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多元函数微积分

概述

一元微积分向多元的推广。从多元极限沿任意路径、偏导数、全微分与可微性逻辑链讲起，含链式法则与隐函数求导。方向导数与梯度指出梯度是上升最快方向，多元极值用 AC−B² 判别式与拉格朗日乘数法求。重积分覆盖二重（直角、极坐标）与三重（柱、球坐标）及雅可比因子，曲线、曲面积分区分对弧长面积与对坐标两类。格林、高斯、斯托克斯三大公式统一为「边界积分等于内部导数积分」，并归结到广义斯托克斯公式。

参考资料​

引入​

一元微积分推广到多元：

  • 导数 →\to 偏导数 / 方向导数 / 梯度。
  • 定积分 →\to 二重 / 三重积分 / 曲线积分 / 曲面积分。
  • 微积分基本定理 →\to 格林公式 / 高斯公式 / 斯托克斯公式。

推广的难点在于「方向变多了」。一元函数在一点只能左右走，多元函数却能朝无穷多个方向走，于是「变化率」这件事必须先说清「沿哪个方向」——偏导数、方向导数、梯度都是为回答这个问题而生。

多元函数​

极限与连续​

lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=A\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A

要求 (x,y)(x,y) 沿 任何路径 趋近 (x0,y0)(x_0,y_0) 时极限都相同。

这是多元极限最棘手的地方：一元只有左右两条路，多元有无穷多条路（直线、抛物线、螺旋……）。只要找到两条路径让极限值不同，极限就不存在。 经典反例 f=xyx2+y2f=\dfrac{xy}{x^2+y^2} 在原点，沿 y=kxy=kx 趋近会得到随 kk 变化的值 k1+k2\dfrac{k}{1+k^2}，故极限不存在。连续的定义照旧：lim⁡(x,y)→(x0,y0)f=f(x0,y0)\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f=f(x_0,y_0)，初等函数在定义区域内仍处处连续。

偏导数​

fx(x0,y0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δxf_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}

记号：∂f∂x\dfrac{\partial f}{\partial x}、fxf_x、∂xf\partial_x f。

偏导的做法就一句话：对哪个变量求导，就把其余变量统统当常数。 几何上，fx(x0,y0)f_x(x_0,y_0) 是曲面 z=f(x,y)z=f(x,y) 被平面 y=y0y=y_0 截出的那条曲线在该点的切线斜率——只沿 xx 轴方向看曲面的陡峭程度。fyf_y 同理沿 yy 方向。

混合偏导 fxyf_{xy} 与 fyxf_{yx} 在二者连续时相等（求导次序可交换）。

例：f=x3y2+sin⁡(xy)f=x^3 y^2+\sin(xy)。对 xx 求偏导时把 yy 当常数：

fx=3x2y2+ycos⁡(xy),fy=2x3y+xcos⁡(xy)f_x=3x^2 y^2+y\cos(xy),f_y=2x^3 y+x\cos(xy)

混合偏导 fxy=∂∂y(3x2y2+ycos⁡xy)=6x2y+cos⁡xy−xysin⁡xyf_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(3x^2 y^2+y\cos xy)=6x^2 y+\cos xy-xy\sin xy，可验证 fyxf_{yx} 给出同一结果。

全微分​

dz=∂z∂xdx+∂z∂ydy\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y

全微分是用 切平面 代替曲面：函数的真实增量 Δz\Delta z 约等于沿 xx、yy 两个方向的线性增量之和。它把一元的「切线近似」升级成「切平面近似」。

例（全微分作近似）：估 (1.02)3.01(1.02)^{3.01}。取 f(x,y)=xyf(x,y)=x^y、(x0,y0)=(1,3)(x_0,y_0)=(1,3)。fx=yxy−1f_x=yx^{y-1}、fy=xyln⁡xf_y=x^y\ln x，在 (1,3)(1,3) 处 fx=3f_x=3、fy=0f_y=0、f=1f=1。于是：

