集合与关系

概述

集合运算与二元关系的完整梳理。集合部分给并、交、差、补、对称差与恒等式、容斥原理、幂集、笛卡尔积。二元关系讲集合、矩阵、关系图三种表示与自反、反自反、对称、反对称、传递五性质，运算含复合、逆与三种闭包及 Warshall 算法。等价关系对应等价类、划分与商集，偏序关系给哈斯图、最大元与极大元之辨、全序与良序。函数作为特殊关系讲单射、满射、双射与逆，末尾到基数、可数性与康托尔对角线法。

参考资料

• 集合 (数学) - 维基百科
• 关系 (数学) - 维基百科
• 等价关系 - 维基百科
• 偏序关系 - 维基百科

引入

集合 在高中已学过基础。本章在此之上引入 二元关系——它把「集合元素之间的联系」也当成数学对象来研究。

为什么计算机科学离不开关系？一张数据库表就是一个关系，「小于」「整除」「依赖于」「指向」全是关系，等价关系对应「分类去重」，偏序关系对应「任务调度的先后约束」。本章的两个主角——等价关系 与 偏序关系——会贯穿整个离散数学。

集合的进一步话题

集合运算

设全集为 $U$，集合 $A,B$ 的基本运算：

运算	记号	含义
并	$A\cup B$	在 $A$ 或在 $B$
交	$A\cap B$	既在 $A$ 又在 $B$
差	$A\setminus B$	在 $A$ 但不在 $B$
补	$\overline{A}$	在 $U$ 但不在 $A$
对称差	$A\oplus B$	恰在其中一个（$=$ 异或）

对称差 $A\oplus B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$，对应逻辑里的 异或：元素「属于哪个集合」这件事不一致时才进来。

集合恒等式

集合运算与命题逻辑的联结词一一对应（$\cup\leftrightarrow\lor$、$\cap\leftrightarrow\land$、补 $\leftrightarrow\neg$），所以下面这些恒等式跟逻辑等值式长得几乎一样——它们都是 布尔代数 的实例。

名称	恒等式
交换律	$A\cup B=B\cup A$，$A\cap B=B\cap A$
结合律	$(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$
分配律	$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$
德摩根律	$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$
吸收律	$A\cup(A\cap B)=A$
幂等律	$A\cup A=A$，$A\cap A=A$

证明集合恒等式有两条路：用上面的恒等式做 代数推导，或用「互相包含」（$A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$）逐元素验证。

例：证 $A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)$。把差写成「与补的交」$A\setminus B=A\cap\overline B$，再算：

$$\begin{aligned} A\setminus(B\cup C) & =A\cap\overline{B\cup C} \\ & =A\cap(\overline B\cap\overline C) & & \text{德摩根律} \\ & =(A\cap\overline B)\cap(A\cap\overline C) & & \text{用了 }A\cap A=A \\ & =(A\setminus B)\cap(A\setminus C) \end{aligned}$$

每一步都对应一条逻辑等值式——「$x\in$」翻译过去就是命题逻辑的化简，这再次印证集合代数与逻辑同构。

容斥原理

计数时常用 容斥原理（Inclusion–Exclusion Principle），它修正了「直接相加会把交集多算一遍」：

$$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$$ $$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$$

例：$1\sim 100$ 中能被 $2$、$3$、$5$ 至少一个整除的数有多少个？设 $A,B,C$ 分别是其倍数集，逐项用 $\lfloor 100/k\rfloor$ 数个数：

$$\begin{aligned} & |A|=50,|B|=33,|C|=20, \\ & |A\cap B|=\lfloor100/6\rfloor=16,|A\cap C|=\lfloor100/10\rfloor=10,|B\cap C|=\lfloor100/15\rfloor=6, \\ & |A\cap B\cap C|=\lfloor100/30\rfloor=3 \end{aligned}$$

代入容斥：$50+33+20-16-10-6+3=74$。于是不能被 $2,3,5$ 任何一个整除的有 $100-74=26$ 个——这正是筛法（如埃氏筛、欧拉函数计算）背后的计数原理。

