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选择性必修第二册

物理选考笔记，对应人教版《选择性必修第二册》，按专题整理。

第一章 安培力与洛伦兹力​

磁场与磁感应强度​

磁体、电流、运动电荷周围存在 磁场，磁场对放入其中的磁体、电流、运动电荷有力的作用。磁场是一种客观存在的物质，具有能量。

磁感应强度（Magnetic Flux Density）BB 描述磁场的强弱和方向：在磁场中垂直于磁场方向放一小段通电导线，受力 FF 与电流 II、导线长度 LL 的乘积之比是一个恒量，定义

B=FILB=\frac{F}{IL}

单位是特斯拉（Tesla），符号 T\text{T}，1 T=1 N/(A⋅m)1\ \text{T}=1\ \text{N/(A}\cdot\text{m)}。BB 是 矢量，方向就是该点小磁针 N 极的受力方向，即磁场方向。

  • 磁感线是为形象描述磁场引入的假想曲线，切线方向即该点磁场方向，疏密表示强弱；
  • 磁感线是 闭合曲线，在磁体外部由 N 极指向 S 极，内部由 S 极指向 N 极；
  • 磁感线不相交、不中断。

几种典型磁场的磁感线：

磁场特征
条形磁体外部 N 极出、S 极入，两极最密
蹄形磁体两极间中央区域近似匀强场
直线电流同心圆，方向由右手螺旋定则判定
环形电流中轴上磁场最强，穿心指向 N 极
通电螺线管内部近似匀强，外部似条形磁体

判断电流磁场方向用 右手螺旋定则（安培定则）：直线电流时大拇指指电流方向，四指弯曲方向为磁场方向；环形电流或螺线管时四指指电流方向，大拇指指向内部磁场方向（螺线管的 N 极）。

匀强磁场中各点磁感应强度大小相等、方向相同，磁感线是一组等间距的平行直线。

磁通量​

穿过某一面积的磁感线条数用 磁通量（Magnetic Flux）Φ\Phi 表示。匀强磁场中，若面积 SS 与磁场垂直，则

Φ=BS\Phi=BS

单位是韦伯（Weber），符号 Wb\text{Wb}，1 Wb=1 T⋅m21\ \text{Wb}=1\ \text{T}\cdot\text{m}^2。若平面法线与 BB 成 θ\theta 角，则 Φ=BScos⁡θ\Phi=BS\cos\theta。

由 B=ΦSB=\frac{\Phi}{S} 可见，磁感应强度等于垂直穿过单位面积的磁通量，故 BB 又称 磁通密度。磁通量是标量，但有正负：磁感线从一面穿入记正，则从同面穿出记负。

安培力​

通电导线在磁场中受到的力称 安培力（Ampère Force）。当导线与磁场方向垂直时，安培力最大：

F=BILF=BIL

当导线与磁场方向成 θ\theta 角时，只有垂直分量 Bsin⁡θB\sin\theta 产生力，故

F=BILsin⁡θF=BIL\sin\theta

导线与磁场平行时（θ=0\theta=0）安培力为零。

安培力方向用 左手定则 判断：伸开左手，让磁感线穿入手心，四指指向电流方向，大拇指所指即安培力方向。

矢量对应手的部位
磁场 BB穿入手心（掌心）
电流 II四指指向
安培力 FF大拇指指向

安培力 总是 垂直于 BB 与 II 所决定的平面，即同时垂直于电流方向和磁场方向。磁电式电流表正是利用通电线圈在磁场中受安培力偏转来指示电流的。

洛伦兹力​

安培力的本质是磁场对运动电荷作用力的宏观表现。磁场对单个运动电荷的作用力称 洛伦兹力（Lorentz Force）。

当电荷以速度 vv 垂直于磁场运动时：

F=qvBF=qvB

一般地，vv 与 BB 成 θ\theta 角时，F=qvBsin⁡θF=qvB\sin\theta；速度与磁场平行时洛伦兹力为零。

洛伦兹力方向仍用 左手定则：四指指向 正电荷 运动方向（负电荷则指向其运动的反方向），大拇指指向洛伦兹力方向。

洛伦兹力始终 垂直于速度，故对电荷 不做功，只改变速度方向、不改变速度大小。这是分析带电粒子在磁场中运动的关键。

由安培力可推出洛伦兹力：一段导线长 LL、横截面积 SS、单位体积内自由电荷数 nn，则 I=nqvSI=nqvS，代入 F=BILF=BIL，导线受力等于其中 nSLnSL 个电荷所受洛伦兹力之和，除以电荷数即得 f=qvBf=qvB。