(1.02)3.01≈f+fxΔx+fyΔy=1+3×0.02+0×0.01=1.06(1.02)^{3.01}\approx f+f_x\Delta x+f_y\Delta y=1+3\times 0.02+0\times 0.01=1.06

fy=0f_y=0 是因为 ln⁡1=0\ln 1=0，所以 yy 的微小变化几乎不影响结果。

可微性的逻辑链需要分清：

偏导连续  ⟹  可微  ⟹  {连续偏导存在\text{偏导连续}\implies\text{可微}\implies \begin{cases} \text{连续} \\ \text{偏导存在} \end{cases}

反向都不成立。特别注意 偏导存在不一定可微——偏导只管住 xx、yy 两个坐标方向，可微却要求切平面在 所有方向 都贴合曲面，是强得多的条件。

链式法则​

若 z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)：

∂z∂x=∂z∂u∂u∂x+∂z∂v∂v∂x\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}

和一元链式法则同理，只是 xx 通过 多条路径（经 uu、经 vv）影响 zz，每条路径贡献一项，最后 求和。画一张「变量依赖图」，从 zz 到 xx 有几条通路就有几个加项，每条通路上的偏导相乘——这是多元求导不出错的实用技巧。

隐函数求导​

由 F(x,y)=0F(x,y)=0 确定 y=y(x)y=y(x)：

dydx=−FxFy\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{F_x}{F_y}

由 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 确定 z=z(x,y)z=z(x,y)：

∂z∂x=−FxFz,∂z∂y=−FyFz\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}

这些公式由「对 F=0F=0 两端求全微分、再解出待求偏导」得到，避免了显式解出 yy 或 zz。前提是分母（如 FyF_y、FzF_z）不为零，这正是 隐函数定理 保证局部能解出函数的条件。

方向导数与梯度​

方向导数：函数沿单位向量 l⃗=(cos⁡α,cos⁡β)\vec l=(\cos\alpha,\cos\beta) 的变化率。

∂f∂l⃗=fxcos⁡α+fycos⁡β=∇f⋅l⃗\frac{\partial f}{\partial\vec l}=f_x\cos\alpha+f_y\cos\beta=\nabla f\cdot\vec l

偏导只测坐标轴方向的陡度，方向导数测 任意指定方向 的陡度——把它写成梯度与方向向量的点积，是理解梯度的钥匙。

梯度：

∇f=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)
提示

梯度指向函数 上升最快 的方向，其模 ∣∇f∣|\nabla f| 是该方向的（最大）变化率。原因藏在点积里：∂f∂l⃗=∇f⋅l⃗=∣∇f∣cos⁡θ\dfrac{\partial f}{\partial\vec l}=\nabla f\cdot\vec l=|\nabla f|\cos\theta，θ\theta 是 l⃗\vec l 与梯度的夹角。当 l⃗\vec l 与梯度同向（θ=0\theta=0）时变化率最大、反向最小、垂直时为零。所以「站在山坡上、朝梯度方向迈步爬升最快」，而 梯度处处垂直于等值线 / 等高面。这是机器学习里梯度下降法的几何根基。

例（方向导数与最大变化率）：f=x2+xy+y2f=x^2+xy+y^2 在点 (1,1)(1,1) 处沿 a⃗=(3,4)\vec a=(3,4) 的方向导数。先求梯度 ∇f=(2x+y,x+2y)\nabla f=(2x+y,x+2y)，在 (1,1)(1,1) 处为 (3,3)(3,3)。a⃗\vec a 的单位向量是 l⃗=(35,45)\vec l=\left(\dfrac35,\dfrac45\right)，故：

∂f∂l⃗=∇f⋅l⃗=3⋅35+3⋅45=215\frac{\partial f}{\partial\vec l}=\nabla f\cdot\vec l=3\cdot\frac{3}{5}+3\cdot\frac{4}{5}=\frac{21}{5}

而该点变化率的最大值就是 ∣∇f∣=32+32=32|\nabla f|=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt2，在沿梯度方向 (1,1)(1,1) 时取得。