幂集

集合 $A$ 的 所有子集 构成的集合称 幂集（Power Set）：

$$\mathcal{P}(A)=\set{B\mid B\subseteq A}$$

若 $|A|=n$，则 $|\mathcal{P}(A)|=2^n$。直觉：每个元素都面临「选或不选」两种独立选择，$n$ 个元素就是 $2^n$ 种组合，这也正好对应一个 $n$ 位二进制串。

笛卡尔积

笛卡尔积（Cartesian Product）由所有 有序对 组成：

$$A\times B=\set{(a,b)\mid a\in A,b\in B}$$

性质：$|A\times B|=|A|\cdot|B|$。注意 有序，所以一般 $A\times B\ne B\times A$。

可推广到 $n$ 元：$A_1\times\dots\times A_n$ 的元素是 $n$ 元组。$\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2$ 就是平面坐标系，关系正是建立在笛卡尔积之上的。

二元关系

定义

$A$ 到 $B$ 的 二元关系（Binary Relation）$R$ 就是 $A\times B$ 的一个子集——它从所有可能的「配对」里挑出真正「有关系」的那些。若 $(a,b)\in R$，写作 $aRb$。

特别地，$A$ 到自身的关系 $R\subseteq A\times A$ 称为 $A$ 上的关系，这是本章重点。

几个特殊关系：空关系 $\varnothing$、全域关系 $A\times A$、恒等关系 $I_A=\set{(a,a)\mid a\in A}$。

表示

同一个关系有三种等价表示，换着用能让不同性质一目了然：

方式	含义
集合表示	列出所有有序对 $(a,b)\in R$
关系矩阵	$M_R=(m_{ij})$，$a_iRa_j$ 时 $m_{ij}=1$，否则 $0$
关系图	顶点为元素，$aRb$ 时画有向边 $a\to b$

关系矩阵是 $0/1$ 方阵，把关系的性质变成了矩阵特征；关系图则把关系变成 有向图，于是图论的工具立刻能拿来用。

性质

设 $R$ 为 $A$ 上的关系，五条核心性质：

名称	定义	关系矩阵表现
自反	$\forall a\in A,aRa$	主对角线全 $1$
反自反	$\forall a\in A,\neg(aRa)$	主对角线全 $0$
对称	$aRb\implies bRa$	矩阵关于主对角线对称
反对称	$aRb\land bRa\implies a=b$	对称位置不同时为 $1$
传递	$aRb\land bRc\implies aRc$	$M_R^2$ 为 $1$ 处 $M_R$ 也为 $1$

提示

「反」不是「否定」，这是最常见的坑：

• 「反自反」要求 每个 元素都不自反，不是「不是自反」。存在既不自反也不反自反的关系，如 $\set{(1,1),(2,3)}$——$1$ 自反而 $2$ 不自反。
• 「反对称」也不是「对称」的否定。$\le$ 既反对称（$a\le b\le a\implies a=b$）又不对称；恒等关系 $I_A$ 则同时是对称和反对称。

判定五性质算例

例：在 $A=\set{1,2,3}$ 上取关系 $R=\set{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)}$，逐条核对：

• 自反：$(1,1),(2,2),(3,3)$ 都在，是。
• 反自反：主对角线非空，不是。
• 对称：有 $(1,2)$ 却无 $(2,1)$，不是。
• 反对称：所有 $a\ne b$ 的对（$(1,2),(2,3),(1,3)$）反向都不在，是。
• 传递：$(1,2),(2,3)$ 在且 $(1,3)$ 在；其余成对的也都补齐了，是。

所以 $R$ 同时自反、反对称、传递——它正是 $A$ 上的 偏序（其实就是 $\le$）。

例：给关系矩阵：

$$M_R=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

判性质。主对角线全 $1$ 故 自反；矩阵关于主对角线对称（$m_{ij}=m_{ji}$）故 对称；但传递不成立——$(1,2),(2,3)$ 为 $1$（即 $1\to2\to3$）却 $m_{13}=0$，缺 $(1,3)$。所以它自反、对称、不传递，离等价关系只差传递这一步。

