功、能量与动量

机械能守恒定律

功

力对物体做的功，等于力的大小、位移大小以及二者夹角余弦的乘积：

$W=Fl\cos\alpha$

• $\alpha$ 是力 $\vec F$ 与位移 $\vec l$ 的夹角；功是 标量，单位焦耳（$\mathrm{J}$）；
• $\alpha<90^\circ$，$W>0$，力做正功（动力）；
• $\alpha=90^\circ$，$W=0$，力不做功；
• $\alpha>90^\circ$，$W<0$，力做负功（阻力），或说物体克服该力做功。

几个力共同作用时，总功 等于各力做功的代数和，也等于合力做的功：

$W_{\text{总}}=W_1+W_2+\dots=F_{\text{合}}l\cos\alpha$

比较两个功的大小，默认比较绝对值：$-5\ \mathrm{J}$ 比 $-3\ \mathrm{J}$「做功更多」。

变力做功 有几种常用的化归方法：

• 力向位移：恒力做功只与位移在力方向上的投影有关，$W=Fl_F$（$l_F$ 为「力向位移」，可正可负）。求重力做功时，无论路径如何，只看竖直高度差 $h$，$W_G=\pm mgh$；
• 大小恒定、方向与运动夹角恒定：如滑动摩擦力，$W=Fl\cos\theta$，其中 $l$ 是 路径长度 而非位移。物体先右滑 $3\ \mathrm{m}$ 再左滑 $2\ \mathrm{m}$，摩擦力做功要代入总路程 $5\ \mathrm{m}$，不是净位移；
• $F\text{-}x$ 图像：图线与 $x$ 轴围成的「有向面积」即为变力做的功，$x$ 轴上方取正、下方取负。

斜面上的滑动摩擦等效：物体在倾角 $\theta$、粗糙的斜面上下滑，摩擦力 $f=\mu mg\cos\theta$，沿斜长 $L$ 做功 $W=-\mu mg\cos\theta\cdot L$。由 $L\cos\theta=x$（$x$ 为水平宽度）得：

$W=-\mu mgx$

即滑动摩擦做功只与 水平距离 有关，与斜面倾角无关——从等高的不同斜面滑下，克服摩擦做的功相同。

功率

功率描述做功的快慢，等于功与所用时间之比，单位瓦特（$\mathrm{W}$）。

$P=\frac{W}{t}$

上式为 平均功率。瞬时功率 等于力与瞬时速度的乘积：

$P=Fv\cos\alpha$

其中 $\alpha$ 为力与速度的夹角。当力与速度同向时 $P=Fv$。

机车启动 两种模型：

• 恒定功率启动：$P$ 不变，$F=\frac{P}{v}$，速度增大则牵引力减小，做加速度减小的加速运动，最终达最大速度 $v_{\max}=\frac{P}{f}$（$f$ 为阻力）；
• 恒定牵引力启动：$F$ 不变，先匀加速，功率随速度增大至额定功率后转为恒功率加速，最终同样达 $v_{\max}=\frac{P}{f}$。

无论哪种模型，最大速度都在 $F=f$（合力为零、加速度为零）时取得。

动能与动能定理

动能：物体由于运动而具有的能量，与质量、速度有关：

$E_k=\frac{1}{2}mv^2$

动能定理：合外力对物体做的总功，等于物体动能的变化量。

$W_{\text{总}}=E_{k2}-E_{k1}=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2$

• 动能定理是标量方程，不涉及方向，处理变力做功、曲线运动尤其方便；
• $W_{\text{总}}$ 为所有外力做功的代数和，包括重力、摩擦力、拉力等，切勿只代入其中一个力；
• 只关心始末状态的动能，与中间过程无关，是解题的有力工具。

选取哪一段运动列动能定理，看已知与所求：求某点的速度，选从一个已知速度的点到该点；求某段的信息，选两端速度都已知的段，这一段不必恰好是问题的端点，可以是包含它的更大一段。