带电粒子在磁场中的圆周运动​

带电粒子仅受洛伦兹力时，力恒垂直于速度、大小不变，粒子做 匀速圆周运动。洛伦兹力提供向心力：

qvB=mv2rqvB=\frac{mv^2}{r}

解得轨道半径

r=mvqBr=\frac{mv}{qB}

周期与速度无关：

T=2πrv=2πmqBT=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{qB}

周期只由粒子的比荷 qm\frac{q}{m} 和磁场 BB 决定，与速度、半径无关，这是回旋加速器等装置的原理基础。

分析此类问题的方法：

  • 画轨迹：圆心在过入射点且垂直于速度的直线上，也在过出射点垂直于出射速度的直线上，两垂线交点即圆心；
  • 定半径：由几何关系或 r=mvqBr=\frac{mv}{qB} 求；
  • 求时间：由圆心角 φ\varphi 得 t=φ2πTt=\frac{\varphi}{2\pi}T。

若粒子同时受重力，需比较重力与洛伦兹力量级：基本粒子（电子、质子）通常忽略重力；带电微粒（油滴、尘埃）则不能忽略。

带电粒子在电场和磁场中的运动​

速度选择器​

在同一空间加相互垂直的匀强电场 EE 与匀强磁场 BB，带电粒子沿垂直于二者的方向射入。电场力 qEqE 与洛伦兹力 qvBqvB 方向相反，当

qE=qvB  ⟹  v=EBqE=qvB\implies v=\frac{E}{B}

时粒子匀速直线通过。只有速度恰为 v=EBv=\frac{E}{B} 的粒子才能通过，与电荷量、正负、质量无关，故称 速度选择器。

质谱仪​

质谱仪（Mass Spectrograph）测量带电粒子的质量与比荷。粒子经速度选择器后以 v=EBv=\frac{E}{B} 进入磁感应强度为 B′B' 的偏转磁场做圆周运动，打在底片上，测出直径 2r2r：

r=mvqB′  ⟹  m=qB′rv=qBB′rEr=\frac{mv}{qB'}\implies m=\frac{qB'r}{v}=\frac{qBB'r}{E}

同种电荷、不同质量的粒子半径不同，落点分开，据此分辨同位素。

回旋加速器​

回旋加速器（Cyclotron）用来把带电粒子加速到很高能量。两个 D 形金属盒接高频交变电压，粒子在盒内磁场中做圆周运动、在缝隙处被电场加速：

  • 磁场使粒子做圆周运动，T=2πmqBT=\frac{2\pi m}{qB} 与速度无关，故交变电压周期与之相同即可持续加速；
  • 每次经缝隙加速一次，速度增大、半径增大，轨迹为一系列半径渐增的半圆；
  • 最大动能由最大半径 RR（盒的半径）决定：

Ek=12mvmax⁡2=q2B2R22mE_k=\frac{1}{2}mv_{\max}^2=\frac{q^2B^2R^2}{2m}

粒子能量受盒半径限制，相对论效应使高速粒子周期变长，是回旋加速器的能量上限来源。

第二章 电磁感应​

电磁感应现象与楞次定律​

只要穿过闭合回路的 磁通量发生变化，回路中就产生感应电流，这一现象称 电磁感应（Electromagnetic Induction），产生的电流称 感应电流。

产生感应电流的条件：

  • 电路 闭合；
  • 穿过闭合回路的 磁通量变化（ΔΦ≠0\Delta\Phi\neq 0）。

磁通量变化的常见方式：磁场变（BB 变）、面积变（SS 变）、二者夹角变（导体在磁场中转动或平动）。注意磁通量变化率 ΔΦΔt\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} 不为零才有电流，磁通量本身很大但不变则无感应电流。

楞次定律（Lenz's Law）判断感应电流方向：感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化。核心是「阻碍」——增反减同：

  • 原磁通量增大时，感应电流磁场与原磁场方向 相反；
  • 原磁通量减小时，感应电流磁场与原磁场方向 相同。

确定方向的步骤：

  1. 明确原磁场方向及穿过回路的磁通量是增还是减；
  2. 由楞次定律定出感应电流磁场方向（阻碍变化）；
  3. 由右手螺旋定则反推感应电流方向。

「阻碍」的多重含义（阻碍而非阻止，变化仍在发生）：

变化情形感应电流的效果
磁通量增感应电流磁场反向，阻碍其增大
磁通量减感应电流磁场同向，阻碍其减小
相对运动安培力阻碍相对运动（来拒去留）
面积变化阻碍面积变化（增缩减扩）

