$ 】贪心法
   • 【 $3$ 】递推法
   • 【 $4$ 】递归法
   • 【 $4$ 】二分法
   • 【 $4$ 】倍增法
4. 数值处理算法
   • 【 $4$ 】高精度的加法
   • 【 $4$ 】高精度的减法
   • 【 $4$ 】高精度的乘法
   • 【 $4$ 】高精度整数除以单精度整数的商和余数
5. 排序算法
   • 【 $3$ 】排序的基本概念
   • 【 $3$ 】冒泡排序
   • 【 $3$ 】选择排序
   • 【 $3$ 】插入排序
   • 【 $3$ 】计数排序
6. 搜索算法
   • 【 $5$ 】深度优先搜索
   • 【 $5$ 】广度优先搜索
7. 图论算法
   • 【 $4$ 】深度优先遍历
   • 【 $4$ 】广度优先遍历
   • 【 $5$ 】泛洪算法（flood fill）
8. 动态规划
   • 【 $4$ 】动态规划的基本思路
   • 【 $4$ 】简单一维动态规划
   • 【 $5$ 】简单背包类型动态规划
   • 【 $5$ 】简单区间类型动态规划

1.5 数学与其他

1. 数及其运算
   • 【 $1$ 】自然数、整数、有理数、实数及其算术运算（加、减、乘、除）
   • 【 $1$ 】进制与进制转换：二进制、八进制、十进制、十六进制
2. 初等数学
   • 【 $1$ 】代数（初中部分）
   • 【 $1$ 】几何（初中部分）
3. 初等数论
   • 【 $3$ 】整除、因数、倍数、指数、质（素）数、合数
   • 【 $3$ 】取整
   • 【 $3$ 】模运算与同余
   • 【 $3$ 】整数唯一分解定理
   • 【 $3$ 】辗转相除法（欧几里得算法）
   • 【 $4$ 】素数筛法：埃氏筛法与线性筛法
4. 离散与组合数学
   • 【 $2$ 】集合
   • 【 $2$ 】加法原理
   • 【 $2$ 】乘法原理
   • 【 $4$ 】排列
   • 【 $4$ 】组合
   • 【 $4$ 】杨辉三角
5. 其他
   • 【 $2$ 】ASCII 码
   • 【 $2$ 】格雷码

2. 题高级

2.1 基础知识与编程环境

1. 【 $5$ 】Linux 系统终端中常用的文件与目录操作命令
2. 【 $5$ 】Linux 系统下常见文本编辑工具的使用
3. 【 $5$ 】g++、gcc 等编译器与相关编译选项
4. 【 $5$ 】在 Linux 系统终端中运行程序，使用 time 命令查看程序用时
5. 【 $5$ 】调试工具 GDB 的使用

2.2 C++ 程序设计

1. 类（class）
   • 【 6 】类的概念及简单应用
   • 【 6 】成员函数和运算符重载
2. STL 模板
   • 【 5 】容器（container）和迭代器（iterator）
   • 【 5 】对（pair）、元组（tuple）
   • 【 5 】集合（set）、多重集合（multiset）
   • 【 5 】双端队列（deque）、优先队列（priority_queue）
   • 【 5 】映射（map）、多重映射（multimap）
   • 【 5 】算法模板库中的常用函数

2.3 数据结构

1. 线性结构
   • 【 $5$ 】双端栈
   • 【 $5$ 】双端队列
   • 【 $5$ 】单调队列
   • 【 $6$ 】优先队列
   • 【 $6$ 】ST 表（Sparse Table）
2. 集合与森林
   • 【 $6$ 】并查集
   • 【 $6$ 】树的孩子兄弟表示法
3. 特殊树
   • 【 $6$ 】二叉堆
   • 【 $6$ 】树状数组
   • 【 $6$ 】线段树
   • 【 $6$ 】字典树（Trie 树）
   • 【 $7$ 】笛卡尔树
   • 【 $8$ 】平衡树：AVL、treap、splay 等
4. 常见图
   • 【 $5$ 】稀疏图
   • 【 $6$ 】偶图（二分图）
   • 【 $6$ 】欧拉图
   • 【 $6$ 】有向无环图
   • 【 $7$ 】连通图与强连通图
   • 【 $7$ 】双连通图
5. 哈希表
   • 【 $5$ 】数值哈希函数构造
   • 【 $6$ 】字符串哈希函数构造
   • 【 $6$ 】哈希冲突的常用处理方法

2.4 算法

1. 复杂度分析
   • 【 $6$ 】时间复杂度分析
   • 【 $6$ 】空间复杂度分析
2. 算法策略
   • 【 $6$ 】离散化
3. 基础算法
   • 【 $6$ 】分治算法
4. 排序算法
   • 【 $5$ 】归并排序
   • 【 $5$ 】快速排序
   • 【 $6$ 】堆排序
   • 【 $5$ 】桶排序
   • 【 $6$ 】基数排序
5. 字符串相关算法
   • 【 $5$ 】字符串匹配：KMP 算法
6. 搜索算法
   • 【 $6$ 】搜索的剪枝优化
   • 【 $6$ 】记忆化搜索
   • 【 $7$ 】启发式搜索
   • 【 $7$ 】双向广度优先搜索
   • 【 $7$ 】迭代加深搜索
7. 图论算法
   • 【 $6$ 】最小生成树：Prim 和 Kruskal 等算法
   • 【 $7$ 】次小生成树
   • 【 $6$ 】单源最短路：Bellman-Ford、Dijkstra、SPFA 等算法
   • 【 $7$ 】单源次短路
   • 【 $6$ 】Floyd-Warshall 算法
   • 【 $6$ 】有向无环图的拓扑排序
   • 【 $6$ 】欧拉道路和欧拉回路
   • 【 $6$ 】二分图的判定
   • 【 $7$ 】强连通分量
   • 【 $7$ 】割点、割边
   • 【 $6$ 】树的重心、直径、DFS 序与欧拉序
   • 【 $6$ 】树上差分、子树和与倍增
   • 【 $6$ 】最近公共祖先
8. 动态规划
   • 【 $6$ 】树型动态规划
   • 【 $7$ 】状态压缩动态规划
   • 【 $8$ 】动态规划的常用优化