Example

质量 $m$ 的物体以初速度 $v_0$ 冲上倾角 $\theta$ 的斜面，与斜面间动摩擦因数为 $\mu$，求沿斜面上滑的最大距离 $s$。

上滑过程受重力沿斜面分量 $mg\sin\theta$ 与摩擦力 $\mu mg\cos\theta$，方向均与运动相反。末状态速度为零，由动能定理：

$-(mg\sin\theta+\mu mg\cos\theta)s=0-\frac{1}{2}mv_0^2$

解得 $s=\frac{v_0^2}{2g(\sin\theta+\mu\cos\theta)}$。全程只需列始末状态，无需分段分析。

重力势能

物体由于被举高而具有的能量，等于重力与高度的乘积：

$E_p=mgh$

• 重力势能是 相对量，$h$ 从选定的 参考平面 量起，可正可负；
• 势能差与参考面选取无关，只与始末位置有关；
• 重力做功 只与始末位置的高度差有关，与路径无关：

$W_G=mgh_1-mgh_2=-\Delta E_p$

重力做正功，重力势能减小；重力做负功，重力势能增大。重力势能是物体与地球共有的。

弹性势能：发生弹性形变的物体具有的能量。同一弹簧形变量越大，弹性势能越大；弹簧被拉伸或压缩，弹性势能都增大。弹力做正功时弹性势能减小，做负功时增大，与重力势能规律一致。中学阶段不要求弹性势能的具体表达式，只作定性分析。

重力、弹力都是 保守力：它们做功只取决于始末位置，与路径无关，因而能定义出对应的势能。摩擦力则不然，做功与路径长度有关，是非保守力，没有对应的势能。

机械能守恒定律

动能与势能（重力势能、弹性势能）之和称 机械能。

机械能守恒定律：在只有重力（或弹力）做功的情形下，物体的动能与势能可以相互转化，而 机械能的总量保持不变。

$E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}$

即 $\frac{1}{2}mv_1^2+mgh_1=\frac{1}{2}mv_2^2+mgh_2$。也可写成「减少的势能等于增加的动能」：

$\Delta E_k=-\Delta E_p$

机械能守恒有三种等价表达，按题目条件择一使用：

• 守恒式：$E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}$，直接列始末两状态的总机械能相等；
• 转化式：$\Delta E_k=-\Delta E_p$，减少的势能等于增加的动能；
• 转移式：$\Delta E_A=-\Delta E_B$，系统内 A 减少的机械能等于 B 增加的机械能（用于连接体）。

守恒条件的判断：

• 只有重力或系统内弹力做功，其他力（如摩擦力、空气阻力）不做功或不存在；
• 有重力和弹力以外的力做功，机械能不守恒；
• 判断时看是否有摩擦、拉力、阻力等做功，而非看物体是否受这些力；
• 绳、杆连接的系统内，绳（杆）的弹力对整个系统做功之和为零，不破坏系统机械能守恒。

Example

自由落体、平抛、光滑斜面下滑、单摆摆动、竖直平面内光滑圆轨道运动，都满足机械能守恒。选参考面后对始末两状态列守恒方程即可，无需分析中间过程。

功能关系与能量守恒

功是能量转化的量度：某种力做功，对应某种能量的变化。

力做功	对应能量变化
合外力做的功	等于动能的变化 $W_{\text{合}}=\Delta E_k$
重力做的功	等于重力势能变化的相反数 $W_G=-\Delta E_p$
弹力做的功	等于弹性势能变化的相反数
除重力、弹力外的力做的功	等于机械能的变化 $W_{\text{其他}}=\Delta E_{\text{机}}$
滑动摩擦力做功	与相对滑动路程相关，摩擦生热 $Q=F_f\cdot s_{\text{相对}}$

