线性方程组与向量组

概述

把线性方程组与向量组当作同一件事：Ax=b 有解等价于 b 能被 A 的列线性表示，解的个数取决于列向量是否线性相关。讲线性组合、线性相关与无关的几何判定，极大无关组与秩、等价向量组。方程组部分用高斯消元化行最简形，按系数矩阵与增广矩阵的秩判定无解、唯一解或无穷多解，并给出「特解加齐次通解」的结构与基础解系。末尾引入向量空间、零空间与列空间、秩-零化度定理，以及基、维数、坐标与过渡矩阵。

参考资料

• 线性方程组 - 维基百科
• 线性相关 - 维基百科
• 高斯消去法 - 维基百科

引入

线性方程组 是线性代数最早出现、也最实用的问题。本节把方程组和 向量组 放在一起研究，因为它们其实是同一件事的两种说法：

• 方程组 $A\vec x=\vec b$ 是否有解 $\iff$ $\vec b$ 能否被 $A$ 的列向量 线性表示。
• 解的个数（唯一还是无穷）$\iff$ $A$ 的列向量是否 线性相关。

把矩阵乘法 $A\vec x$ 看成「$A$ 的各列以 $x_1,x_2,\dots$ 为权重的线性组合」，这条桥就立起来了：解方程组，就是找一组权重把 $A$ 的列向量「拼」成 $\vec b$。一切最终归结为 秩。

向量与向量组

向量

$n$ 维 列向量 $\vec\alpha=(a_1,a_2,\dots,a_n)^T$，可以看成 $\mathbb R^n$ 空间里从原点出发的一个箭头，或一个点。

线性运算

$$\vec\alpha+\vec\beta,k\vec\alpha$$

加法是「箭头首尾相接」（平行四边形法则），数乘是「沿原方向伸缩」。这两种运算满足结合律、交换律、分配律。

线性组合与线性表示

若存在数 $k_1,\dots,k_s$ 使：

$$\vec\beta=k_1\vec\alpha_1+k_2\vec\alpha_2+\dots+k_s\vec\alpha_s$$

则称 $\vec\beta$ 是 $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s$ 的一个 线性组合，也说 $\vec\beta$ 可由它们 线性表示。这恰好等价于方程组 $(\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s)\vec x=\vec\beta$ 有解。

一组向量的所有线性组合构成的集合，叫它们 张成（Span）的空间 —— 这是后面「列空间」的来源。

线性相关与线性无关

定义

向量组 $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s$ 称为 线性相关（Linearly Dependent），若存在 不全为零 的数 $k_1,\dots,k_s$ 使：

$$k_1\vec\alpha_1+k_2\vec\alpha_2+\dots+k_s\vec\alpha_s=\vec 0$$

否则称 线性无关（Linearly Independent）。

提示

几何直觉一句话：线性相关 = 有「多余」的向量。

• 两个向量相关，就是它们 共线（一个是另一个的倍数）。
• 三个向量相关，就是它们 共面（挤在同一平面里，张不出三维体）。

线性无关，则每个向量都提供了一个「新方向」，谁都不能由其余的拼出来。判断相关性，本质是问「这堆向量真正撑起了几维空间」。

等价判定

下面几句说的是同一件事：

$$\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s\text{线性相关}\iff\text{至少一个向量能由其余线性表示}\iff r(\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s)<s$$

反过来，线性无关 $\iff$ 矩阵 $(\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s)$ 的秩 $=s$ $\iff$ 齐次方程组 $(\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s)\vec x=\vec 0$ 只有零解。

重要结论

• 含 零向量 的向量组必线性相关。
• 单个非零向量线性无关；两个向量相关当且仅当成比例。
• 部分相关 $\implies$ 整体相关；整体无关 $\implies$ 部分无关。
• $n+1$ 个 $n$ 维向量 必线性相关（向量个数超过维数，必有多余）。
• 无关组每个向量「接长」分量后仍无关；相关组「截短」分量后仍相关。