对导体切割磁感线的情形，也可直接用 右手定则（伸开右手，磁感线穿入手心，大拇指指导体运动方向，四指指感应电流方向），它与楞次定律结论一致。

法拉第电磁感应定律​

电磁感应的实质 是产生 感应电动势（Induced Electromotive Force）。只要磁通量变化就有感应电动势，回路闭合时才有感应电流；回路不闭合，有电动势而无电流。

法拉第电磁感应定律（Faraday's Law）：电路中感应电动势的大小，与穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。对 nn 匝线圈：

ε=nΔΦΔt\varepsilon=n\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}

ΔΦΔt\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} 是磁通量变化率，由 ΔΦ=Δ(BS)\Delta\Phi=\Delta(BS) 展开可分为两类：SS 不变而 BB 变（感生），BB 不变而 SS 变（动生）。

导体棒切割磁感线时，设棒长 LL、以速度 vv 垂直匀强磁场 BB 且垂直自身运动：

ε=BLv\varepsilon=BLv

这是 ε=nΔΦΔt\varepsilon=n\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} 在切割情形下的特例（ΔΦ=BL⋅vΔt\Delta\Phi=BL\cdot v\Delta t）。若 vv 与 BB、LL 均垂直，取上式；若 vv 与 BB 成 θ\theta 角，则 ε=BLvsin⁡θ\varepsilon=BLv\sin\theta（只有垂直于 BB 的速度分量有效）。

两式的适用场景：

公式适用说明
ε=nΔΦΔt\varepsilon=n\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}求一段时间平均值磁通量变化率通用
ε=BLv\varepsilon=BLv求某时刻瞬时值导体切割磁感线，vv 为瞬时速度

用 ε=BLv\varepsilon=BLv 且 vv 为瞬时速度时求得瞬时电动势；vv 为平均速度时求得平均电动势。

电磁感应中的电路与图像​

感应电动势的电源是产生电动势的那段导体（如切割磁感线的棒），其余部分为外电路。计算电流用闭合电路欧姆定律：

I=εR+rI=\frac{\varepsilon}{R+r}

其中 rr 为电源（导体棒）内阻，RR 为外电路电阻。棒两端电压（路端电压）U=IR=ε−IrU=IR=\varepsilon-Ir。

导体棒受安培力 F=BIL=B2L2vR+rF=BIL=\frac{B^2L^2v}{R+r}。安培力方向由楞次定律（或左手定则）判断，总是阻碍棒的运动。这类问题常与牛顿运动定律、动量、能量结合：

  • 单杆匀速：安培力与外力平衡，F外=BILF_{外}=BIL；
  • 单杆加速 / 减速：由 ma=F外−BILma=F_{外}-BIL 分析，速度变则电流、安培力都变，往往趋于 匀速（收尾速度） 或停止；
  • 能量转化：外力做功或动能减少，转化为电阻上的焦耳热，Q=W外−ΔEkQ=W_{外}-\Delta E_k。

互感与自感​

互感​

两个相邻线圈，一个线圈中电流变化引起穿过另一个线圈的磁通量变化，从而在其中产生感应电动势，这一现象称 互感（Mutual Induction）。变压器就是利用互感工作的。

自感​

由于导体本身的电流发生变化而产生的电磁感应现象称 自感（Self-induction），产生的电动势称 自感电动势。自感电动势总要阻碍导体中原电流的变化：

  • 电流增大时，自感电动势方向与原电流相反，阻碍其增大；
  • 电流减小时，自感电动势方向与原电流相同，阻碍其减小。

自感电动势的大小 εL=LΔIΔt\varepsilon_L=L\frac{\Delta I}{\Delta t}，其中 LL 是 自感系数（电感），单位亨利（Henry），符号 H\text{H}。线圈越长、匝数越多、横截面积越大、有铁芯，LL 越大。

典型现象：

  • 通电自感：开关闭合瞬间，串联电感的支路电流增长滞后，灯泡逐渐变亮；
  • 断电自感：开关断开瞬间，电感维持电流，可能使并联的灯泡出现「闪亮」后熄灭。

自感的作用是「阻碍变化」，使电流不能突变。日光灯的镇流器、电感元件都利用了自感。

涡流、电磁阻尼和电磁驱动​

  • 涡流（Eddy Current）：块状金属处在变化的磁场中，内部感应出旋涡状电流。涡流生热是电磁炉、高频感应炉的原理；变压器铁芯用相互绝缘的硅钢片叠成以减小涡流损耗；
  • 电磁阻尼：导体在磁场中运动时，感应电流受安培力，方向总是阻碍其运动，起阻尼作用（如电磁天平、电表的阻尼）；
  • 电磁驱动：磁场运动带动其中导体运动（如感应电动机的转子随旋转磁场转动）。