「除重力、弹力外的力做的功等于机械能的变化」是 功能原理，比机械能守恒更普适：这些力做正功则机械能增加，做负功则机械能减少，做功为零才守恒——守恒只是它的特例。

能量守恒定律：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，只能从一种形式转化为另一种形式，或从一个物体转移到另一个物体，总量保持不变。它是自然界最普遍的规律之一。

各种功与能量变化的对应关系可归结如下：

一对滑动摩擦力做功之和为负，等于系统减少的机械能，这部分机械能转化为内能：$Q=F_f\cdot s_{\text{相对}}$，其中 $s_{\text{相对}}$ 为两物体间的相对滑动路程。注意这里用的是 相对滑动路程，而非某个物体对地的位移——一对静摩擦力做功之和恒为零，只有相对滑动才生热。

动量守恒定律

动量与冲量

动量

• 动量（Momentum）：物体质量与速度的乘积，用 $p$ 表示；
• 定义式 $p=mv$，单位 $\text{kg}\cdot\text{m/s}$；
• 动量是 矢量，方向与速度方向相同；
• 动量的变化 $\Delta p=p'-p$ 也是矢量，一维情况下先规定正方向，再按代数值计算。

动量与动能的区别：动能 $E_k=\frac{1}{2}mv^2$ 是标量，恒为正；动量是矢量，方向随速度改变。二者关系为 $E_k=\frac{p^2}{2m}$。

	动量 $p$	动能 $E_k$
表达式	$p=mv$	$E_k=\frac{1}{2}mv^2$
矢标性	矢量	标量
变化条件	速度大小或方向改变	仅速度大小改变

匀速圆周运动的物体，速率不变、动能不变，但速度方向时刻改变，动量一直在变。

冲量

• 冲量（Impulse）：力与作用时间的乘积，用 $I$ 表示；
• 恒力的冲量 $I=Ft$，单位 $\text{N}\cdot\text{s}$；
• 冲量是 矢量，方向与力的方向相同（恒力情况下）；
• $\text{N}\cdot\text{s}$ 与 $\text{kg}\cdot\text{m/s}$ 是同一单位，$1\ \text{N}\cdot\text{s}=1\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$。

冲量描述力对时间的 累积效应。变力冲量一般用动量定理反求，也可用「$F$–$t$ 图像与时间轴围成的面积」求恒力或线性变力的冲量。

重力的冲量恒为 $mgt$，方向竖直向下，与运动路径无关。

动量定理

内容与表达式

动量定理：物体所受合外力的冲量等于它动量的变化量。

$Ft=mv'-mv=\Delta p$

• 合外力冲量与动量变化量 大小相等、方向相同；
• 是矢量式，一维问题先定正方向再代入正负；
• 对变力同样成立，此时 $F$ 取平均力或用面积法处理。

动量定理揭示了 力在时间上的累积 改变动量。它与牛顿第二定律等价：由 $F=ma=m\frac{\Delta v}{\Delta t}$ 变形即得 $Ft=m\Delta v$。

应用

• 求变力冲量或平均力：碰撞、打击时间极短、力很大且变化复杂，用动量定理避开瞬时受力分析；
• 缓冲减力：动量变化一定时，延长作用时间 $t$ 可减小平均力 $F$。跳高垫、汽车缓冲区、缓冲包装都据此设计；
• 增大冲力：缩短作用时间可增大冲力，如锤子敲击、快速冲压。

Example

质量 $m=0.5\ \text{kg}$ 的球以 $v=6\ \text{m/s}$ 竖直下落，与地面碰撞后以 $4\ \text{m/s}$ 反弹，接触时间 $t=0.02\ \text{s}$。取向上为正，求地面对球的平均作用力。

碰撞前动量 $p=-mv=-3\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$，碰后 $p'=mv'=2\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$。

