选择性必修第一册

物理选考笔记，对应人教版《选择性必修第一册》，按专题整理。

第一章 动量守恒定律

动量与冲量

动量

• 动量（Momentum）：物体质量与速度的乘积，用 $p$ 表示；
• 定义式 $p=mv$，单位 $\text{kg}\cdot\text{m/s}$；
• 动量是 矢量，方向与速度方向相同；
• 动量的变化 $\Delta p=p'-p$ 也是矢量，一维情况下先规定正方向，再按代数值计算。

动量与动能的区别：动能 $E_k=\frac{1}{2}mv^2$ 是标量，恒为正；动量是矢量，方向随速度改变。二者关系为 $E_k=\frac{p^2}{2m}$。

	动量 $p$	动能 $E_k$
表达式	$p=mv$	$E_k=\frac{1}{2}mv^2$
矢标性	矢量	标量
变化条件	速度大小或方向改变	仅速度大小改变

匀速圆周运动的物体，速率不变、动能不变，但速度方向时刻改变，动量一直在变。

冲量

• 冲量（Impulse）：力与作用时间的乘积，用 $I$ 表示；
• 恒力的冲量 $I=Ft$，单位 $\text{N}\cdot\text{s}$；
• 冲量是 矢量，方向与力的方向相同（恒力情况下）；
• $\text{N}\cdot\text{s}$ 与 $\text{kg}\cdot\text{m/s}$ 是同一单位，$1\ \text{N}\cdot\text{s}=1\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$。

冲量描述力对时间的 累积效应。变力冲量一般用动量定理反求，也可用「$F$–$t$ 图像与时间轴围成的面积」求恒力或线性变力的冲量。

重力的冲量恒为 $mgt$，方向竖直向下，与运动路径无关。

动量定理

内容与表达式

动量定理：物体所受合外力的冲量等于它动量的变化量。

$Ft=mv'-mv=\Delta p$

• 合外力冲量与动量变化量 大小相等、方向相同；
• 是矢量式，一维问题先定正方向再代入正负；
• 对变力同样成立，此时 $F$ 取平均力或用面积法处理。

动量定理揭示了 力在时间上的累积 改变动量。它与牛顿第二定律等价：由 $F=ma=m\frac{\Delta v}{\Delta t}$ 变形即得 $Ft=m\Delta v$。

应用

• 求变力冲量或平均力：碰撞、打击时间极短、力很大且变化复杂，用动量定理避开瞬时受力分析；
• 缓冲减力：动量变化一定时，延长作用时间 $t$ 可减小平均力 $F$。跳高垫、汽车缓冲区、缓冲包装都据此设计；
• 增大冲力：缩短作用时间可增大冲力，如锤子敲击、快速冲压。

Example

质量 $m=0.5\ \text{kg}$ 的球以 $v=6\ \text{m/s}$ 竖直下落，与地面碰撞后以 $4\ \text{m/s}$ 反弹，接触时间 $t=0.02\ \text{s}$。取向上为正，求地面对球的平均作用力。

碰撞前动量 $p=-mv=-3\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$，碰后 $p'=mv'=2\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$。