关系的运算

复合

关系 $R\circ S$ 表示「先按 $R$ 走一步、再按 $S$ 走一步」能到达的配对：

$$R\circ S=\set{(a,c)\mid\exists b,(a,b)\in R\land(b,c)\in S}$$

在关系矩阵下，复合恰好对应 布尔矩阵乘法（把乘法换成 $\land$、加法换成 $\lor$）：$M_{R\circ S}=M_R\cdot M_S$。这也解释了为什么传递性能用矩阵幂来检验。

逆

把每个有序对反过来，得到 逆关系：

$$R^{-1}=\set{(b,a)\mid(a,b)\in R}$$

关系矩阵上就是转置 $M_{R^{-1}}=M_R^{\mathsf{T}}$。「对称」用逆来说就是 $R=R^{-1}$。

闭包

闭包（Closure）是「包含 $R$、且具备某性质的最小关系」——直觉是「为了让 $R$ 拥有某性质，最少还得补哪些对」。

• 自反闭包 $r(R)=R\cup I_A$：补上所有缺的自环。
• 对称闭包 $s(R)=R\cup R^{-1}$：每条边都补上反向。
• 传递闭包 $t(R)=R\cup R^2\cup R^3\cup\dots$：一直补到「能间接到达就直接连上」。

传递闭包对有限集 $|A|=n$ 时到 $R^n$ 为止即可，因为任意可达路径长度不超过 $n-1$。Warshall 算法 把这件事做得很高效：依次让每个顶点 $k$ 充当「中转站」，若 $i\to k$ 且 $k\to j$ 就补上 $i\to j$，三重循环 $O(n^3)$ 算出整张可达表。它本质上就是图论里求传递可达性的标准做法。

求闭包算例

例：$A=\set{1,2,3}$ 上 $R=\set{(1,2),(2,3)}$，求三种闭包。

• 自反闭包 $r(R)=R\cup I_A=\set{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)}$，补上三个自环。
• 对称闭包 $s(R)=R\cup R^{-1}=\set{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}$，每条边补反向。
• 传递闭包 $t(R)$：$R$ 里有 $1\to2\to3$，补上 $(1,3)$，得 $\set{(1,2),(2,3),(1,3)}$。

例：用 Warshall 逐步求上面 $R$ 的传递闭包。初始矩阵（行列序 $1,2,3$）：

$$M^{(0)}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

$k=1$（以 $1$ 中转）：没有任何 $i\to1$，矩阵不变。

$k=2$（以 $2$ 中转）：$1\to2$ 且 $2\to3$，补 $(1,3)$：

$$M^{(2)}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

$k=3$（以 $3$ 中转）：没有 $3\to j$ 的出边，矩阵不变。最终 $M^{(3)}$ 即 $t(R)$ 的矩阵，对应 $\set{(1,2),(2,3),(1,3)}$，与上面手算一致。Warshall 的妙处在于：处理完 $k$ 后，「只经过编号 $\le k$ 的中转点可达」这件事已全部记录，逐层累积到最后就是完整可达表。

等价关系

同时满足 自反、对称、传递 的关系称 等价关系（Equivalence Relation），常记作 $\sim$。

它抽象的是「长得一样 / 算作同一类」这件事：相等、同余、相似、图的同构，都是等价关系。三条性质恰好对应「分类」必须满足的常识——每个东西跟自己一类（自反）、$a$ 跟 $b$ 一类则 $b$ 跟 $a$ 一类（对称）、能传导（传递）。

等价类

元素 $a$ 所在的「类」就是所有跟它等价的元素：

$$[a]_R=\set{x\in A\mid x\sim a}$$

性质：

• $[a]_R\ne\varnothing$（至少含 $a$ 自己）。
• 两个等价类要么 完全相等，要么 完全不相交——绝不会「部分重叠」。
• 所有等价类无重叠地铺满 $A$，构成 $A$ 的 划分。

划分与对应

$A$ 的一个 划分（Partition）是一族非空子集 $\set{A_1,A_2,\dots}$，满足：

1. 各 $A_i\ne\varnothing$。
2. 两两不相交。
3. 并为 $A$。

每块叫一个 等价类（块）。核心结论：

$$A\text{ 上的等价关系}\longleftrightarrow A\text{ 的划分}$$

等价关系与划分一一对应——给定等价关系，等价类就是划分；给定划分，「同块」就定义出等价关系。所有等价类组成的集合 $A/{\sim}$ 称 商集，这正是编程里「去重 / 按 key 分组」背后的数学。