2.5 数学与其他

1. 初等数学
   • 【 $5$ 】代数（高中部分）
   • 【 $6$ 】几何（高中部分）
2. 初等数论
   • 【 $5$ 】同余式
   • 【 $7$ 】欧拉定理和欧拉函数
   • 【 $7$ 】费马小定理
   • 【 $7$ 】威尔逊定理
   • 【 $7$ 】裴蜀定理
   • 【 $7$ 】模运算意义下的逆元
   • 【 $7$ 】扩展欧几里得算法
   • 【 $7$ 】中国剩余定理
3. 离散与组合数学
   • 【 $6$ 】多重集合
   • 【 $6$ 】等价类
   • 【 $6$ 】多重集上的排列
   • 【 $6$ 】多重集上的组合
   • 【 $6$ 】错排列、圆排列
   • 【 $6$ 】鸽巢原理
   • 【 $6$ 】二项式定理
   • 【 $7$ 】容斥原理
   • 【 $7$ 】卡特兰（Catalan）数
4. 线性代数
   • 【 $5$ 】向量与矩阵的概念
   • 【 $6$ 】向量的运算
   • 【 $6$ 】矩阵的初等变换
   • 【 $6$ 】矩阵的运算：加法、减法、乘法与转置
   • 【 $6$ 】特殊矩阵的概念：单位阵、三角阵、对称阵和稀疏矩阵
   • 【 $7$ 】高斯消元法

3. NOI 级

3.1 C++ 程序设计

1. 【 $8$ 】 面向对象的程序设计思想（OOP）

3.2 数据结构

1. 线性结构
   • 【 $8$ 】块状链表
2. 序列
   • 【 $9$ 】跳跃表
3. 复杂树
   • 【 $8$ 】树链剖分
   • 【 $10$ 】动态树：LCT
   • 【 $8$ 】二维线段树
   • 【 $9$ 】树套树
   • 【 $9$ 】k-d 树
   • 【 $10$ 】虚树
4. 可合并堆
   • 【 $8$ 】左偏树
   • 【 $10$ 】二项堆
5. 可持久化数据结构
   • 【 $8$ 】可持久化线段树
   • 【 $9$ 】其他可持久化数据结构

3.3 算法

1. 算法策略
   • 【 $8$ 】分块
   • 【 $8$ 】离线处理思想
   • 【 $9$ 】复杂分治思想
   • 【 $9$ 】平衡规划思想
   • 【 $9$ 】构造思想
2. 字符串算法
   • 【 $8$ 】Manacher 算法
   • 【 $9$ 】扩展 KMP 算法
   • 【 $8$ 】有穷自动机
   • 【 $8$ 】AC 自动机
   • 【 $8$ 】后缀数组
   • 【 $9$ 】后缀树
   • 【 $10$ 】后缀自动机
3. 图论算法
   • 【 $8$ 】基环树
   • 【 $10$ 】最小树形图
   • 【 $8$ 】2-SAT
   • 【 $8$ 】网络流
   • 【 $10$ 】图的支配集、独立集与覆盖集
   • 【 $8$ 】匈牙利算法
   • 【 $9$ 】KM 算法
   • 【 $10$ 】一般图的匹配
4. 动态规划
   • 【 $9$ 】复杂动态规划模型的构建
   • 【 $9$ 】复杂动态规划模型的优化

3.4 数学与其他

1. 初等数论
   • 【 $8$ 】原根和指数
   • 【 $8$ 】大步小步（Baby Step Giant Step，BSGS）算法
   • 【 $9$ 】狄利克雷（Dirichlet）卷积
   • 【 $10$ 】二次剩余
   • 【 $10$ 】二次同余式
2. 离散与组合数学
   • 【 $9$ 】群及其基本性质
   • 【 $9$ 】置换群与循环群
   • 【 $9$ 】母函数
   • 【 $9$ 】莫比乌斯反演
   • 【 $9$ 】Burnside 引理与 Pólya 定理
   • 【 $9$ 】斯特林（Stirling）数
   • 【 $9$ 】无根树的 Prüfer 序列
3. 线性代数
   • 【 $9$ 】逆矩阵
   • 【 $9$ 】行列式
   • 【 $9$ 】向量空间与线性相关
4. 高等数学
   • 【 $8$ 】多项式函数的微分
   • 【 $8$ 】多项式函数的积分
   • 【 $10$ 】泰勒（Taylor）级数
   • 【 $10$ 】快速傅里叶变换
5. 概率论
   • 【 $8$ 】概率的基本概念
   • 【 $10$ 】随机变量的期望与方差
   • 【 $9$ 】条件概率
   • 【 $9$ 】贝叶斯公式
6. 博弈论
   • 【 $9$ 】尼姆（Nim）博弈
   • 【 $9$ 】SG 函数
7. 最优化
   • 【 $10$ 】单纯形法
8. 计算几何
   • 【 $8$ 】点、线、面之间位置关系的判定
   • 【 $8$ 】一般图形面积的计算
   • 【 $8$ 】二维凸包
   • 【 $9$ 】半平面交
9. 信息论
   • 【 $10$ 】熵、互信息、条件熵、相对熵
10. 其他
    • 【 $10$ 】信息复杂度的概念
    • 【 $10$ 】描述复杂度的概念
    • 【 $10$ 】通讯复杂度的概念