极大无关组与秩

极大线性无关组

向量组 $A$ 的一个子组 $A_0=\vec\alpha_{i_1},\dots,\vec\alpha_{i_r}$ 若满足：

1. $A_0$ 本身线性无关；
2. 从 $A$ 里再添任何一个向量进去都变成相关。

则称 $A_0$ 是 $A$ 的 极大线性无关组（Maximal Linearly Independent Subset）。它是这组向量的「骨架」：剩下的向量都能由它线性表示，但它一个都不多余。极大无关组通常不唯一，但所含向量个数固定。

向量组的秩

极大无关组中向量的个数，记为 $r(\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s)$，称为向量组的 秩。它等于由这些向量作列拼成的矩阵的秩：

$$r(\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s)=r\big((\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s)\big)$$

这就把「向量组的秩」和「矩阵的秩」彻底打通了 —— 它们是同一个数。

例：求向量组 $\vec\alpha_1=(1,2,1)^T$、$\vec\alpha_2=(2,4,2)^T$、$\vec\alpha_3=(1,1,3)^T$、$\vec\alpha_4=(2,3,4)^T$ 的秩和一个极大无关组。把它们作 列 拼成矩阵，做初等行变换化行阶梯形：

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2-2r_1,r_3-r_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3+2r_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

非零行有 $2$ 个，故秩为 $2$。主元落在 第 $1$、$3$ 列，所以 $\vec\alpha_1,\vec\alpha_3$ 构成一个极大无关组。其余两个可由它们表示：从阶梯形看出 $\vec\alpha_2=2\vec\alpha_1$，而 $\vec\alpha_4=\vec\alpha_1+\vec\alpha_3$（用 $\vec\alpha_1+\vec\alpha_3=(2,3,4)^T$ 核对正是 $\vec\alpha_4$）。这套「行变换定秩、主元列定骨架」的做法是求极大无关组的标准流程。

等价向量组

两个向量组 $A,B$ 若能 相互线性表示，称为 等价。等价的向量组必 秩相同（但秩相同不一定等价）。

线性方程组

一般形式

$$A\vec x=\vec b$$

$A$ 为 $m\times n$ 系数矩阵，$\vec b$ 为 $m$ 维常数列。把 $\vec b$ 拼到 $A$ 右边得到 增广矩阵 $\bar A=(A|\vec b)$。$\vec b=\vec 0$ 时称 齐次，否则称 非齐次。

高斯消元法

求解的通用算法：对 增广矩阵 $\bar A$ 做初等行变换，化成 行最简形，再直接读出解。每次行变换对应方程的等价变形（交换方程、方程乘非零数、一个方程加另一个的倍数），不改变解集。

化到行最简形后，主元所在列对应的变量叫 主变量，其余叫 自由变量。自由变量可任取，主变量由它们表出，自由变量的个数 $=n-r(A)$ 正是解的「自由度」。

解的判定

情形	条件	解
无解	$r(A)\ne r(\bar A)$	不存在
唯一解	$r(A)=r(\bar A)=n$	恰一组
无穷多解	$r(A)=r(\bar A)<n$	含 $n-r$ 个自由变量

提示

记忆要点：先比 $r(A)$ 与 $r(\bar A)$ —— 不相等就 无解（$\vec b$ 拼不进 $A$ 的列空间）。相等了再看它和未知数个数 $n$ 的关系 —— 等于 $n$ 唯一解，小于 $n$ 无穷多解。「$r(A)$ 决定有没有约束，$\bar A$ 决定相不相容」。

齐次方程组 $A\vec x=\vec 0$ 因为 $\vec b=\vec 0$，永远 相容（至少有零解）。它有 非零解 的充要条件是 $r(A)<n$。

例（唯一解）：解 $\begin{cases}x_1+x_2+x_3=6\\2x_1+3x_2+x_3=11\\x_1-x_2+2x_3=5\end{cases}$。对增广矩阵消元：

