振动、波与光

机械振动

简谐运动

简谐运动的定义

• 机械振动：物体在平衡位置附近做的往复运动；
• 简谐运动（Simple Harmonic Motion，SHM）：物体所受回复力与位移大小成正比、方向相反的振动。

回复力 是使物体回到平衡位置的合力，满足：

$F=-kx$

其中 $x$ 是相对平衡位置的位移，负号表示力与位移方向相反。回复力是按 效果 命名的合力，可由重力、弹力等提供，不是一种新的力。

弹簧振子是最典型的简谐运动模型：忽略摩擦的水平弹簧振子，回复力由弹簧弹力提供，$k$ 即劲度系数。

弹簧振子的运动学分析

以 平衡位置 为原点建立一维坐标系，位移 $x$、速度 $v$、加速度 $a$ 都用「有符号标量」表示，符号代表方向、绝对值代表大小。比较三者大小时比的是 绝对值：$-3$ 视作比 $-5$ 小、比 $2$ 大。

水平弹簧振子从最大位移点 $A$ 释放，在 $A$、$B$ 两点间往复。抓住三条性质，选择题可直接判断：

• $x$ 与 $a$ 始终 异号——合外力（回复力）始终指向平衡位置；
• 物体 远离 平衡位置（$x$ 变大）时，加速度 变大、物体 减速（$v$ 变小）；
• 物体 接近 平衡位置（$x$ 变小）时，加速度 变小、物体 加速（$v$ 变大）。

即 $x$ 与 $a$ 变化趋势一致、方向相反，$v$ 的趋势与它们相反；而 $v$ 的正负（运动方向）与 $x$、$a$ 的正负没有必然联系。

过程	$x$	$a$	$v$	$x$ 正负	$a$ 正负	$v$ 正负
$A\to O$	变小	变小	变大	$-$	$+$	$+$
$O\to B$	变大	变大	变小	$+$	$-$	$-$
$B\to O$	变小	变小	变大	$+$	$-$	$-$
$O\to A$	变大	变大	变小	$-$	$+$	$+$

竖直弹簧振子要 区分两个特殊点：合外力为零的 平衡位置 $O$，与弹力为零的 弹簧原长点 $O'$。此时合外力由弹力和重力共同决定，$O'$ 在 $O$ 上方（$O$ 处弹簧仍有向上的弹力平衡重力），二者不再重合。上面三条性质对竖直弹簧振子仍成立，但涉及势能时不能照搬水平情形：

• 动能 $E_k$ 的趋势、最值与 $v$ 一致，弹性势能与重力势能之和随 $v$ 反向变化；
• 水平弹簧振子中总势能就是弹性势能；竖直弹簧振子中弹性势能在 $O'$ 处取零、在最低点取最大，与位移 $x$ 没有单调对应关系。

描述振动的物理量

• 位移 $x$：由平衡位置指向物体所在位置的矢量，平衡位置处 $x=0$；
• 振幅 $A$：偏离平衡位置的 最大距离，是标量，恒为正，反映振动强弱；
• 周期 $T$：完成一次全振动所需时间，单位 $\text{s}$；
• 频率 $f$：单位时间内完成全振动的次数，$f=\frac{1}{T}$，单位 $\text{Hz}$；
• 相位：描述振动步调的量，$2\pi$ 对应一个周期，相位差反映两振动的步调差异。

一次 全振动：物体从某状态出发，再次回到该状态（位置与运动方向都相同）的过程。一个周期内路程为 $4A$。

简谐运动的规律

简谐运动的位移随时间按正弦（或余弦）规律变化：

$x=A\sin(\omega t+\varphi)$

其中 $\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f$ 为角频率，$\varphi$ 为初相位。各量在振动过程中的变化：

位置	位移	回复力	加速度	速度	动能	势能
平衡位置	$0$	$0$	$0$	最大	最大	最小
最大位移处	$\pm A$	最大	最大	$0$	最小	最大

规律要点：

• 位移、回复力、加速度三者同时最大或同时为零，方向上位移与回复力、加速度 相反；
• 速度与位移的相位差为 $\frac{\pi}{2}$，位移最大时速度为零，位移为零时速度最大；
• 简谐运动中系统机械能守恒，动能与势能相互转化。

振动图像（$x$–$t$ 图）是正弦曲线，可读出振幅（曲线最高点）、周期（相邻同相位点的时间间隔），并判断任意时刻的位移方向和速度方向。

单摆

单摆的周期

单摆 是一种理想模型：不可伸长的轻细线，下端系一个大小可忽略的重球。摆角很小（一般小于 $5^\circ$）时，单摆做简谐运动，回复力由重力沿切向的分力提供。

单摆周期只由摆长和当地重力加速度决定：

$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$

• 周期与 摆长 $L$ 的平方根成正比，与 重力加速度 $g$ 的平方根成反比；
• 周期与摆球质量、振幅 无关（等时性，伽利略发现）；
• $L$ 是悬点到摆球球心的距离（摆线长加球半径）。

