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线性方程组与向量组

参考资料​

引入​

线性方程组 是线性代数最早出现、也最实用的问题。本节把方程组和 向量组 一并研究：

  • 方程组 Ax⃗=b⃗A\vec x=\vec b 是否有解   ⟺  \iff b⃗\vec b 能否被 AA 的列向量 线性表示。
  • 解的个数   ⟺  \iff AA 的列向量是否 线性相关。

一切归结为 秩。

向量与向量组​

向量​

nn 维 列向量 α⃗=(a1,a2,…,an)T\vec\alpha=(a_1,a_2,\dots,a_n)^T。

线性运算​

α⃗+β⃗,kα⃗\vec\alpha+\vec\beta,\quad k\vec\alpha

满足结合律、交换律、分配律。

线性组合​

若存在 k1,…,ksk_1,\dots,k_s 使：

β⃗=k1α⃗1+k2α⃗2+⋯+ksα⃗s\vec\beta=k_1\vec\alpha_1+k_2\vec\alpha_2+\dots+k_s\vec\alpha_s

则称 β⃗\vec\beta 可由 α⃗1,…,α⃗s\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s 线性表示。

等价于：方程组 (α⃗1,…,α⃗s)x⃗=β⃗(\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s)\vec x=\vec\beta 有解。

线性相关与线性无关​

定义​

向量组 α⃗1,…,α⃗s\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s 线性相关，若存在 不全为零 的 k1,…,ksk_1,\dots,k_s 使：

k1α⃗1+k2α⃗2+⋯+ksα⃗s=0⃗k_1\vec\alpha_1+k_2\vec\alpha_2+\dots+k_s\vec\alpha_s=\vec 0

否则称 线性无关。

等价判定​

α⃗1,…,α⃗s\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s 线性相关   ⟺  \iff 至少有一个向量能由其余向量线性表示   ⟺  \iff 矩阵 (α⃗1,…,α⃗s)(\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s) 的秩 <s<s。

重要结论​

  • 含 零向量 的向量组必线性相关。
  • 部分相关 ⇒\Rightarrow 整体相关；整体无关 ⇒\Rightarrow 部分无关。
  • n+1n+1 个 nn 维向量必线性相关。
  • 线性无关组添加分量后仍线性无关；线性相关组减去分量后仍线性相关。

极大无关组与秩​

极大线性无关组​

向量组 AA 的子组 A0=α⃗i1,…,α⃗irA_0=\vec\alpha_{i_1},\dots,\vec\alpha_{i_r} 满足：

  1. A0A_0 线性无关。
  2. 再添加 AA 中任一向量都变线性相关。

则 A0A_0 称为 AA 的 极大无关组。

向量组的秩​

极大无关组中向量的个数，记为 r(α⃗1,…,α⃗s)r(\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s)。

等于由这些向量构成的矩阵的 秩：

r(α⃗1,…,α⃗s)=r((α⃗1,…,α⃗s))r(\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s)=r\big((\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s)\big)

等价向量组​

向量组 A,BA,B 可相互线性表示，称为 等价。等价的向量组 秩相同。

线性方程组​

一般形式​

Ax⃗=b⃗A\vec x=\vec b

AA 为 m×nm\times n 系数矩阵，b⃗\vec b 为 mm 维列向量。增广矩阵 Aˉ=(A ∣ b⃗)\bar A=(A\,|\,\vec b)。

解的判定​

情形条件解
无解r(A)≠r(Aˉ)r(A)\ne r(\bar A)—
唯一解r(A)=r(Aˉ)=nr(A)=r(\bar A)=n恰一组
无穷多解r(A)=r(Aˉ)<nr(A)=r(\bar A)<nn−rn-r 个自由变量

齐次方程组 Ax⃗=0⃗A\vec x=\vec 0 永远有零解，非零解的充要条件 是 r(A)<nr(A)<n。

解的结构​

齐次方程组​

设 r(A)=r<nr(A)=r<n，基础解系 由 n−rn-r 个线性无关解组成：ξ⃗1,ξ⃗2,…,ξ⃗n−r\vec\xi_1,\vec\xi_2,\dots,\vec\xi_{n-r}。

通解：

x⃗=c1ξ⃗1+c2ξ⃗2+⋯+cn−rξ⃗n−r\vec x=c_1\vec\xi_1+c_2\vec\xi_2+\dots+c_{n-r}\vec\xi_{n-r}

非齐次方程组​

通解 = 对应齐次方程组的通解 + 一个特解 η⃗∗\vec\eta^*：

x⃗=η⃗∗+c1ξ⃗1+c2ξ⃗2+⋯+cn−rξ⃗n−r\vec x=\vec\eta^*+c_1\vec\xi_1+c_2\vec\xi_2+\dots+c_{n-r}\vec\xi_{n-r}
提示

这与 微分方程 中「线性 ODE 解的结构」完全同构： 非齐次通解 = 齐次通解 + 特解。 这并非巧合，而是线性算子理论的统一表述。

向量空间初步​

向量空间​

Rn\mathbb{R}^n 是最常见的向量空间：满足加法、数乘 封闭 且符合 八条公理。

子空间​

Rn\mathbb{R}^n 的子集 WW 对加法和数乘封闭，称为 子空间。

  • 齐次方程组 Ax⃗=0⃗A\vec x=\vec 0 的解集称为 AA 的 零空间（解空间），是 Rn\mathbb{R}^n 的子空间。
  • AA 的列向量张成的空间称为 列空间，等于 Ax⃗=b⃗A\vec x=\vec b 中 b⃗\vec b 能取到的所有取值。

基、维数、坐标​

  • 基：子空间的极大无关组。
  • 维数：基中向量的个数。
  • 坐标：向量在某组基下的表示系数。

不同基之间通过 过渡矩阵 转换。