万有引力与航天

万有引力与宇宙航行

物理学史

万有引力定律的建立，是观测、归纳与推理层层递进的结果。

• 第谷 长年积累了大量精确的天文观测数据；
• 开普勒 利用第谷的数据，归纳出行星运动的 三大定律；
• 牛顿 提出万有引力定律，用 月地检验 证明地面重力与天体间引力是同一种力，并在数学上推出了开普勒三定律；
• 卡文迪什 用 扭秤实验 测出引力常量 $G$，实验的巧妙之处在于 微小量放大——把极微弱的引力转化为可观测的光点偏转。

月地检验 是牛顿的思想实验：若重力与天体引力都遵循平方反比，月心到地心的距离约为地球半径的 $60$ 倍，那么月球绕地的向心加速度应是地面 $g$ 的 $\frac{1}{60^2}=\frac{1}{3600}$。计算与观测吻合，万有引力的普适性由此确立。

开普勒行星运动定律

行星绕太阳运动的规律，是万有引力定律的观测基础。这里的「行星」泛指做环绕运动的天体，「太阳」泛指提供引力的中心天体——恒星绕黑洞转动时，恒星就是「行星」、黑洞就是「太阳」。

• 第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上；
• 第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。故行星近日点速度快、远日点速度慢，设近日点、远日点到太阳距离为 $r_1$、$r_2$，速度为 $v_1$、$v_2$，则 $r_1v_1=r_2v_2$；
• 第三定律（周期定律）：所有行星轨道半长轴 $a$ 的三次方与公转周期 $T$ 的平方之比相等：

$\frac{a^3}{T^2}=k$

比值 $k$ 只与 中心天体（太阳）有关。中学阶段常把椭圆近似为圆，$a$ 取轨道半径 $r$。由万有引力提供向心力可推出这个常量的具体形式：

$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{4\pi^2}{T^2}r\implies k=\frac{r^3}{T^2}=\frac{GM}{4\pi^2}$

面积定律的本质是「连线扫过的面积速率不变」。设太阳到行星速度方向所在直线的距离为 $h$，则 $vh$ 恒定，即 $v$ 与 $h$ 成反比；在近日点、远日点，速度垂直于连线，$h$ 就等于日星距离，于是化为 $r_1v_1=r_2v_2$。

万有引力定律

自然界中任意两个物体都相互吸引，引力大小与两物体质量乘积成正比，与它们距离的平方成反比：

$F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$

• 引力常量 $G=6.67\times 10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^2/kg^2}$，由卡文迪什扭秤实验测得；
• 公式适用于 质点，或均匀球体（$r$ 为球心间距）、相距很远的物体；
• 万有引力是行星、卫星做圆周运动的向心力来源。

壳层定理 说明了为何均匀球体能当成质点处理：均匀球壳对壳内物体的引力合力为零，对壳外物体则等效于全部质量集中在球心的质点。推论是，均匀球体对外部物体等效于球心处的质点；对内部距球心 $r$ 处的物体，只有半径 $r$ 以内的球体部分产生净引力，外层球壳的引力互相抵消。

万有引力与重力

地球表面附近，物体所受重力近似等于地球对它的万有引力（忽略地球自转影响）：

$mg=G\frac{Mm}{R^2}\implies g=\frac{GM}{R^2}$

$GM=gR^2$ 称 黄金代换，在不知 $M$ 时用地表 $g$ 和半径 $R$ 替换，是解题常用手段。

在离地面高 $h$ 处，$g'=\frac{GM}{(R+h)^2}$，随高度增大而减小。

地球自转的影响：严格说，地面物体的万有引力分成两部分，一部分提供随地球自转的向心力，剩下的才是重力。

• 两极：物体到地轴距离为零，向心力为零，重力等于万有引力，$g$ 最大；
• 赤道：向心力最大，且与万有引力共线，$G\frac{Mm}{R^2}=mg+m\omega^2R$，故 $g$ 最小。

从两极到赤道，$g$ 随纬度降低而减小。一般题目忽略自转，只在讨论 $g$ 随纬度变化、超重失重时才计入。

天体质量与密度的计算

万有引力提供向心力，是「天上」问题的核心方程。对绕中心天体做圆周运动的行星 / 卫星：

$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r=m\frac{4\pi^2}{T^2}r$

估算中心天体质量（已知卫星轨道半径 $r$ 与周期 $T$）：

$M=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2}$

估算中心天体密度（卫星贴近天体表面运动，$r=R$）：

$\rho=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{3\pi}{GT^2}$

贴近表面运行时，只需测出周期 $T$ 即可估算天体密度，与天体半径无关。若测得的是地表 $g$ 与半径 $R$，则由黄金代换 $M=\frac{gR^2}{G}$ 得 $\rho=\frac{3g}{4\pi GR}$——不依赖任何卫星，「自力更生」即可求密度。