第三章 交变电流​

交变电流的产生与描述​

大小和方向都随时间做周期性变化的电流称 交变电流（Alternating Current，AC），简称交流。

线圈在匀强磁场中 匀速转动 产生正弦式交变电流。设线圈匝数 nn、面积 SS、磁感应强度 BB、角速度 ω\omega，从 线圈平面与磁场平行（磁通量为零、切割最快）时开始计时：

e=nBSωsin⁡ωt=εmsin⁡ωte=nBS\omega\sin\omega t=\varepsilon_m\sin\omega t

峰值（最大值）为 εm=nBSω\varepsilon_m=nBS\omega，出现在线圈平面与磁场平行的位置；线圈平面与磁场 垂直 时磁通量最大而电动势为零。

正弦交流的描述量：

物理量符号含义
周期TT完成一次周期性变化所需时间
频率ff每秒完成周期性变化的次数，f=1Tf=\frac{1}{T}
角频率ω\omegaω=2πf=2πT\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}
峰值εm\varepsilon_m最大瞬时值
瞬时值ee某时刻的即时数值

我国工频交流 f=50 Hzf=50\ \text{Hz}，周期 T=0.02 sT=0.02\ \text{s}。

交变电流的有效值​

交流的 有效值 依据电流的 热效应 定义：让交流与某恒定电流在相同时间内、通过相同电阻产生相同的热量，则该恒定电流的值就是这个交流的有效值。

对 正弦式 交流，有效值与峰值的关系为

I=Im2U=Um2I=\frac{I_m}{\sqrt2}\qquad U=\frac{U_m}{\sqrt2}

即有效值是峰值的 12≈0.707\frac{1}{\sqrt2}\approx 0.707 倍。

  • 交流电压表、电流表读数、用电器额定值、保险丝的熔断电流，均指 有效值；
  • 「220 V220\ \text{V} 市电」的 220 V220\ \text{V} 是有效值，峰值约为 2202≈311 V220\sqrt2\approx 311\ \text{V}；
  • 求焦耳热、功率一律用有效值，P=UI=I2R=U2RP=UI=I^2R=\frac{U^2}{R}（此处均为有效值）。

12\frac{1}{\sqrt2} 这个关系 只对正弦交流成立。非正弦（如方波）须回到定义、按热效应相等求。

物理量表示
瞬时值e=εmsin⁡ωte=\varepsilon_m\sin\omega t
峰值最大瞬时值 εm\varepsilon_m
有效值正弦时为 εm2\frac{\varepsilon_m}{\sqrt2}，按热效应定义
平均值由 εˉ=nΔΦΔt\bar\varepsilon=n\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} 算，用于求电荷量

平均值与有效值不同：求通过导体的 电荷量 q=Iˉt=εˉR+rt=nΔΦR+rq=\bar It=\frac{\bar\varepsilon}{R+r}t=\frac{n\Delta\Phi}{R+r} 时用平均值，求 热量 时用有效值。

变压器​

变压器（Transformer）利用互感改变交流电压。理想变压器忽略各种损耗，原、副线圈的电压与匝数成正比：

U1U2=n1n2\frac{U_1}{U_2}=\frac{n_1}{n_2}

理想变压器输入功率等于输出功率，P1=P2P_1=P_2，即 U1I1=U2I2U_1I_1=U_2I_2，故电流与匝数成反比：

I1I2=n2n1\frac{I_1}{I_2}=\frac{n_2}{n_1}

分析要点（因果链：原线圈电压决定副线圈电压，负载决定副线圈电流，再决定原线圈电流）：

  • U2U_2 由 U1U_1 和匝数比决定，与负载无关；
  • I2I_2 由 U2U_2 和副线圈电路的负载决定；
  • I1I_1 由 I2I_2 和匝数比决定；
  • 副线圈开路时 I2=0I_2=0，I1=0I_1=0，原线圈几乎不取电流。

