跳到主要内容

必修第一册

物理学考 / 选考笔记，对应人教版《必修第一册》，按专题整理。

第一章 运动的描述​

质点​

质点（Mass Point）：用来代替物体、具有物体全部质量的点，是一种理想化模型。

  • 把物体看作质点，是为了忽略形状和大小，突出研究的主要因素；
  • 物体能否看作质点，取决于形状和大小对所研究问题的影响是否可忽略；
  • 与物体的大小无关：地球绕太阳公转可视为质点，研究地球自转则不能。

同一物体在不同问题中，能否视为质点的结论可能不同。

参考系与坐标系​

  • 参考系（Reference Frame）：描述物体运动时，假定不动、用作参照的物体。选不同参考系，同一运动的描述可能不同；
  • 通常以 地面 为参考系，未特别说明时默认如此；
  • 坐标系：在参考系上建立的定量描述位置的数学工具。直线运动建一维坐标轴，平面运动建平面直角坐标系。

运动是绝对的，静止是相对的。「太阳东升西落」是以地面为参考系得到的描述。

时间与时刻​

  • 时刻：某一瞬间，对应时间轴上的一个 点，如「第 2 秒末」；
  • 时间间隔（简称时间）：两个时刻之间的间隔，对应时间轴上的一 段，如「前 3 秒内」；
  • 「第 3 秒末」与「第 4 秒初」是同一时刻；「第 3 秒内」指从第 2 秒末到第 3 秒末，历时 1 秒。

位移与路程​

  • 路程：物体运动 轨迹的长度，是标量，恒为正；
  • 位移（Displacement）：由初位置指向末位置的 有向线段，是矢量，用 x⃗\vec{x} 表示，方向由初指向末。
路程位移
矢量标量标量矢量
方向无初位置指向末
大小轨迹总长度初末位置间直线距离
  • 位移大小 不超过 路程；只有单向直线运动时两者相等；
  • 物体回到出发点时，位移为 00，路程不为 00。

速度​

速度（Velocity）：描述物体位置变化 快慢 的物理量，是矢量，方向与运动方向相同。

v=ΔxΔtv=\frac{\Delta x}{\Delta t}

单位为 m/s\text{m/s}。

  • 平均速度：位移与所用时间之比，vˉ=ΔxΔt\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}，方向与位移相同；
  • 瞬时速度：某一时刻（或某一位置）的速度，Δt→0\Delta t\to 0 时平均速度的极限；
  • 速率：瞬时速度的大小，是标量。平均速率是路程与时间之比，与平均速度大小一般不等。
平均速度平均速率
定义位移 // 时间路程 // 时间
矢量标量矢量标量

加速度​

加速度（Acceleration）：描述 速度变化快慢 的物理量，等于速度的变化量与所用时间之比，是矢量。

a=ΔvΔt=v−v0ta=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v-v_0}{t}

单位为 m/s2\text{m/s}^2。

  • 加速度方向与 速度变化量 Δv\Delta v 的方向相同，不一定与速度方向相同；
  • aa 与 vv 同向 时物体 加速，反向 时 减速；
  • 加速度大不代表速度大：vv 大而 a=0a=0 时速度不变，v=0v=0 而 aa 大时速度变化快。

判断加减速看 aa 与 vv 的方向关系，与它们的大小无关。这是本章最易出错处。

几种典型情形：aa 与 vv 同向且 aa 不变，是匀加速；aa 与 vv 反向且 aa 不变，是匀减速；aa 逐渐减小到零，速度增大到最大且不再变化。加速度描述的是速度 变化 的快慢，与速度本身的大小无关。

速度 vv加速度 aa
意义位置变化快慢速度变化快慢
决定因素位移与时间速度变化与时间
大小是否关联互不决定，各自独立—

第二章 匀变速直线运动的研究​

匀变速直线运动​

匀变速直线运动：沿直线运动且 加速度恒定（大小方向都不变）的运动。

  • aa 与 vv 同向为 匀加速，反向为 匀减速；
  • 速度随时间 均匀变化，相等时间内速度变化量相等。

基本公式​

以初速度 v0v_0、加速度 aa、时间 tt 为基础，三个基本公式：

v=v0+atv=v_0+at

x=v0t+12at2x=v_0t+\frac{1}{2}at^2

v2−v02=2axv^2-v_0^2=2ax

  • 速度公式 v=v0+atv=v_0+at：不含位移；
  • 位移公式 x=v0t+12at2x=v_0t+\frac{1}{2}at^2：不含末速度；
  • 速度位移公式 v2−v02=2axv^2-v_0^2=2ax：不含时间，处理不涉及时间的问题最简便。