对球用动量定理（合力为地面支持力 $N$ 与重力 $mg$）：

$(N-mg)t=p'-p$

代入得 $N=\frac{p'-p}{t}+mg=\frac{5}{0.02}+5=255\ \text{N}$。

动量守恒定律

内容与条件

动量守恒定律：一个系统不受外力或所受外力之和为零，系统的总动量保持不变。

对两个物体组成的系统：

$m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'$

守恒条件（满足其一即可）：

• 不受外力，或所受外力的合力为零；
• 系统所受外力远小于内力（碰撞、爆炸的瞬间），可近似守恒；
• 某方向合外力为零，则该方向动量守恒（如水平方向）。

内力 只在系统内部相互作用，不改变系统总动量；外力 才可能改变总动量。碰撞中内力（相互作用力）远大于重力、摩擦力等外力，故动量近似守恒。

守恒的判断

情形	是否守恒
光滑水平面上两物体碰撞	守恒
竖直方向碰撞（含重力）	短时间内近似守恒
系统受恒定摩擦但内力极大	近似守恒
某方向合外力为零	该方向守恒

应用步骤：选系统与研究过程、规定正方向、写出碰前碰后各物体动量、列守恒方程求解。方向 是易错点，反向速度必须代负值。

碰撞、反冲与爆炸

碰撞的分类

碰撞过程动量守恒。按动能是否损失分类：

类型	动量	动能	特点
弹性碰撞	守恒	守恒	碰后分开，无机械能损失
非弹性碰撞	守恒	部分损失	一般碰撞
完全非弹性碰撞	守恒	损失最大	碰后粘在一起共速

一维弹性碰撞 联立动量守恒与动能守恒：

$$\begin{cases} m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2' \\ \frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=\frac{1}{2}m_1v_1'^2+\frac{1}{2}m_2v_2'^2 \end{cases}$$

设 $m_2$ 初始静止（$v_2=0$），解得：

$v_1'=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1\quad v_2'=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1$

由此看几种特例：

• $m_1=m_2$：$v_1'=0$、$v_2'=v_1$，交换速度；
• $m_1\gg m_2$：$v_1'\approx v_1$、$v_2'\approx 2v_1$，大球几乎不变、小球以近两倍速度弹出；
• $m_1\ll m_2$：$v_1'\approx-v_1$、$v_2'\approx 0$，小球原速率反弹、大球几乎不动。

完全非弹性碰撞 碰后共速 $v$：

$v=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}$

碰撞的合理性检验：碰后不能出现「后面的物体速度大于前面的物体」这类穿越，且系统动能不能增加。

反冲与爆炸

• 反冲：系统某部分向一方运动，另一部分向反方向运动，总动量守恒。火箭、反冲小车、发射炮弹都是反冲；
• 爆炸：内力（爆炸力）远大于外力，动量守恒；爆炸释放化学能，系统动能 增大。

火箭靠向后高速喷气获得向前的动量。设初始总动量为零，喷气动量与箭体动量大小相等、方向相反：

$m_{\text{气}}v_{\text{气}}=m_{\text{箭}}v_{\text{箭}}$

爆炸问题：爆炸前后动量守恒，但动能因释放能量而增加，不能用动能守恒。

第二章 机械振动

简谐运动

简谐运动的定义

• 机械振动：物体在平衡位置附近做的往复运动；
• 简谐运动（Simple Harmonic Motion，SHM）：物体所受回复力与位移大小成正比、方向相反的振动。

回复力 是使物体回到平衡位置的合力，满足：

$F=-kx$

其中 $x$ 是相对平衡位置的位移，负号表示力与位移方向相反。回复力是按 效果 命名的合力，可由重力、弹力等提供，不是一种新的力。

弹簧振子是最典型的简谐运动模型：忽略摩擦的水平弹簧振子，回复力由弹簧弹力提供，$k$ 即劲度系数。

描述振动的物理量

• 位移 $x$：由平衡位置指向物体所在位置的矢量，平衡位置处 $x=0$；
• 振幅 $A$：偏离平衡位置的 最大距离，是标量，恒为正，反映振动强弱；
• 周期 $T$：完成一次全振动所需时间，单位 $\text{s}$；
• 频率 $f$：单位时间内完成全振动的次数，$f=\frac{1}{T}$，单位 $\text{Hz}$；
• 相位：描述振动步调的量，$2\pi$ 对应一个周期，相位差反映两振动的步调差异。

一次 全振动：物体从某状态出发，再次回到该状态（位置与运动方向都相同）的过程。一个周期内路程为 $4A$。

简谐运动的规律

简谐运动的位移随时间按正弦（或余弦）规律变化：

$x=A\sin(\omega t+\varphi)$

其中 $\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f$ 为角频率，$\varphi$ 为初相位。各量在振动过程中的变化：