测量重力加速度

由周期公式变形：

$g=\frac{4\pi^2 L}{T^2}$

测出摆长 $L$ 与周期 $T$ 即可求出当地 $g$。实验要点：

• 摆长测悬点到球心的距离，即线长加半径；
• 从 平衡位置 开始计时、测多个周期取平均减小误差；
• 摆角小于 $5^\circ$，在同一竖直平面内摆动；
• 用「累积法」测 $n$ 次全振动的总时间再除以 $n$ 求 $T$。

受迫振动与共振

自由振动与阻尼振动

• 自由振动：系统只在回复力作用下的振动，振幅不变，频率为 固有频率；
• 固有频率：由系统自身性质（如摆长、劲度系数）决定的频率，与外界无关；
• 阻尼振动：实际振动受阻力，振幅逐渐减小，机械能不断损耗。

受迫振动

• 受迫振动：物体在周期性外力（驱动力）作用下的振动；
• 稳定后受迫振动的频率 等于驱动力频率，与固有频率无关；
• 振幅由驱动力频率与固有频率的接近程度决定。

共振

共振：驱动力频率 等于 系统固有频率时，受迫振动振幅达到最大的现象。

条件	振幅
驱动力频率 $=$ 固有频率	最大（共振）
驱动力频率偏离固有频率越远	越小

共振的利用与防止：

• 利用：共振筛、共振转速下的机械调谐、乐器音箱、微波炉加热；
• 防止：军队过桥时改齐步为便步、机器转速避开固有频率、建筑抗震设计避开地震主频。

机械波

机械波的形成与描述

机械波的产生

• 机械波：机械振动在介质中传播形成的波；
• 产生条件：有 波源（做振动的物体）和 介质（传播振动的媒质），二者缺一不可；
• 波传播的是 振动的形式和能量，介质质点只在平衡位置附近振动，不随波迁移。

按质点振动方向与波传播方向的关系分类：

类型	振动方向与传播方向	例子
横波	垂直	绳波、电磁波
纵波	平行	声波、弹簧疏密波

横波有波峰、波谷；纵波有密部、疏部。

波长、波速与频率

• 波长 $\lambda$：相邻两个振动步调完全相同的质点间的距离，即一个周期内波传播的距离；
• 波速 $v$：波在介质中传播的速度，由 介质 决定；
• 频率 $f$：由 波源 决定，波传入另一介质时频率不变。

三者关系（波速公式）：

$v=\lambda f=\frac{\lambda}{T}$

要点：

• 波从一种介质进入另一种介质，频率不变；波速由新介质决定，波长随之改变；
• 波每经过一个周期，向前传播一个波长的距离；
• 同一列波中各质点振动周期、频率相同。

波的图像

波的图像（$y$–$x$ 图）描绘某一时刻各质点偏离平衡位置的情况，横轴是位置、纵轴是位移。它与振动图像（$y$–$t$ 图）不同：

	振动图像 $y$–$t$	波的图像 $y$–$x$
横轴	时间	位置
研究对象	单个质点随时间	某时刻所有质点
读出的量	周期、振幅	波长、振幅

由波的图像判断质点振动方向：沿波的传播方向，质点将 重复前方相邻质点 的运动状态，即「前质点带动后质点」。已知波沿 $x$ 正方向传播，则某质点下一时刻的位移与其左侧邻近质点当前位移相同。

波的干涉、衍射与多普勒效应

波的叠加与干涉

• 波的独立传播：几列波相遇后各自保持原来的传播方向、频率、波长，互不干扰；
• 波的叠加：相遇区域内，质点的位移等于各列波单独引起的位移的 矢量和。

波的干涉：两列 频率相同 的波叠加，某些区域振动始终加强、某些区域始终减弱，且加强区与减弱区相互间隔的稳定现象。

产生 稳定干涉 的条件：两列波频率相同、相位差恒定（相干波源）。

• 振动加强点：到两波源的 路程差 为波长的整数倍，$\Delta r=n\lambda$（$n=0,1,2,\dots$），振幅为两振幅之和；
• 振动减弱点：路程差为半波长的奇数倍，$\Delta r=(2n+1)\frac{\lambda}{2}$，振幅为两振幅之差。

波的衍射

波的衍射：波绕过障碍物或穿过孔隙继续传播的现象。

发生 明显 衍射的条件：障碍物或孔的尺寸跟波长 相差不多，或比波长更小。一切波都能发生衍射，衍射是波的特有现象。

波长越长越容易衍射，这也解释了「隔墙易闻声、难见人」：声波波长长、易衍射绕过障碍，光波波长极短、衍射不明显。

多普勒效应

多普勒效应（Doppler Effect）：波源与观察者之间有相对运动时，观察者接收到的频率与波源频率不同的现象。

相对运动	接收频率
相互靠近	变高
相互远离	变低

要点：

• 波源频率本身 不变，改变的是观察者 接收 到的频率；
• 靠近时单位时间内接收的完整波数增多，故频率变高、音调升高；
• 应用：测速雷达、医学彩超、天体红移判断星系远离。