多元函数极值​

无条件极值​

必要条件：fx=fy=0f_x=f_y=0（驻点，对应切平面水平）。

充分条件用二阶偏导判别（类比一元的 f′′f''）。设 A=fxx,B=fxy,C=fyyA=f_{xx},B=f_{xy},C=f_{yy}，Δ=AC−B2\Delta=AC-B^2：

Δ>0\Delta>0Δ<0\Delta<0Δ=0\Delta=0
A>0A>0 极小，A<0A<0 极大非极值（鞍点）不定，需另判

Δ<0\Delta<0 对应 鞍点——形如马鞍，沿一个方向是谷底、沿另一方向是山顶，所以不是极值。这是多元才有的新现象，一元没有对应物。

例：求 f=x3−3xy+y3f=x^3-3xy+y^3 的极值。解驻点 fx=3x2−3y=0f_x=3x^2-3y=0、fy=−3x+3y2=0f_y=-3x+3y^2=0，即 y=x2y=x^2、x=y2x=y^2，得 (0,0)(0,0) 与 (1,1)(1,1)。二阶偏导 A=fxx=6xA=f_{xx}=6x、B=fxy=−3B=f_{xy}=-3、C=fyy=6yC=f_{yy}=6y，Δ=AC−B2=36xy−9\Delta=AC-B^2=36xy-9：

  • 在 (0,0)(0,0)：Δ=−9<0\Delta=-9<0，是 鞍点。
  • 在 (1,1)(1,1)：Δ=36−9=27>0\Delta=36-9=27>0 且 A=6>0A=6>0，是 极小值，f(1,1)=−1f(1,1)=-1。

条件极值：拉格朗日乘数法​

求 f(x,y)f(x,y) 在约束 g(x,y)=0g(x,y)=0 下的极值，构造 拉格朗日函数（Lagrange Function）：

L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)

令 Lx=Ly=Lλ=0L_x=L_y=L_\lambda=0 联立求解，得到候选点。

提示

几何直觉：在约束曲线上找 ff 的极值，相当于看着 ff 的等高线沿约束线移动。极值出现在等高线 恰好与约束线相切 的地方——此时若再沿约束线挪一点，ff 不再增减。相切意味着两条曲线的法向量平行，即 ∇f=−λ∇g\nabla f=-\lambda\nabla g，这正是拉格朗日条件。乘数 λ\lambda 衡量「放松约束一点点能让 ff 改善多少」。

例：求 f=xyf=xy 在约束 x2+y2=1x^2+y^2=1 下的最值。构造 L=xy+λ(x2+y2−1)L=xy+\lambda(x^2+y^2-1)，令：

Lx=y+2λx=0Ly=x+2λy=0Lλ=x2+y2−1=0\begin{aligned} L_x & =y+2\lambda x=0 \\ L_y & =x+2\lambda y=0 \\ L_\lambda & =x^2+y^2-1=0 \end{aligned}

前两式相除（或联立）得 y2=x2y^2=x^2，代入约束得 x2=y2=12x^2=y^2=\dfrac12。于是 f=xy=±12f=xy=\pm\dfrac12：最大值 12\dfrac12（取 x=y=12x=y=\dfrac{1}{\sqrt2}），最小值 −12-\dfrac12。联立后常用「两式相除消 λ\lambda」快速得到变量间关系，再回代约束。

重积分​

二重积分​

∬Df(x,y)dσ\iint_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma

几何上是 曲顶柱体的体积：底是平面区域 DD，顶是曲面 z=f(x,y)z=f(x,y)。计算思路是「切成片再累加」，化为 二次积分（先对一个变量积分、把结果再对另一个积分）。

  • 直角坐标：dσ=dxdy\mathrm{d}\sigma=\mathrm{d}x\mathrm{d}y，按 XX-型或 YY-型区域定内外层积分限。选哪种次序取决于 哪种区域描述更简单，必要时交换次序。
  • 极坐标：dσ=rdrdθ\mathrm{d}\sigma=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta。当区域是圆 / 扇形、被积函数含 x2+y2x^2+y^2 时首选。那个多出来的 rr 是 面积元的拉伸因子（极坐标下小块面积是 rdrdθr\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta，离原点越远扇环越宽）。