位置	位移	回复力	加速度	速度	动能	势能
平衡位置	$0$	$0$	$0$	最大	最大	最小
最大位移处	$\pm A$	最大	最大	$0$	最小	最大

规律要点：

• 位移、回复力、加速度三者同时最大或同时为零，方向上位移与回复力、加速度 相反；
• 速度与位移的相位差为 $\frac{\pi}{2}$，位移最大时速度为零，位移为零时速度最大；
• 简谐运动中系统机械能守恒，动能与势能相互转化。

振动图像（$x$–$t$ 图）是正弦曲线，可读出振幅（曲线最高点）、周期（相邻同相位点的时间间隔），并判断任意时刻的位移方向和速度方向。

单摆

单摆的周期

单摆 是一种理想模型：不可伸长的轻细线，下端系一个大小可忽略的重球。摆角很小（一般小于 $5^\circ$）时，单摆做简谐运动，回复力由重力沿切向的分力提供。

单摆周期只由摆长和当地重力加速度决定：

$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$

• 周期与 摆长 $L$ 的平方根成正比，与 重力加速度 $g$ 的平方根成反比；
• 周期与摆球质量、振幅 无关（等时性，伽利略发现）；
• $L$ 是悬点到摆球球心的距离（摆线长加球半径）。

测量重力加速度

由周期公式变形：

$g=\frac{4\pi^2 L}{T^2}$

测出摆长 $L$ 与周期 $T$ 即可求出当地 $g$。实验要点：

• 摆长测悬点到球心的距离，即线长加半径；
• 从 平衡位置 开始计时、测多个周期取平均减小误差；
• 摆角小于 $5^\circ$，在同一竖直平面内摆动；
• 用「累积法」测 $n$ 次全振动的总时间再除以 $n$ 求 $T$。

受迫振动与共振

自由振动与阻尼振动

• 自由振动：系统只在回复力作用下的振动，振幅不变，频率为 固有频率；
• 固有频率：由系统自身性质（如摆长、劲度系数）决定的频率，与外界无关；
• 阻尼振动：实际振动受阻力，振幅逐渐减小，机械能不断损耗。

受迫振动

• 受迫振动：物体在周期性外力（驱动力）作用下的振动；
• 稳定后受迫振动的频率 等于驱动力频率，与固有频率无关；
• 振幅由驱动力频率与固有频率的接近程度决定。

共振

共振：驱动力频率 等于 系统固有频率时，受迫振动振幅达到最大的现象。

条件	振幅
驱动力频率 $=$ 固有频率	最大（共振）
驱动力频率偏离固有频率越远	越小

共振的利用与防止：

• 利用：共振筛、共振转速下的机械调谐、乐器音箱、微波炉加热；
• 防止：军队过桥时改齐步为便步、机器转速避开固有频率、建筑抗震设计避开地震主频。

第三章 机械波

机械波的形成与描述

机械波的产生

• 机械波：机械振动在介质中传播形成的波；
• 产生条件：有 波源（做振动的物体）和 介质（传播振动的媒质），二者缺一不可；
• 波传播的是 振动的形式和能量，介质质点只在平衡位置附近振动，不随波迁移。

按质点振动方向与波传播方向的关系分类：

类型	振动方向与传播方向	例子
横波	垂直	绳波、电磁波
纵波	平行	声波、弹簧疏密波

横波有波峰、波谷；纵波有密部、疏部。

波长、波速与频率

• 波长 $\lambda$：相邻两个振动步调完全相同的质点间的距离，即一个周期内波传播的距离；
• 波速 $v$：波在介质中传播的速度，由 介质 决定；
• 频率 $f$：由 波源 决定，波传入另一介质时频率不变。