光

光的折射与全反射

折射定律

光的折射：光从一种介质射入另一种介质时，传播方向发生改变的现象。

折射定律（斯涅尔定律）：入射光线、折射光线分居法线两侧，入射角 $\theta_1$ 的正弦与折射角 $\theta_2$ 的正弦成正比：

$n=\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}$

其中 $n$ 为介质的折射率。光路可逆：光沿原折射光线逆向入射时，将沿原入射光线射出。

折射率

折射率（Refractive Index）：光从真空射入某介质时，入射角正弦与折射角正弦之比，反映介质对光的偏折能力。折射率也等于光在真空中的速度与在介质中速度之比：

$n=\frac{c}{v}$

• 真空（近似空气）折射率为 $1$，其他介质 $n>1$；
• $n$ 越大，光在介质中速度越小，偏折能力越强；
• 光进入介质后频率不变，波速变小，波长变短，$\lambda_{\text{介}}=\frac{\lambda}{n}$。

由 $v=\frac{c}{n}$ 可知，介质折射率越大，光速越慢。玻璃 $n\approx 1.5$，水 $n\approx 1.33$。

判断折射方向可记「光疏介质里角大、光密介质里角小」：折射率大的一侧偏向法线、角度更小，故 $n=\frac{\sin\theta_{\text{大}}}{\sin\theta_{\text{小}}}\ge 1$ 恒成立，无需先分清哪个是入射角。

全反射

• 光疏介质、光密介质：折射率较小的是光疏介质，较大的是光密介质；
• 全反射：光从光密介质射向光疏介质，入射角增大到某一角度时，折射光完全消失、光全部反射回原介质的现象。

发生全反射的条件（须 同时 满足）：

• 光从 光密介质射向光疏介质；
• 入射角 大于或等于临界角。

临界角 $C$：折射角为 $90^\circ$ 时对应的入射角。由折射定律 $n=\frac{1}{\sin C}$，得：

$\sin C=\frac{1}{n}$

$n$ 越大，临界角越小，越容易发生全反射。全反射的应用：光导纤维（光纤通信）、全反射棱镜、海市蜃楼。

光的波动性

光的干涉

光的干涉 证明光是一种波。两列相干光波叠加，出现明暗相间的稳定条纹。

双缝干涉（托马斯·杨，Thomas Young，1773 – 1829）：单色光经双缝后在屏上形成等间距的明暗条纹。相邻明纹（或暗纹）间距：

$\Delta y=\frac{L}{d}\lambda$

其中 $L$ 为双缝到屏的距离，$d$ 为双缝间距，$\lambda$ 为波长。

• 屏上某点到两缝的 路程差 为波长整数倍时出现 亮纹，为半波长奇数倍时出现 暗纹；
• 条纹间距与波长成正比：红光波长长、间距大，紫光波长短、间距小；
• 白光干涉中央为白色亮纹，两侧为彩色条纹。

薄膜干涉：光在薄膜前后两个表面反射的光相互叠加。检查平面平整度、增透膜、肥皂泡与油膜的彩色花纹都是薄膜干涉。

光的衍射

光的衍射：光绕过障碍物或孔隙偏离直线传播的现象，进一步证明光的波动性。

• 单缝衍射：中央亮纹最宽最亮，两侧条纹间距不等、亮度递减；
• 圆孔衍射：中央亮斑（艾里斑）外围环绕明暗相间的圆环；
• 泊松亮斑：圆板阴影中心出现亮斑。

衍射与干涉的对比：

	干涉	衍射
成因	两（多）列相干波叠加	波绕过障碍或穿过孔隙
条纹	等间距、明暗均匀	不等间距、中央最宽最亮
共同点	都是波的特有现象，证明光的波动性

光的偏振

光的偏振：光的振动方向相对传播方向不对称的性质。只有 横波 才有偏振现象，故偏振证明光是横波。

• 自然光：各方向振动均匀分布的光；
• 偏振光：只在某一方向振动的光；
• 自然光通过 偏振片 后成为偏振光，两片偏振片透振方向垂直时几乎不透光。

偏振的应用：偏振太阳镜消除反射眩光、立体电影、液晶显示、摄影偏振镜。

光的本性

光既表现出波动性，又表现出粒子性，即 波粒二象性（Wave-Particle Duality）。

• 波动性：干涉、衍射、偏振等现象说明光是一种波（电磁波）；
• 粒子性：光电效应、康普顿效应说明光由一份份能量子（光子）组成；
• 光子能量与频率成正比，$E=h\nu$，其中 $h$ 为普朗克常量。

大量光子传播时波动性显著，个别光子与物质作用时粒子性显著；波长越长波动性越明显，波长越短粒子性越明显。波和粒子是光在不同条件下表现出的两个侧面。

必记公式表

物理量	公式	说明
回复力	$F=-kx$	简谐运动判据
单摆周期	$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$	与质量、振幅无关
频率周期	$f=\frac{1}{T}$	互为倒数
波速	$v=\lambda f=\frac{\lambda}{T}$	波速由介质定
折射率	$n=\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{c}{v}$	由介质决定
临界角	$\sin C=\frac{1}{n}$	全反射条件
双缝间距	$\Delta y=\frac{L}{d}\lambda$	干涉条纹间距
光子能量	$E=h\nu$	粒子性