对称性 能大幅简化计算：若区域关于 xx 轴对称、被积函数关于 yy 为奇函数，则积分为 00；为偶函数则取一半区域积分再乘 22。

例（直角坐标 + 换序）：∫01∫x1ey2dydx\displaystyle\int_0^1\int_x^1 e^{y^2}\mathrm{d}y\mathrm{d}x。内层 ∫ey2dy\int e^{y^2}\mathrm{d}y 积不出，必须 交换次序。原区域是 0≤x≤y≤10\le x\le y\le 1 的三角形，换成先对 xx 后对 yy：

∫01∫0yey2dxdy=∫01yey2dy=12ey2∣01=e−12\int_0^1\int_0^y e^{y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_0^1 ye^{y^2}\mathrm{d}y=\frac{1}{2} e^{y^2}\Big|_0^1=\frac{e-1}{2}

换序后内层多出的因子 yy 恰好凑成 d(y2)\mathrm{d}(y^2)，积分迎刃而解。遇到内层积不出，优先想换序。

例（极坐标）：∬De−(x2+y2)dσ\displaystyle\iint_D e^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}\sigma，DD 是圆 x2+y2≤R2x^2+y^2\le R^2。被积含 x2+y2x^2+y^2、区域是圆，改极坐标 x2+y2=r2x^2+y^2=r^2、dσ=rdrdθ\mathrm{d}\sigma=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta：

∫02π∫0Re−r2rdrdθ=2π⋅[−12e−r2]0R=π(1−e−R2)\int_0^{2\pi}\int_0^R e^{-r^2}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta=2\pi\cdot\left[-\frac{1}{2} e^{-r^2}\right]_0^R=\pi\left(1-e^{-R^2}\right)

那个多出来的 rr 让 e−r2re^{-r^2}r 可凑微分——这正是极坐标处理高斯型积分的妙处。

三重积分​

∭Ωf(x,y,z)dV\iiint_\Omega f(x,y,z)\mathrm{d}V
坐标系体积元适用
直角坐标dV=dxdydz\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z长方体类区域
柱坐标dV=rdrdθdz\mathrm{d}V=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z圆柱、旋转体（绕轴对称）
球坐标dV=ρ2sin⁡φdρdφdθ\mathrm{d}V=\rho^2\sin\varphi\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta球、含 x2+y2+z2x^2+y^2+z^2 的被积函数

柱坐标 = 极坐标加一根 zz 轴；球坐标用「到原点距离 ρ\rho + 两个角度」定位。体积元里的 rr 和 ρ2sin⁡φ\rho^2\sin\varphi 都是坐标变换的 雅可比因子，本质是「换坐标后小体积块被拉伸了多少」。

例（柱坐标）：求 ∭Ω(x2+y2)dV\displaystyle\iiint_\Omega(x^2+y^2)\mathrm{d}V，Ω\Omega 是 x2+y2≤1x^2+y^2\le 1、0≤z≤20\le z\le 2 的圆柱。改柱坐标 x2+y2=r2x^2+y^2=r^2、dV=rdrdθdz\mathrm{d}V=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z：

∫02π∫01∫02r2⋅rdzdrdθ=2π⋅2⋅∫01r3dr=4π⋅14=π\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^2 r^2\cdot r\mathrm{d}z\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta=2\pi\cdot 2\cdot\int_0^1 r^3\mathrm{d}r=4\pi\cdot\frac{1}{4}=\pi

例（球坐标）：求半径 RR 的球 Ω\Omega 内 ∭Ωx2+y2+z2dV\displaystyle\iiint_\Omega\sqrt{x^2+y^2+z^2}\mathrm{d}V。被积是 ρ\rho、区域是球，用球坐标 dV=ρ2sin⁡φdρdφdθ\mathrm{d}V=\rho^2\sin\varphi\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta：