由「万有引力提供向心力」可推出绕行天体的各量随轨道半径 $r$ 的变化（「高轨低速大周期」）：

$$\begin{aligned} v & =\sqrt{\frac{GM}{r}} \\ \omega & =\sqrt{\frac{GM}{r^3}} \\ T & =2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} \end{aligned}$$

$r$ 越大，线速度 $v$ 越小、角速度 $\omega$ 越小、周期 $T$ 越大。这是判断卫星轨道问题的通用结论。

人造卫星与宇宙速度

近地卫星 轨道半径约等于地球半径 $R$，由 $\frac{GMm}{R^2}=\frac{mv^2}{R}$ 得其环绕速度：

$v_1=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{gR}\approx 7.9\ \mathrm{km/s}$

三个宇宙速度：

名称	数值	物理意义
第一宇宙速度	$7.9\ \mathrm{km/s}$	近地环绕速度，卫星绕地最大环绕速度、发射最小速度
第二宇宙速度	$11.2\ \mathrm{km/s}$	脱离地球引力束缚（逃逸速度）所需最小发射速度
第三宇宙速度	$16.7\ \mathrm{km/s}$	挣脱太阳引力、飞出太阳系所需最小发射速度

• $v_1=7.9\ \mathrm{km/s}$ 既是最大环绕速度，也是最小发射速度：贴地环绕最快，越高环绕越慢；
• 逃逸速度由能量关系得出，物体动能恰好抵消引力束缚：$\frac{1}{2}mv_2^2=G\frac{Mm}{R}$，解得 $v_2=\sqrt{2gR}=\sqrt 2 v_1\approx 11.2\ \mathrm{km/s}$；
• 发射速度介于 $7.9\sim 11.2\ \mathrm{km/s}$ 时，卫星绕地做椭圆轨道运动。

地球同步卫星 周期与地球自转周期相同（$T=24\ \mathrm{h}$），必须满足：

• 位于赤道正上方，运行方向与地球自转同向；
• 由 $G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{4\pi^2}{T^2}r$ 解得轨道半径唯一，距地面约 $3.6\times 10^4\ \mathrm{km}$；
• 所有同步卫星轨道半径、速率、周期、高度都相同，只是位置不同。

注意

近地卫星与同步卫星常放在一起比较：近地卫星周期约 $85\ \mathrm{min}$、速度约 $7.9\ \mathrm{km/s}$，同步卫星周期 $24\ \mathrm{h}$、速度约 $3.1\ \mathrm{km/s}$。同步卫星轨道高于近地卫星，故速度更小、周期更大，符合「高轨低速大周期」。

双星系统

两颗星在彼此的万有引力下，绕它们连线上的公共 质心 做匀速圆周运动。设两星质量为 $m_A$、$m_B$，间距为 $L$，绕质心半径为 $r_A$、$r_B$（$r_A+r_B=L$）。二者靠同一对万有引力维系，故 角速度相同。分别对两星列方程：

$$\begin{aligned} G\frac{m_Am_B}{L^2} & =m_A\omega^2r_A \\ G\frac{m_Am_B}{L^2} & =m_B\omega^2r_B \end{aligned}$$

• 两式相除得 $m_Ar_A=m_Br_B$：质量越大的星，公转半径越小、速度越小，离质心越近；
• 两式相加得 $G\frac{m_A+m_B}{L^2}=\omega^2L$，即 $\omega=\sqrt{\frac{G(m_A+m_B)}{L^3}}$——角速度只由 总质量 与间距决定；
• 两星受到的万有引力大小始终相等（作用力与反作用力）。

卫星变轨与超重失重

卫星变轨：卫星在低轨圆周上运行时，若点火加速，所需向心力 $\frac{mv^2}{r}$ 增大而万有引力不变，引力不足，卫星做离心运动进入更高的椭圆轨道；到达远地点再次点火加速，可进入更高的圆轨道。变轨的核心是「加速升轨、减速降轨」。

同一圆轨道上，卫星速度由轨道半径唯一决定，无法通过点火在同一圆轨道上加速或减速——加速必然升轨、减速必然降轨。

超重与失重：由物体竖直方向的加速度决定，本质是视重（支持力 / 拉力）与真实重力的差异。

状态	加速度方向	视重与重力
超重	向上（加速上升或减速下降）	视重大于重力
失重	向下（加速下降或减速上升）	视重小于重力
完全失重	向下、$a=g$	视重为零

绕地球运行的卫星、抛体运动中的物体都处于 完全失重 状态，其内部一切与重力有关的现象（如浮力、液柱压强）都消失。

必记公式表

物理量	公式	说明
万有引力	$F=G\frac{Mm}{r^2}$	质点或均匀球体
黄金代换	$g=\frac{GM}{R^2}$	$GM=gR^2$
环绕速度	$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$	高轨低速
天体质量	$M=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2}$	由卫星 $r$、$T$ 求
第一宇宙速度	$v_1=\sqrt{gR}\approx 7.9\ \mathrm{km/s}$	最大环绕、最小发射