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 11 \\ 1 & -1 & 2 & 5 \end{array}\right) \xrightarrow{r_2-2r_1,r_3-r_1} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & 1 & -1 \end{array}\right) \xrightarrow{r_3+2r_2} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{array}\right)$$

$r(A)=r(\bar A)=3=n$，唯一解。回代：由末行 $-x_3=-3$ 得 $x_3=3$；代入第 $2$ 行 $x_2-x_3=-1$ 得 $x_2=2$；代入首行得 $x_1=6-2-3=1$。解为 $(1,2,3)^T$。

例（无解）：解 $\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\2x_1+2x_2+2x_3=3\end{cases}$。$r_2-2r_1$ 得 $\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\0&0&0&1\end{array}\right)$，末行翻译成 $0=1$，矛盾。此时 $r(A)=1\ne r(\bar A)=2$，无解——$\vec b$ 不在 $A$ 的列空间里。

例（无穷多解）：解 $\begin{cases}x_1+x_2+x_3=2\\2x_1+x_2-x_3=1\end{cases}$。消元化行最简形：

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{r_2-2r_1} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -3 & -3 \end{array}\right) \xrightarrow{-r_2,r_1-r_2} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 3 \end{array}\right)$$

$r(A)=r(\bar A)=2<n=3$，有 $n-r=1$ 个自由变量。取 $x_3=t$ 为自由变量，主变量 $x_1=-1+2t$、$x_2=3-3t$，通解：

$$\vec x=\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix},t\in\mathbb R$$

前一项是特解，后一项是对应齐次方程的解，正合「特解 $+$ 齐次通解」的结构。

解的结构

齐次方程组

设 $r(A)=r<n$，则解集是一个 $n-r$ 维的子空间。能找到 $n-r$ 个 线性无关 的解 $\vec\xi_1,\dots,\vec\xi_{n-r}$，它们构成 基础解系（Fundamental System of Solutions），通解是它们的任意线性组合：

$$\vec x=c_1\vec\xi_1+c_2\vec\xi_2+\dots+c_{n-r}\vec\xi_{n-r},c_i\in\mathbb R\text{任意}$$

基础解系就是解空间的一组 基，$n-r$ 就是它的维数。

例：求 $\begin{cases}x_1+x_2-x_3+x_4=0\\2x_1+x_2+x_3-x_4=0\end{cases}$ 的基础解系。系数矩阵化行最简形：

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2-2r_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 3 & -3 \end{pmatrix} \xrightarrow{-r_2,r_1-r_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -3 & 3 \end{pmatrix}$$

$r(A)=2$，自由度 $n-r=4-2=2$。主变量是 $x_1,x_2$，自由变量是 $x_3,x_4$，由行最简形读出 $x_1=-2x_3+2x_4$、$x_2=3x_3-3x_4$。分别取 $(x_3,x_4)=(1,0)$ 和 $(0,1)$，得两个线性无关的解：

$$\vec\xi_1=\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \vec\xi_2=\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

通解为 $\vec x=c_1\vec\xi_1+c_2\vec\xi_2$。代回原方程可验证 $\vec\xi_1,\vec\xi_2$ 都满足，且二者不成比例、确实线性无关。

非齐次方程组

设 $A\vec x=\vec b$ 相容。它的通解 = 对应齐次方程 $A\vec x=\vec 0$ 的通解 + 任一个特解 $\vec\eta^*$：

$$\vec x=\vec\eta^*+c_1\vec\xi_1+c_2\vec\xi_2+\dots+c_{n-r}\vec\xi_{n-r}$$

道理很直接：若 $\vec\eta_1,\vec\eta_2$ 都是非齐次的解，则 $A(\vec\eta_1-\vec\eta_2)=\vec b-\vec b=\vec 0$，差是齐次解。所以全体非齐次解 = 一个特解再加上所有齐次解。