∫02π∫0π∫0Rρ⋅ρ2sin⁡φdρdφdθ=2π⋅[−cos⁡φ]0π⋅R44=2π⋅2⋅R44=πR4\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^R\rho\cdot\rho^2\sin\varphi\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta =2\pi\cdot\Big[-\cos\varphi\Big]_0^\pi\cdot\frac{R^4}{4}=2\pi\cdot 2\cdot\frac{R^4}{4}=\pi R^4

三个变量的积分 完全分离、各自独立积出——这是球对称问题用球坐标的最大便利。

曲线积分​

第一类（对弧长）​

∫Lf(x,y)ds=∫αβf(φ(t),ψ(t))φ′2+ψ′2dt\int_L f(x,y)\mathrm{d}s=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t),\psi(t))\sqrt{\varphi'^2+\psi'^2}\mathrm{d}t

物理意义是 变密度曲线的质量：ff 是线密度，沿曲线累加。它 与方向无关（弧长 ds\mathrm{d}s 永远为正）。

例：算 ∫L(x2+y2)ds\displaystyle\int_L(x^2+y^2)\mathrm{d}s，LL 是圆 x=cos⁡t,y=sin⁡tx=\cos t,y=\sin t（0≤t≤2π0\le t\le 2\pi）。在 LL 上 x2+y2=1x^2+y^2=1，弧长元 ds=(−sin⁡t)2+(cos⁡t)2dt=dt\mathrm{d}s=\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2}\mathrm{d}t=\mathrm{d}t，故：

∫L(x2+y2)ds=∫02π1⋅1dt=2π\int_L(x^2+y^2)\mathrm{d}s=\int_0^{2\pi}1\cdot 1\mathrm{d}t=2\pi

第二类（对坐标）​

∫LPdx+Qdy\int_L P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y

物理意义是 变力沿曲线做的功：F⃗=(P,Q)\vec F=(P,Q) 是力场，沿路径累加力在位移方向的分量。它 与方向有关，反向取负号——逆着走，做的功反号。

例：算 ∫Lxdy−ydx\displaystyle\int_L x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x，LL 是从 (1,0)(1,0) 沿单位圆逆时针到 (0,1)(0,1)。参数化 x=cos⁡t,y=sin⁡tx=\cos t,y=\sin t，tt 从 00 到 π2\dfrac\pi2，dx=−sin⁡tdt\mathrm{d}x=-\sin t\mathrm{d}t、dy=cos⁡tdt\mathrm{d}y=\cos t\mathrm{d}t：

∫0π/2[cos⁡t⋅cos⁡t−sin⁡t⋅(−sin⁡t)]dt=∫0π/21dt=π2\int_0^{\pi/2}\bigl[\cos t\cdot\cos t-\sin t\cdot(-\sin t)\bigr]\mathrm{d}t=\int_0^{\pi/2}1\mathrm{d}t=\frac{\pi}{2}

第二类曲线积分先参数化、把 dx,dy\mathrm{d}x,\mathrm{d}y 都换成 dt\mathrm{d}t，化成一元定积分。

曲面积分​

第一类（对面积）​

∬Σf(x,y,z)dS\iint_\Sigma f(x,y,z)\mathrm{d}S

是曲线积分对弧长的升维：变密度曲面的质量，与侧无关。

第二类（对坐标）​

∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy\iint_\Sigma P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y

物理意义是 流量 / 通量：向量场 F⃗=(P,Q,R)\vec F=(P,Q,R) 穿过曲面 Σ\Sigma 的净流量。它 与侧有关，反侧取负——流入还是流出，符号相反。

三大公式​

这三个公式是多元微积分的顶峰，把 边界上的积分 等于 内部的积分，都是牛顿-莱布尼茨公式在高维的化身。

格林公式（平面）​

∮LPdx+Qdy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dσ\oint_L P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}\sigma

把平面闭曲线 LL 上的第二类曲线积分，换成它围住区域 DD 上的二重积分。右端的 ∂Q∂x−∂P∂y\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y} 是向量场的 旋度（平面版），度量场的「打旋」程度；左端是沿边界的 环量。

例（格林公式算环量）：算 ∮L(x−y)dx+xdy\displaystyle\oint_L(x-y)\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y，LL 是单位圆逆时针。这里 P=x−yP=x-y、Q=xQ=x，∂Q∂x−∂P∂y=1−(−1)=2\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2，转成二重积分：