三者关系（波速公式）：

$v=\lambda f=\frac{\lambda}{T}$

要点：

• 波从一种介质进入另一种介质，频率不变；波速由新介质决定，波长随之改变；
• 波每经过一个周期，向前传播一个波长的距离；
• 同一列波中各质点振动周期、频率相同。

波的图像

波的图像（$y$–$x$ 图）描绘某一时刻各质点偏离平衡位置的情况，横轴是位置、纵轴是位移。它与振动图像（$y$–$t$ 图）不同：

	振动图像 $y$–$t$	波的图像 $y$–$x$
横轴	时间	位置
研究对象	单个质点随时间	某时刻所有质点
读出的量	周期、振幅	波长、振幅

由波的图像判断质点振动方向：沿波的传播方向，质点将 重复前方相邻质点 的运动状态，即「前质点带动后质点」。已知波沿 $x$ 正方向传播，则某质点下一时刻的位移与其左侧邻近质点当前位移相同。

波的干涉、衍射与多普勒效应

波的叠加与干涉

• 波的独立传播：几列波相遇后各自保持原来的传播方向、频率、波长，互不干扰；
• 波的叠加：相遇区域内，质点的位移等于各列波单独引起的位移的 矢量和。

波的干涉：两列 频率相同 的波叠加，某些区域振动始终加强、某些区域始终减弱，且加强区与减弱区相互间隔的稳定现象。

产生 稳定干涉 的条件：两列波频率相同、相位差恒定（相干波源）。

• 振动加强点：到两波源的 路程差 为波长的整数倍，$\Delta r=n\lambda$（$n=0,1,2,\dots$），振幅为两振幅之和；
• 振动减弱点：路程差为半波长的奇数倍，$\Delta r=(2n+1)\frac{\lambda}{2}$，振幅为两振幅之差。

波的衍射

波的衍射：波绕过障碍物或穿过孔隙继续传播的现象。

发生 明显 衍射的条件：障碍物或孔的尺寸跟波长 相差不多，或比波长更小。一切波都能发生衍射，衍射是波的特有现象。

波长越长越容易衍射，这也解释了「隔墙易闻声、难见人」：声波波长长、易衍射绕过障碍，光波波长极短、衍射不明显。

多普勒效应

多普勒效应（Doppler Effect）：波源与观察者之间有相对运动时，观察者接收到的频率与波源频率不同的现象。

相对运动	接收频率
相互靠近	变高
相互远离	变低

要点：

• 波源频率本身 不变，改变的是观察者 接收 到的频率；
• 靠近时单位时间内接收的完整波数增多，故频率变高、音调升高；
• 应用：测速雷达、医学彩超、天体红移判断星系远离。

第四章 光

光的折射与全反射

折射定律

光的折射：光从一种介质射入另一种介质时，传播方向发生改变的现象。

折射定律（斯涅尔定律）：入射光线、折射光线分居法线两侧，入射角 $\theta_1$ 的正弦与折射角 $\theta_2$ 的正弦成正比：

$n=\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}$

其中 $n$ 为介质的折射率。光路可逆：光沿原折射光线逆向入射时，将沿原入射光线射出。

折射率

折射率（Refractive Index）：光从真空射入某介质时，入射角正弦与折射角正弦之比，反映介质对光的偏折能力。折射率也等于光在真空中的速度与在介质中速度之比：

$n=\frac{c}{v}$

• 真空（近似空气）折射率为 $1$，其他介质 $n>1$；
• $n$ 越大，光在介质中速度越小，偏折能力越强；
• 光进入介质后频率不变，波速变小，波长变短，$\lambda_{\text{介}}=\frac{\lambda}{n}$。

由 $v=\frac{c}{n}$ 可知，介质折射率越大，光速越慢。玻璃 $n\approx 1.5$，水 $n\approx 1.33$。

全反射

• 光疏介质、光密介质：折射率较小的是光疏介质，较大的是光密介质；
• 全反射：光从光密介质射向光疏介质，入射角增大到某一角度时，折射光完全消失、光全部反射回原介质的现象。