对球用动量定理（合力为地面支持力 $N$ 与重力 $mg$）：

$(N-mg)t=p'-p$

代入得 $N=\frac{p'-p}{t}+mg=\frac{5}{0.02}+5=255\ \text{N}$。

动量守恒定律

内容与条件

动量守恒定律：一个系统不受外力或所受外力之和为零，系统的总动量保持不变。

对两个物体组成的系统：

$m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'$

守恒条件（满足其一即可）：

• 不受外力，或所受外力的合力为零；
• 系统所受外力远小于内力（碰撞、爆炸的瞬间），可近似守恒；
• 某方向合外力为零，则该方向动量守恒（如水平方向）。

内力 只在系统内部相互作用，不改变系统总动量；外力 才可能改变总动量。碰撞中内力（相互作用力）远大于重力、摩擦力等外力，故动量近似守恒。

守恒的判断

情形	是否守恒
光滑水平面上两物体碰撞	守恒
竖直方向碰撞（含重力）	短时间内近似守恒
系统受恒定摩擦但内力极大	近似守恒
某方向合外力为零	该方向守恒

应用步骤：选系统与研究过程、规定正方向、写出碰前碰后各物体动量、列守恒方程求解。方向 是易错点，反向速度必须代负值。

碰撞、反冲与爆炸

碰撞的分类

碰撞过程动量守恒。按动能是否损失分类：

类型	动量	动能	特点
弹性碰撞	守恒	守恒	碰后分开，无机械能损失
非弹性碰撞	守恒	部分损失	一般碰撞
完全非弹性碰撞	守恒	损失最大	碰后粘在一起共速

一维弹性碰撞 联立动量守恒与动能守恒：

$$\begin{cases} m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2' \\ \frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=\frac{1}{2}m_1v_1'^2+\frac{1}{2}m_2v_2'^2 \end{cases}$$

设 $m_2$ 初始静止（$v_2=0$），解得：

$$\begin{aligned} v_1' & =\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1 \\ v_2' & =\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1 \end{aligned}$$

由此看几种特例：

• $m_1=m_2$：$v_1'=0$、$v_2'=v_1$，交换速度；
• $m_1\gg m_2$：$v_1'\approx v_1$、$v_2'\approx 2v_1$，大球几乎不变、小球以近两倍速度弹出；
• $m_1\ll m_2$：$v_1'\approx-v_1$、$v_2'\approx 0$，小球原速率反弹、大球几乎不动。

完全非弹性碰撞 碰后共速 $v$：

$v=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}$

碰撞的合理性检验：碰后不能出现「后面的物体速度大于前面的物体」这类穿越，且系统动能不能增加。

反冲与爆炸

• 反冲：系统某部分向一方运动，另一部分向反方向运动，总动量守恒。火箭、反冲小车、发射炮弹都是反冲；
• 爆炸：内力（爆炸力）远大于外力，动量守恒；爆炸释放化学能，系统动能 增大。

火箭靠向后高速喷气获得向前的动量。设初始总动量为零，喷气动量与箭体动量大小相等、方向相反：

$m_{\text{气}}v_{\text{气}}=m_{\text{箭}}v_{\text{箭}}$

爆炸问题：爆炸前后动量守恒，但动能因释放能量而增加，不能用动能守恒。

必记公式表

物理量	公式	说明
功	$W=Fl\cos\alpha$	标量
瞬时功率	$P=Fv\cos\alpha$	力与速度夹角 $\alpha$
动能	$E_k=\frac{1}{2}mv^2$	标量
动能定理	$W_{\text{总}}=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2$	处理变力、曲线运动
重力势能	$E_p=mgh$	相对参考面
机械能守恒	$\frac{1}{2}mv_1^2+mgh_1=\frac{1}{2}mv_2^2+mgh_2$	只有重力 / 弹力做功
动量	$p=mv$	矢量，方向同速度
冲量	$I=Ft$	恒力，矢量
动量定理	$Ft=mv'-mv$	合外力冲量等于动量变化
动量守恒	$m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'$	合外力为零