规定初速度方向为正方向，aa、vv、xx 均为代数量：与正方向同为正、反为负。匀减速时 aa 取负值。

两个推论​

平均速度公式：匀变速直线运动中，某段时间内的平均速度等于这段时间 中间时刻的瞬时速度，也等于初末速度的平均值。

vˉ=vt/2=v0+v2\bar{v}=v_{t/2}=\frac{v_0+v}{2}

逐差相等：连续相等时间 TT 内的位移差为常数。

Δx=xn+1−xn=aT2\Delta x=x_{n+1}-x_n=aT^2

由逐差法可测加速度：a=xm−xn(m−n)T2a=\frac{x_{m}-x_{n}}{(m-n)T^2}。这是纸带实验测 aa 的核心方法。

初速度为零的匀加速运动​

设初速度 v0=0v_0=0，从静止开始匀加速，取相等时间间隔 TT 与相等位移间隔，有以下比例关系。

特征量比例关系
第 11、22、33……个 TT 末的速度1:2:3:…1:2:3:\dots
前 11、22、33……个 TT 内的位移12:22:32:…1^2:2^2:3^2:\dots
第 11、22、33……个 TT 内的位移1:3:5:…1:3:5:\dots
通过前 11、22、33……段相等位移所用时间1:2:3:…1:\sqrt{2}:\sqrt{3}:\dots

这些比例仅在 初速度为零 时成立，可快速处理选择题。

运动图像​

x-tx\text{-}t 图像（位移–时间图像）描述位置随时间的变化：

  • 图线的 斜率 表示速度，斜率越大速度越大；
  • 直线表示匀速直线运动，曲线表示变速运动；
  • 图线交点表示两物体在该时刻位置相同（相遇），不表示速度相同。

v-tv\text{-}t 图像（速度–时间图像）描述速度随时间的变化：

  • 图线的 斜率 表示加速度；
  • 图线与时间轴所围 面积 表示位移，轴上方为正、下方为负；
  • 匀变速运动的 v-tv\text{-}t 图线为倾斜直线，匀速运动为水平直线。
图像斜率面积
x-tx\text{-}t速度无意义
v-tv\text{-}t加速度位移

两类图像都描述直线运动，图线本身 不是 物体的运动轨迹。

读图的通用方法：先看纵轴表示什么量，再看斜率和面积各代表什么。v-tv\text{-}t 图中，图线在时间轴上方表示正向运动、下方表示反向运动；面积的正负相加得总位移，面积绝对值相加得路程。两物体的 v-tv\text{-}t 图线交点表示 速度相同，而非相遇。

自由落体运动​

自由落体运动（Free Fall）：物体只在 重力 作用下，从 静止 开始下落的运动。

  • 是初速度为零、加速度为 gg 的匀加速直线运动；
  • 重力加速度 gg 方向竖直向下，同一地点对一切物体相同，一般取 g=9.8 m/s2g=9.8\ \text{m/s}^2，粗略计算取 10 m/s210\ \text{m/s}^2；
  • gg 随纬度升高而增大，随高度升高而减小。

把基本公式中 v0=0v_0=0、a=ga=g 代入即得自由落体规律：

v=gth=12gt2v2=2ghv=gt\quad h=\frac{1}{2}gt^2\quad v^2=2gh

竖直上抛运动：初速度竖直向上、只受重力，全程加速度为 gg、方向向下。可视为匀减速上升与自由下落的组合，上升与下落经过同一位置时速率相等、时间相等。

取初速度 v0v_0、向上为正、a=−ga=-g，则上升到最高点用时 t=v0gt=\frac{v_0}{g}，上升最大高度 h=v022gh=\frac{v_0^2}{2g}。全过程可当作一个匀变速直线运动统一处理，不必分段。

第三章 相互作用——力​

力​

力（Force）：物体间的 相互作用，用 F⃗\vec{F} 表示，是矢量。

  • 力的 三要素：大小、方向、作用点；
  • 力的作用是 相互 的，有施力物体必有受力物体；
  • 力的作用效果：改变物体的 运动状态（产生加速度）或使物体 发生形变；
  • 单位是 牛顿（Newton，N）。

按性质分为重力、弹力、摩擦力等；按效果分为动力、阻力、压力、拉力等。同一个力按性质和按效果的命名不冲突：斜面对物体的支持力（性质是弹力）也可称为支持力（按效果）。

受力分析 是力学的基础，标准步骤：

  1. 明确研究对象（单个物体或系统）；
  2. 按 重力、弹力、摩擦力、其他力 的顺序逐个分析；
  3. 只画物体 受到 的力，不画它对别人的力；
  4. 检查每个力是否有施力物体，防止漏力、添力。