发生全反射的条件（须 同时 满足）：

• 光从 光密介质射向光疏介质；
• 入射角 大于或等于临界角。

临界角 $C$：折射角为 $90^\circ$ 时对应的入射角。由折射定律 $n=\frac{1}{\sin C}$，得：

$\sin C=\frac{1}{n}$

$n$ 越大，临界角越小，越容易发生全反射。全反射的应用：光导纤维（光纤通信）、全反射棱镜、海市蜃楼。

光的波动性

光的干涉

光的干涉 证明光是一种波。两列相干光波叠加，出现明暗相间的稳定条纹。

双缝干涉（托马斯·杨，Thomas Young，1773 – 1829）：单色光经双缝后在屏上形成等间距的明暗条纹。相邻明纹（或暗纹）间距：

$\Delta y=\frac{L}{d}\lambda$

其中 $L$ 为双缝到屏的距离，$d$ 为双缝间距，$\lambda$ 为波长。

• 屏上某点到两缝的 路程差 为波长整数倍时出现 亮纹，为半波长奇数倍时出现 暗纹；
• 条纹间距与波长成正比：红光波长长、间距大，紫光波长短、间距小；
• 白光干涉中央为白色亮纹，两侧为彩色条纹。

薄膜干涉：光在薄膜前后两个表面反射的光相互叠加。检查平面平整度、增透膜、肥皂泡与油膜的彩色花纹都是薄膜干涉。

光的衍射

光的衍射：光绕过障碍物或孔隙偏离直线传播的现象，进一步证明光的波动性。

• 单缝衍射：中央亮纹最宽最亮，两侧条纹间距不等、亮度递减；
• 圆孔衍射：中央亮斑（艾里斑）外围环绕明暗相间的圆环；
• 泊松亮斑：圆板阴影中心出现亮斑。

衍射与干涉的对比：

	干涉	衍射
成因	两（多）列相干波叠加	波绕过障碍或穿过孔隙
条纹	等间距、明暗均匀	不等间距、中央最宽最亮
共同点	都是波的特有现象，证明光的波动性

光的偏振

光的偏振：光的振动方向相对传播方向不对称的性质。只有 横波 才有偏振现象，故偏振证明光是横波。

• 自然光：各方向振动均匀分布的光；
• 偏振光：只在某一方向振动的光；
• 自然光通过 偏振片 后成为偏振光，两片偏振片透振方向垂直时几乎不透光。

偏振的应用：偏振太阳镜消除反射眩光、立体电影、液晶显示、摄影偏振镜。

光的本性

光既表现出波动性，又表现出粒子性，即 波粒二象性（Wave-Particle Duality）。

• 波动性：干涉、衍射、偏振等现象说明光是一种波（电磁波）；
• 粒子性：光电效应、康普顿效应说明光由一份份能量子（光子）组成；
• 光子能量与频率成正比，$E=h\nu$，其中 $h$ 为普朗克常量。

大量光子传播时波动性显著，个别光子与物质作用时粒子性显著；波长越长波动性越明显，波长越短粒子性越明显。波和粒子是光在不同条件下表现出的两个侧面。

必记公式

物理量	公式	说明
动量	$p=mv$	矢量，方向同速度
冲量	$I=Ft$	恒力，矢量
动量定理	$Ft=mv'-mv$	合外力冲量等于动量变化
动量守恒	$m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'$	合外力为零
回复力	$F=-kx$	简谐运动判据
单摆周期	$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$	与质量、振幅无关
频率周期	$f=\frac{1}{T}$	互为倒数
波速	$v=\lambda f=\frac{\lambda}{T}$	波速由介质定
折射率	$n=\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{c}{v}$	由介质决定
临界角	$\sin C=\frac{1}{n}$	全反射条件
双缝间距	$\Delta y=\frac{L}{d}\lambda$	干涉条纹间距
光子能量	$E=h\nu$	粒子性