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特征值与相似矩阵

参考资料​

引入​

把矩阵看作 线性变换，特征向量 就是「方向不变」的向量，特征值 是它被拉伸的倍数：

Aξ⃗=λξ⃗A\vec\xi=\lambda\vec\xi

特征值分解把复杂的矩阵变换 分解为各个方向上的简单伸缩，是线代后半段的核心。

特征值与特征向量​

定义​

设 AA 为 nn 阶方阵，若存在数 λ\lambda 和 非零向量 ξ⃗\vec\xi 使：

Aξ⃗=λξ⃗A\vec\xi=\lambda\vec\xi

则 λ\lambda 是 AA 的 特征值，ξ⃗\vec\xi 是对应于 λ\lambda 的 特征向量。

求解​

由 (A−λE)ξ⃗=0⃗(A-\lambda E)\vec\xi=\vec 0 有非零解，得 特征方程：

∣A−λE∣=0|A-\lambda E|=0

展开得 特征多项式，求根得到所有特征值。对每个 λi\lambda_i 解 (A−λiE)x⃗=0⃗(A-\lambda_i E)\vec x=\vec 0 得特征向量。

性质​

设 AA 的特征值为 λ1,λ2,…,λn\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n，则：

∑i=1nλi=tr⁡(A)=∑i=1naii\sum_{i=1}^{n}\lambda_i=\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii} ∏i=1nλi=∣A∣\prod_{i=1}^{n}\lambda_i=|A|
矩阵特征值
AAλ\lambda
kAkAkλk\lambda
AmA^mλm\lambda^m
A−1A^{-1}（AA 可逆）1λ\dfrac{1}{\lambda}
ATA^Tλ\lambda（与 AA 相同）
f(A)f(A)f(λ)f(\lambda)

特征向量在以上变换下 保持不变。

重要结论​

  • 不同特征值对应的特征向量 线性无关。
  • kk 重特征值 λ\lambda 对应的线性无关特征向量个数 ≤k\le k。

相似矩阵​

定义​

若存在可逆矩阵 PP 使：

P−1AP=BP^{-1}AP=B

则称 AA 相似于 BB，记为 A∼BA\sim B。

性质​

相似矩阵具有相同的：

  • 行列式：∣A∣=∣B∣|A|=|B|。
  • 秩：r(A)=r(B)r(A)=r(B)。
  • 迹：tr⁡(A)=tr⁡(B)\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}(B)。
  • 特征多项式与特征值。
  • 可逆性。
提示

相似的本质：同一个线性变换 在 不同基下 的矩阵表示。 PP 就是基变换矩阵。

相似对角化​

定义​

若 A∼ΛA\sim\Lambda（Λ\Lambda 为对角阵），称 AA 可 对角化。

充要条件​

AA 可对角化   ⟺  A\iff A 有 nn 个 线性无关 的特征向量。

等价表述：每个 kk 重特征值对应恰好 kk 个线性无关特征向量。

对角化步骤​

  1. 求特征值 λ1,…,λn\lambda_1,\dots,\lambda_n。
  2. 对每个 λi\lambda_i 求特征向量。
  3. 若得到 nn 个线性无关特征向量 ξ⃗1,…,ξ⃗n\vec\xi_1,\dots,\vec\xi_n，令 P=(ξ⃗1,…,ξ⃗n)P=(\vec\xi_1,\dots,\vec\xi_n)，则：
P−1AP=diag⁡(λ1,…,λn)P^{-1}AP=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)

应用：求矩阵的幂​

若 A=PΛP−1A=P\Lambda P^{-1}，则：

Ak=PΛkP−1=Pdiag⁡(λ1k,…,λnk)P−1A^k=P\Lambda^k P^{-1}=P\operatorname{diag}(\lambda_1^k,\dots,\lambda_n^k)P^{-1}

实对称矩阵​

实对称矩阵（AT=AA^T=A）具有特别好的性质：

  • 所有特征值都是 实数。
  • 不同特征值的特征向量 互相正交。
  • 一定可以 正交对角化：存在正交矩阵 QQ 使：
QTAQ=Q−1AQ=ΛQ^T A Q=Q^{-1}AQ=\Lambda

正交对角化步骤​

  1. 求特征值与特征向量。
  2. 对每个 kk 重特征值，把对应的 kk 个特征向量用 施密特正交化。
  3. 把所有特征向量 单位化，拼成正交矩阵 QQ。

施密特正交化​

设线性无关组 α⃗1,α⃗2,…\vec\alpha_1,\vec\alpha_2,\dots：

β⃗1=α⃗1\vec\beta_1=\vec\alpha_1 β⃗2=α⃗2−(α⃗2,β⃗1)(β⃗1,β⃗1)β⃗1\vec\beta_2=\vec\alpha_2-\frac{(\vec\alpha_2,\vec\beta_1)}{(\vec\beta_1,\vec\beta_1)}\vec\beta_1 β⃗k=α⃗k−∑i=1k−1(α⃗k,β⃗i)(β⃗i,β⃗i)β⃗i\vec\beta_k=\vec\alpha_k-\sum_{i=1}^{k-1}\frac{(\vec\alpha_k,\vec\beta_i)}{(\vec\beta_i,\vec\beta_i)}\vec\beta_i

再单位化：e⃗i=β⃗i∥β⃗i∥\vec e_i=\dfrac{\vec\beta_i}{\|\vec\beta_i\|}。