先重力（一定有）、再接触力（弹力、摩擦力，看有无接触和挤压）、最后其他力，可避免遗漏。

重力​

重力（Gravity）：由于 地球的吸引 而使物体受到的力。

  • 大小 G=mgG=mg，方向 竖直向下（不是指向地心，也不垂直于斜面）；
  • 作用点在物体的 重心；
  • 重力是地球引力的一个分力，一般近似认为重力等于地球引力。

重心：物体各部分所受重力的等效作用点。

  • 位置与物体的 形状 和 质量分布 有关；
  • 质量分布均匀、形状规则的物体，重心在其 几何中心；
  • 重心可以在物体之外，如圆环、L 形板的重心。

质量分布均匀薄板的重心，可用 悬挂法 测定：先后在两点悬挂薄板，两次铅垂线的交点即为重心。重心是重力的等效作用点，并非物体上真实存在质量最集中的点。

弹力​

弹力（Elastic Force）：发生 弹性形变 的物体，由于要恢复原状，对与它接触的物体产生的力。

  • 产生条件：直接接触 且 发生弹性形变；
  • 常见弹力有压力、支持力、拉力（绳的张力）；
  • 方向总是 垂直于接触面，指向被支持（被压）的物体，即指向形变恢复的方向；
  • 绳的拉力沿绳收缩方向，绳只能拉不能压。

胡克定律（Hooke's Law）：在弹性限度内，弹簧的弹力与形变量成正比。

F=kxF=kx

其中 kk 为 劲度系数，单位 N/m\text{N/m}，由弹簧本身决定；xx 为形变量（伸长或压缩的长度），不是 弹簧总长。

弹力方向的判断规律：

接触类型弹力方向
面与面接触垂直于接触面
点与面接触垂直于面
点与点接触垂直于公切面
绳与物体沿绳指向绳收缩方向

摩擦力​

摩擦力（Friction）：两个 接触且相互挤压 的物体，当发生 相对运动 或有 相对运动趋势 时，在接触面上产生的阻碍相对运动（趋势）的力。

  • 滑动摩擦力：相对滑动时产生，方向与 相对运动方向相反；

f=μFNf=\mu F_N

其中 μ\mu 为 动摩擦因数（无单位），FNF_N 为正压力（垂直于接触面）。ff 只与 μ\mu 和 FNF_N 有关，与接触面积、相对速度无关。

  • 静摩擦力：有相对运动趋势但未滑动时产生，方向与 相对运动趋势方向相反；
  • 静摩擦力大小随外力变化，取值范围 0<f≤fmax⁡0<f\le f_{\max}，最大静摩擦力略大于滑动摩擦力，中学中常近似相等。
滑动摩擦力静摩擦力
产生条件相对滑动有相对运动趋势
方向与相对运动方向相反与相对运动趋势方向相反
大小f=μFNf=\mu F_N（定值）0<f≤fmax⁡0<f\le f_{\max}（可变）

摩擦力方向与物体 运动方向 无必然联系：静摩擦力可以是动力，如传送带带动物体、人走路时地面对脚的摩擦。

判断摩擦力方向的关键，是找 相对运动（趋势） 的方向，而不是物体对地的运动方向。滑动摩擦力用 相对运动方向 判断，静摩擦力用 相对运动趋势 判断。趋势方向不明显时，可用假设法：假设接触面光滑，看物体将向哪个方向滑动，趋势即指向该方向，静摩擦力与之相反。

力的合成​

合力与分力：若一个力产生的效果与几个力共同作用的效果相同，则这个力叫那几个力的 合力，那几个力叫它的 分力。合力与分力是 等效替代 关系。

平行四边形定则：求两个共点力的合力时，以表示两力的有向线段为邻边作平行四边形，其 对角线 表示合力的大小和方向。

  • 两力同向时合力最大 F=F1+F2F=F_1+F_2，反向时最小 F=∣F1−F2∣F=|F_1-F_2|；
  • 合力范围 ∣F1−F2∣≤F≤F1+F2|F_1-F_2|\le F\le F_1+F_2；
  • 夹角越大，合力越小；合力可能大于、等于或小于任一分力。

两个互相垂直的力 F1F_1、F2F_2 的合力大小为：

F=F12+F22F=\sqrt{F_1^2+F_2^2}

夹角为 θ\theta 的两力合成，合力大小的一般公式为：

F=F12+F22+2F1F2cos⁡θF=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos\theta}