提示

模 $n$ 同余 $a\equiv b\pmod n$ 是最典型的等价关系，它把整数划分成 $n$ 个 同余类 $[0],[1],\dots,[n-1]$。代数里的 $\mathbb{Z}_n$ 就是这个商集。

求等价类与商集算例

例：在 $\mathbb{Z}$ 上取模 $3$ 同余，求各等价类与商集。按余数分类：

$$[0]=\set{\dots,-3,0,3,6,\dots}, [1]=\set{\dots,-2,1,4,7,\dots}, [2]=\set{\dots,-1,2,5,8,\dots}$$

三类互不相交、并起来是整个 $\mathbb{Z}$，商集 $\mathbb{Z}/{\sim}=\set{[0],[1],[2]}$，记作 $\mathbb{Z}_3$。这正是程序里 x % 3 把整数分成三桶。

例：在 $A=\set{1,2,3,4,5,6}$ 上定义 $a\sim b\iff a,b$ 同奇偶。验证它自反（自己跟自己同奇偶）、对称、传递，是等价关系。等价类为：

$$[1]=\set{1,3,5},[2]=\set{2,4,6}$$

商集 $A/{\sim}=\set{\set{1,3,5},\set{2,4,6}}$，把 $6$ 个元素分成「奇」「偶」两块——这就是按 key 分组的最小例子。

偏序关系

同时满足 自反、反对称、传递 的关系称 偏序关系（Partial Order），记为 $\preceq$。$(A,\preceq)$ 称 偏序集（Partially Ordered Set，poset）。

它抽象的是「先后 / 大小 / 包含」这种带方向、不能循环的次序：数的 $\le$、集合的 $\subseteq$、整除 $\mid$、任务的依赖关系都是偏序。「偏」字强调——不要求任意两元素都可比。如 $\set{2,3}$ 在整除关系下谁也不整除谁，没法比。

若 $a\preceq b$ 或 $b\preceq a$ 成立，称 $a,b$ 可比；否则不可比。

哈斯图

画偏序集时，自反边和能由传递推出的边都是「废话」，全省掉，得到 哈斯图（Hasse Diagram）：

• 把元素按大小 自下而上 摆放，小的在下、大的在上。
• 仅当 $a\prec b$ 且二者之间 没有中间元素（$b$ 盖住 $a$）时，画一条 无向连边。

于是「谁大谁小」一眼就能看出来——往上能连到的就是更大的。整除关系 $\set{1,2,3,4,6,12}$ 的哈斯图就是 $12$ 的因子格。

画哈斯图算例

例：在 $\set{1,2,3,4,6,12}$ 上画整除偏序 $\mid$ 的哈斯图。先列出「盖住」关系（$a\prec b$ 且中间无元素）：

• $1$ 之上紧邻 $2$ 和 $3$（$1\mid2$、$1\mid3$，中间无因子）。
• $2$ 之上紧邻 $4$ 和 $6$；$3$ 之上紧邻 $6$。
• $4$ 之上紧邻 $12$；$6$ 之上紧邻 $12$。

注意 $1\mid4$、$2\mid12$ 这些边都由传递推出，省略不画。自下而上分四层：$1$；$2,3$；$4,6$；$12$。连边只画上述盖住关系：

最底的 $1$ 是最小元（整除一切），最顶的 $12$ 是最大元。$2,3$ 不可比（互不整除），所以并排同层——这就是「偏」序。

特殊元素

设 $B\subseteq A$，区分两组容易混淆的概念：

名称	定义
最大元	$m\in B$，$\forall x\in B,x\preceq m$
最小元	$m\in B$，$\forall x\in B,m\preceq x$
极大元	$m\in B$，不存在 $x\in B$ 使 $m\prec x$
极小元	$m\in B$，不存在 $x\in B$ 使 $x\prec m$
上界	$u\in A$，$\forall x\in B,x\preceq u$
下界	$l\in A$，$\forall x\in B,l\preceq x$
上确界	最小上界 $\sup B$
下确界	最大下界 $\inf B$