提示

这与 微分方程 中「线性 ODE 解的结构」完全同构：非齐次通解 = 齐次通解 + 特解。这并非巧合，而是 线性算子 理论的统一表述 —— 凡是线性映射 $L$，方程 $L(x)=b$ 的解集都长这个样子。

几何直观

把解集放回空间里看，结构一目了然：

• 齐次方程组的解集 $\set{\vec x:A\vec x=\vec 0}$ 是一个 过原点 的子空间（一条过原点的直线、一张过原点的平面……），维数为 $n-r$。
• 非齐次方程组的解集是它的一个 平移：把齐次解空间整体挪到特解 $\vec\eta^*$ 上，得到一个 不过原点 的 仿射子空间。

所以「特解 $+$ 齐次通解」就是「先定一个落点，再沿解空间自由滑动」。两个平面相交得一条直线、三个平面交于一点，这些中学几何场景，都是方程组解结构的特例。

向量空间初步

向量空间

$\mathbb R^n$ 是最常见的 向量空间（Vector Space）：对加法、数乘 封闭，且满足结合、交换、分配等 八条公理。直观上它就是「能自由做线性组合的场所」。

子空间

$\mathbb R^n$ 的非空子集 $W$ 若对加法和数乘也封闭，就称为 子空间（Subspace）。子空间必过原点。和矩阵相关的两个重要子空间：

• 零空间（Null Space，解空间）：齐次方程 $A\vec x=\vec 0$ 的全体解，维数 $=n-r(A)$。
• 列空间（Column Space）：$A$ 的列向量张成的空间，等于 $\vec b$ 使 $A\vec x=\vec b$ 有解的全部取值，维数 $=r(A)$。

由此得到 秩-零化度定理：$r(A)+\dim(\text{零空间})=n$，正是「主变量 + 自由变量 = 总变量数」的几何版本。

基、维数、坐标

• 基（Basis）：子空间的一个极大无关组 —— 既能张成整个空间，又互相独立。
• 维数（Dimension）：基中向量的个数，是空间「有几个独立方向」的度量。
• 坐标（Coordinate）：向量在某组基下的表示系数。选定基后，抽象向量就和一串具体数字一一对应。

同一个向量在不同基下坐标不同，两组基之间通过 过渡矩阵（基变换矩阵）换算。这个「换基」的思想，正是 特征值与相似矩阵 里相似变换的几何内核。

例（求坐标）：在 $\mathbb R^2$ 里取一组基 $\vec\beta_1=(1,1)^T$、$\vec\beta_2=(1,-1)^T$，求向量 $\vec\gamma=(3,1)^T$ 在这组基下的坐标。即解 $x_1\vec\beta_1+x_2\vec\beta_2=\vec\gamma$：

$$\begin{cases} x_1+x_2=3 \\ x_1-x_2=1 \end{cases}\implies x_1=2,x_2=1$$

故 $\vec\gamma$ 在基 $\set{\vec\beta_1,\vec\beta_2}$ 下的坐标是 $(2,1)^T$，即 $\vec\gamma=2\vec\beta_1+\vec\beta_2$。

例（过渡矩阵）：从基 $B_1=\set{\vec e_1,\vec e_2}$（标准基）换到 $B_2=\set{\vec\beta_1,\vec\beta_2}$。过渡矩阵 $P$ 的列就是 新基向量在旧基下的坐标，所以 $P=(\vec\beta_1,\vec\beta_2)=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$。它把「$B_2$ 下的坐标」换算成「$B_1$ 下的坐标」：若向量在新基下坐标为 $\vec y$，则在旧基（即原始分量）下为 $\vec x=P\vec y$。验证 $\vec y=(2,1)^T$ 时 $P\vec y=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=\vec\gamma$，与上一例一致。反向换算用 $\vec y=P^{-1}\vec x$。