∮L(x−y)dx+xdy=∬D2dσ=2⋅(圆面积)=2π\oint_L(x-y)\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y=\iint_D 2\mathrm{d}\sigma=2\cdot(\text{圆面积})=2\pi

直接参数化也能算，但格林公式把沿边界的积分一步换成区域上常数的积分，省事得多。

提示

格林公式还给出 用曲线积分算面积 的公式：取 P=−y2P=-\dfrac y2、Q=x2Q=\dfrac x2 使 ∂Q∂x−∂P∂y=1\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=1，则：

A=12∮Lxdy−ydxA=\frac{1}{2}\oint_L x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x

只用边界信息就能求出围住的面积，是行星扫面积、求多边形面积（鞋带公式）的连续版本。

高斯公式（散度定理）​

∯ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dV\oiint_\Sigma P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iiint_\Omega\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}V

把闭曲面 Σ\Sigma 上的 通量，换成它围住的立体 Ω\Omega 内部 散度 的体积分。散度 ∇⋅F⃗\nabla\cdot\vec F 度量某点是「源」（向外冒）还是「汇」（向内吸）。直觉：穿过表面的净流量，等于内部所有源汇的总和——内部冒出来的，最终都得从表面流出去。

例（高斯公式算通量）：求 F⃗=(x,y,z)\vec F=(x,y,z) 穿过半径 RR 球面 Σ\Sigma（外侧）的通量。散度 ∇⋅F⃗=1+1+1=3\nabla\cdot\vec F=1+1+1=3，转成体积分：

∯Σxdydz+ydzdx+zdxdy=∭Ω3dV=3⋅43πR3=4πR3\oiint_\Sigma x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iiint_\Omega 3\mathrm{d}V=3\cdot\frac{4}{3}\pi R^3=4\pi R^3

直接在球面上算曲面积分相当麻烦，高斯公式把它化成「常数 × 体积」。遇到闭曲面通量、被积式散度简单时，首选高斯公式。

斯托克斯公式​

∮LPdx+Qdy+Rdz=∬Σ(∇×F⃗)⋅dS⃗\oint_L P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z=\iint_\Sigma(\nabla\times\vec F)\cdot\mathrm{d}\vec S

是格林公式的空间推广：空间闭曲线 LL 上的 环量，等于以 LL 为边界的曲面 Σ\Sigma 上 旋度的通量。旋度 ∇×F⃗\nabla\times\vec F 是个向量，指向「旋转轴」方向、模为旋转强度。

例（斯托克斯公式算环量）：F⃗=(−y,x,z)\vec F=(-y,x,z)，LL 是平面 z=0z=0 上的单位圆（逆时针）。旋度：

∇×F⃗=(∂R∂y−∂Q∂z,∂P∂z−∂R∂x,∂Q∂x−∂P∂y)=(0,0,2)\nabla\times\vec F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)=(0,0,2)

取 Σ\Sigma 为 LL 围住的圆盘（法向量 n⃗=(0,0,1)\vec n=(0,0,1)），旋度通量 =∬Σ2dS=2π=\displaystyle\iint_\Sigma 2\mathrm{d}S=2\pi，即 ∮LF⃗⋅dr⃗=2π\displaystyle\oint_L\vec F\cdot\mathrm{d}\vec r=2\pi。先算旋度、选最简单的张曲面，再积旋度的通量。

提示

把三大公式连同牛顿-莱布尼茨公式放在一起看，是同一个思想在不同维度的复奏：边界上的积分 = 内部某种「导数」的积分。

  • 一维：∫abF′(x)dx=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^b F'(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)（区间内部 vs 两端点）。
  • 格林 / 斯托克斯：曲线环量 vs 曲面旋度。
  • 高斯：曲面通量 vs 体积散度。

它们在微分形式的语言里统一为一条 广义斯托克斯公式 ∫∂Ωω=∫Ωdω\int_{\partial\Omega}\omega=\int_\Omega\mathrm{d}\omega。