提示

最大元 vs 极大元 是必考的细微差别：

• 最大元 要「比 所有 人都大」，所以一旦存在必 唯一。
• 极大元 只要「没人比它大」，可以有多个——互不可比的几个顶端元素都是极大元。

在 $\set{2,3,4,9}$ 的整除偏序里，$4$ 和 $9$ 都是极大元（谁也整除不了它们），但没有最大元（$4,9$ 不可比）。有限非空偏序集一定有极大元，未必有最大元。 上 / 下界要到 $A$ 里找，可能不在 $B$ 内。

全序与良序

• 全序（线序）：任意两元素都可比。此时哈斯图是一条链，如 $(\mathbb{R},\le)$。
• 良序：任一 非空子集 都有最小元。

良序集是 数学归纳法 的根基——正因为 $\mathbb{N}$ 的每个非空子集都有最小元，「最小反例」式的反证才成立。

函数

函数（Function）是一类特殊的关系：从 $A$ 到 $B$ 的关系 $f$，若 每个 $a\in A$ 恰好对应 唯一 的 $b\in B$，就是函数 $f:A\to B$。换句话说，函数是「左全（每个输入都有输出）且右唯一（输出不分叉）」的关系。

三种基本性质

名称	定义	直觉
单射	$f(a_1)=f(a_2)\implies a_1=a_2$	不同输入不撞输出
满射	$\forall b\in B,\exists a,f(a)=b$	值域铺满整个 $B$
双射	既单射又满射	一一对应、可逆

只有 双射 才有 逆函数 $f^{-1}$，满足 $f^{-1}\circ f=I_A$。复合函数 $g\circ f$ 表示先作用 $f$ 再作用 $g$，其单 / 满 / 双性可由 $f,g$ 推出（如两个双射复合仍双射）。

判性质与求复合、逆算例

例：判断 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，$f(x)=2x+1$ 的性质并求逆。

• 单射：$2x_1+1=2x_2+1\implies x_1=x_2$，是。
• 满射：任给 $y$，解 $2x+1=y$ 得 $x=(y-1)/2\in\mathbb{R}$，是。

故 $f$ 双射，逆函数 $f^{-1}(y)=\dfrac{y-1}{2}$。验证 $f^{-1}(f(x))=\dfrac{(2x+1)-1}{2}=x$，确为恒等。

例：在有限集上看复合。$f:\set{1,2,3}\to\set{a,b,c}$，$f=\set{(1,b),(2,a),(3,c)}$；$g:\set{a,b,c}\to\set{x,y,z}$，$g=\set{(a,y),(b,x),(c,z)}$。复合 $g\circ f$（先 $f$ 后 $g$）逐点算：$1\mapsto b\mapsto x$、$2\mapsto a\mapsto y$、$3\mapsto c\mapsto z$，即 $g\circ f=\set{(1,x),(2,y),(3,z)}$。$f,g$ 都是双射，复合也是双射。

例：$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，$f(x)=x^2$ 既非单射（$f(-1)=f(1)$）又非满射（取不到负值），所以不可逆。但若把定义域、值域都限到 $[0,\infty)$，它就成了双射，逆为 $\sqrt{\cdot}$——这说明单 / 满 / 双 依赖于定义域和陪域的选取，不只看表达式。

基数与可数性

双射给了我们 比较集合大小 的统一办法：两个集合之间存在双射，就称它们 等势，记 $|A|=|B|$。对有限集这就是数个数；对无限集，它揭示出「无穷也分大小」。

• 可数集（Countable）：与 $\mathbb{N}$ 等势的无限集，能「排成一列编号」。$\mathbb{Z}$、$\mathbb{Q}$ 都可数——有理数虽然稠密，却能巧妙地排成一列。
• 不可数集：如 $\mathbb{R}$。康托尔对角线法（Cantor's Diagonal Argument）证明实数无法排成一列，于是 $|\mathbb{R}|>|\mathbb{N}|$。

提示

可数性不是闲谈：它告诉我们 程序的数量是可数的（每个程序是有限字符串），而 函数的数量是不可数的——所以必然存在「写不出程序来计算」的函数。这正是不可计算性、停机问题的起点。