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饱和 6-Sperner 与 7-Sperner 数

结果​

不含长度为 k+1k+1 的严格包含链的集合族称为 kk-Sperner 系统。若加入任意外部集合都会产生这样的链，则称该系统饱和。底集充分大时，最小规模会稳定；记其稳定值为 sat⁡(k)\operatorname{sat}(k)。

我证明了以下两个精确值：

sat⁡(6)=30sat⁡(7)=55\begin{aligned} \operatorname{sat}(6) & =30 \\ \operatorname{sat}(7) & =55 \end{aligned}

证明​

下界从有限规范层归约开始。相邻层在任意有限底集上产生互为 blocker 的超图对。记 m(r,s)m(r,s) 为这类超图对的最小总规模。两侧成员大小分别至少为 rr 和 ss。六层情形归结为 m(2,3)=9m(2,3)=9。七层情形还需要 m(2,4)=12m(2,4)=12 与 m(3,3)=14m(3,3)=14；后者的等号情形由 Fano 平面给出。对相邻层和剩余有限轮廓的分类排除了小于 5555 的情形。

上界分别由一个 3030 元构造和一个 5555 元构造达到。后者使用八点核心与一个不交齐次块，可扩展到所有充分大的底集。

形式化验证​

完整证明已在 Lean 4 中形式化。最终定理表达为：

59 Blean
IsStableSaturationNumber 6 30
IsStableSaturationNumber 7 55

形式化内容包含任意有限底集上的 blocker 归约和上界构造。它也验证有限分类的可靠性与实现性，并推出最终稳定值定理。有限计算与 SAT 证书仅承担相应分类分支的验证，不代替全局下界。

公开材料​

论文题目为 The exact saturated 6- and 7-Sperner numbers。源代码、Lean 形式化、SAT 证书与重放脚本均已公开。

lailai0916saturated-sperner-6-7