  • θ=0\theta=0 时 F=F1+F2F=F_1+F_2（最大）；
  • θ=90∘\theta=90^\circ 时 F=F12+F22F=\sqrt{F_1^2+F_2^2}；
  • θ=180∘\theta=180^\circ 时 F=∣F1−F2∣F=|F_1-F_2|（最小）。

多个力合成时，可先合成其中两个，再把结果与下一个力合成，逐次进行。

力的分解​

力的分解 是合成的逆运算，同样遵循平行四边形定则。

  • 一个力可分解为无数对分力，需按 实际作用效果 或题目要求分解；
  • 常用 正交分解：把力沿两个互相垂直的方向分解，化矢量运算为代数运算。

斜面上重力的分解是典型模型：物体在倾角 θ\theta 的斜面上，重力 GG 分解为沿斜面向下的 Gsin⁡θG\sin\theta 和垂直斜面向下的 Gcos⁡θG\cos\theta。

G∥=Gsin⁡θG⊥=Gcos⁡θG_{\parallel}=G\sin\theta\quad G_{\perp}=G\cos\theta

正交分解的步骤：选坐标轴（一般沿运动方向和垂直方向）、将各力投影到两轴、分别对两轴列方程。

共点力的平衡​

共点力：作用于同一点，或作用线相交于同一点的几个力。

平衡状态：物体处于 静止 或 匀速直线运动 状态，此时加速度为零。

共点力平衡条件：物体所受合力为零。

F⃗合=0\vec{F}_{合}=0

正交分解后，平衡条件写为两个方向上的分量平衡：

∑Fx=0∑Fy=0\sum F_x=0\quad \sum F_y=0

  • 二力平衡：两力等大、反向、共线；
  • 三力平衡：任意两力的合力与第三个力等大反向，三力可首尾相接构成 闭合三角形；
  • 处理平衡问题常用正交分解法、力的三角形法、相似三角形法。

三种方法的适用情形：

  • 正交分解法：受力较多（三个以上）时通用，把矢量运算化为两个方向的代数运算；
  • 力的三角形法：只受三个力时，将三力首尾相接构成闭合三角形，用几何关系求解；
  • 相似三角形法：力的三角形与几何图形中的三角形相似时，用对应边成比例求解。

一类常考的 动态平衡 问题：某个力方向不变、大小变化，另一个力方向也随之改变，用力的三角形分析各力的变化趋势最直观。

第四章 运动和力的关系​

牛顿第一定律​

牛顿第一定律（Newton's First Law）：一切物体总保持 匀速直线运动状态 或 静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。又称 惯性定律。

  • 揭示了力与运动的关系：力 不是 维持运动的原因，而是 改变 运动状态的原因；
  • 定律描述的是不受力（或合力为零）的理想情形，无法直接由实验验证，是在伽利略理想斜面实验基础上经推理得出。

惯性（Inertia）：物体保持原有运动状态不变的性质。

  • 一切物体都有惯性，惯性是物体的固有属性；
  • 质量 是惯性大小的 唯一 量度，质量越大惯性越大；
  • 惯性与物体是否受力、速度大小、运动状态均无关。

牛顿第二定律​

牛顿第二定律（Newton's Second Law）：物体加速度的大小与所受合外力成 正比，与质量成 反比，方向与 合外力方向相同。

F⃗=ma⃗\vec{F}=m\vec{a}

  • 矢量性：a⃗\vec{a} 的方向始终与合外力 F⃗\vec{F} 的方向一致；
  • 瞬时性：aa 与 FF 一一对应、同时产生同时消失，合力变化则加速度立即变化；
  • 同体性：FF、mm、aa 对应同一物体。

瞬时性问题的关键是判断哪些力能突变。绳、接触面 的弹力可突变（剪断瞬间立即变为零），轻弹簧、橡皮绳 的弹力不能突变（形变来不及改变，瞬间保持原值）。分析瞬间加速度，要先判断各力在该瞬间的取值，再求合力。

应用牛顿第二定律解题的一般步骤：

  1. 明确 研究对象，隔离受力分析；
  2. 建立坐标系，正交分解各力；
  3. 沿两轴列方程 ∑Fx=max\sum F_x=ma_x、∑Fy=may\sum F_y=ma_y；
  4. 求解并检验。

力学单位制​

  • 基本量：力学中选取 长度、质量、时间 为基本量，单位为米（m）、千克（kg）、秒（s）；
  • 导出量：由基本量根据物理关系推导得到，如速度、加速度、力；
  • 国际单位制（SI）：由基本单位和导出单位组成的单位体系。

列方程与运算时统一采用国际单位，可避免单位换算错误。1 N=1 kg⋅m/s21\ \text{N}=1\ \text{kg}\cdot\text{m/s}^2。