变压器只改变交流电压，不能变换直流（直流磁通量不变，副线圈无感应电动势）。

多个副线圈时，输入功率等于各副线圈输出功率之和：U1I1=U2I2+U3I3+…U_1I_1=U_2I_2+U_3I_3+\dots。

电能的输送​

远距离输电要减小输电线上的功率损耗。设输送功率 PP、输电电压 UU、输电线电阻 RR，则线上电流 I=PUI=\frac{P}{U}，损耗功率

P损=I2R=(PU)2R=P2RU2P_{损}=I^2R=\left(\frac{P}{U}\right)^2R=\frac{P^2R}{U^2}

在输送功率 PP 一定时，P损P_{损} 与输电电压 UU 的 平方成反比，故 高压输电 能大幅减小损耗。这是远距离输电升压的根本原因。

输电系统的典型结构：发电机 →\to 升压变压器 →\to 高压输电线 →\to 降压变压器 →\to 用户。

计算要点：

  • 输电线上的电压降 U损=IRU_{损}=IR，用户电压 U用=U2−U损U_{用}=U_2-U_{损}（U2U_2 为升压后送出电压）；
  • 输电效率 η=P−P损P=P用P\eta=\frac{P-P_{损}}{P}=\frac{P_{用}}{P}；
  • 减小损耗的两条途径：提高输电电压 UU，或减小输电线电阻 RR（用粗导线、低电阻材料），但提高电压更有效。

必记公式表​

物理量公式说明
磁感应强度B=FILB=\frac{F}{IL}定义式，I⊥BI\perp B
磁通量Φ=BScos⁡θ\Phi=BS\cos\thetaθ\theta 为面法线与 BB 夹角
安培力F=BILsin⁡θF=BIL\sin\theta左手定则定方向
洛伦兹力F=qvBsin⁡θF=qvB\sin\theta垂直于 vv，不做功
圆周运动半径r=mvqBr=\frac{mv}{qB}洛伦兹力提供向心力
圆周运动周期T=2πmqBT=\frac{2\pi m}{qB}与速度、半径无关
速度选择器v=EBv=\frac{E}{B}电场力与洛伦兹力平衡
法拉第定律ε=nΔΦΔt\varepsilon=n\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}求平均电动势
切割电动势ε=BLv\varepsilon=BLvvv、BB、LL 两两垂直
自感电动势εL=LΔIΔt\varepsilon_L=L\frac{\Delta I}{\Delta t}阻碍电流变化
电动势峰值εm=nBSω\varepsilon_m=nBS\omega线圈平面与 BB 平行时
正弦有效值U=Um2U=\frac{U_m}{\sqrt2}仅正弦成立
变压器电压U1U2=n1n2\frac{U_1}{U_2}=\frac{n_1}{n_2}理想变压器
变压器电流I1I2=n2n1\frac{I_1}{I_2}=\frac{n_2}{n_1}由 P1=P2P_1=P_2 得
输电损耗P损=P2RU2P_{损}=\frac{P^2R}{U^2}PP 定时与 U2U^2 反比

典型模型​

带电粒子在有界磁场中的运动​

  • 画圆定圆心：圆心在过入射点、垂直于入射速度的直线上；结合出射条件（垂直边界、对称等）确定半径与圆心角；
  • 临界与极值：求粒子恰好射出 / 不射出、最大 / 最小半径时，抓住轨迹与边界相切或恰过端点的临界位置；
  • 对称性：粒子从直边界射入再射出，入射与出射点关于过圆心的垂线对称，速度方向的偏转角等于对应圆心角。

单杆与双杆导轨​

导体棒在磁场中沿导轨滑动，是电磁感应与力学综合的核心模型：

  • 恒力单杆：受恒定外力，随速度增大安培力增大，加速度减小，最终达 收尾速度（加速度为零），此时 F外=B2L2vmR+rF_{外}=\frac{B^2L^2v_m}{R+r}；
  • 无外力单杆：只受安培力，做减速运动直至停止，全过程动能转化为焦耳热，Q=12mv02Q=\frac{1}{2}mv_0^2，位移由动量定理 BLq=BL⋅ΔΦR=mΔvBLq=BL\cdot\frac{\Delta\Phi}{R}=m\Delta v 求；
  • 双杆系统：两杆均可动，用动量守恒（系统合外力为零时）分析，最终两杆共速、回路无电流。

线圈转动产生交流​

  • 从平行位置计时（磁通量为零、变化最快）：e=εmsin⁡ωte=\varepsilon_m\sin\omega t，电动势按正弦规律；
  • 从垂直位置计时（磁通量最大、变化为零）：e=εmcos⁡ωte=\varepsilon_m\cos\omega t，电动势按余弦规律；
  • 一个周期内线圈两次经过平行位置（电动势峰值）、两次经过垂直位置（电动势为零），电流方向改变两次。