超重与失重​

物体在竖直方向有加速度时，对支持物的压力（或对悬绳的拉力）会偏离重力，出现超重或失重。设向上为正、加速度为 aa，由牛顿第二定律得支持力：

FN=m(g+a)F_N=m(g+a)

  • 超重：FN>mgF_N>mg，物体有 向上 的加速度（加速上升或减速下降）；
  • 失重：FN<mgF_N<mg，物体有 向下 的加速度（加速下降或减速上升）；
  • 完全失重：a=ga=g、方向向下时 FN=0F_N=0，如自由落体、绕地球做圆周运动。
状态加速度方向视重与重力
超重向上FN>mgF_N>mg
失重向下FN<mgF_N<mg
完全失重向下且 a=ga=gFN=0F_N=0

超重失重时物体的 实际重力不变，改变的只是对支持物的作用力（视重）。判断依据是加速度方向，与速度方向无关。

牛顿第三定律​

牛顿第三定律（Newton's Third Law）：两个物体间的作用力与反作用力总是 大小相等、方向相反，作用在同一条直线上。

  • 作用力与反作用力 同时产生、同时消失，是同一性质的力；
  • 分别作用在 两个不同物体 上，效果不能抵消；
  • 与二力平衡区别明显：平衡力作用在 同一物体 上，作用力与反作用力作用在 两个物体 上。
作用力与反作用力一对平衡力
作用对象两个物体同一物体
性质一定相同不一定相同
是否抵消不能抵消可以抵消
存在关系同生同灭可单独存在

连接体问题​

连接体：由绳、杆或接触面连接、一起运动的多个物体系统。处理方法有整体法与隔离法。

  • 整体法：把加速度相同的几个物体看作一个整体，只分析外力，求系统的加速度；
  • 隔离法：把某个物体单独取出，分析它受到的全部力（含相互作用力），求物体间的作用力。

典型思路：先用整体法求加速度，再用隔离法求内力。以质量 m1m_1、m2m_2 的两物块在光滑水平面上被水平力 FF 推动为例，整体法得：

a=Fm1+m2a=\frac{F}{m_1+m_2}

隔离后一物块，得两物块间的作用力 FN=m2a=m2m1+m2FF_N=m_2a=\frac{m_2}{m_1+m_2}F。

常见连接体模型的处理要点：

  • 叠放模型：上下两物体靠摩擦力连接，判断是否相对滑动是关键；
  • 弹簧模型：弹簧连接的两物体加速度可以不同，弹力由形变量决定；
  • 绳连模型：不可伸长的绳连接的物体，沿绳方向的加速度大小相等。

用整体法求出的作用力，与用另一个物体隔离求得的结果必然一致，可相互验证。

动力学的两类问题​

牛顿第二定律 F⃗=ma⃗\vec{F}=m\vec{a} 把 力 与 运动 联系起来，aa 是二者的桥梁。据此有两类基本问题。

  • 已知受力求运动：先受力分析求合力，由 a=Fma=\frac{F}{m} 求加速度，再用运动学公式求速度、位移、时间；
  • 已知运动求受力：先用运动学公式求加速度，由 F=maF=ma 求合力，再分析各力。
类型已知桥梁求解
已知力求运动受力情况a=Fma=\frac{F}{m}速度、位移、时间
已知运动求力运动情况a=ΔvΔta=\frac{\Delta v}{\Delta t}合力、各力

两类问题的核心都是加速度 aa：由力经牛顿第二定律得 aa，再由 aa 经运动学公式联系位移与速度。分析清 研究对象、画好 受力图、选对 坐标系，是解题的基础。

必记公式​

匀变速直线运动与动力学的核心公式汇总如下。

名称公式说明
速度公式v=v0+atv=v_0+at不含位移
位移公式x=v0t+12at2x=v_0t+\frac{1}{2}at^2不含末速度
速度位移公式v2−v02=2axv^2-v_0^2=2ax不含时间
平均速度vˉ=v0+v2=vt/2\bar{v}=\frac{v_0+v}{2}=v_{t/2}仅匀变速
逐差公式Δx=aT2\Delta x=aT^2连续相等时间
自由落体v=gtv=gt，h=12gt2h=\frac{1}{2}gt^2v0=0v_0=0，a=ga=g
胡克定律F=kxF=kxxx 为形变量
滑动摩擦力f=μFNf=\mu F_N与接触面积无关
牛顿第二定律F=maF=ma力与运动的桥梁
平衡条件∑Fx=0\sum F_x=0，∑Fy=0\sum F_y=0加速度为零