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一元积分学

参考资料​

引入​

积分 是 导数 的逆运算，几何上是 面积 的极限累加。一元积分学包含两条主线：

  • 不定积分：求原函数。
  • 定积分：求曲边梯形面积，通过 牛顿-莱布尼茨公式 与不定积分挂钩。

不定积分​

定义​

若 F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)，则 F(x)F(x) 是 f(x)f(x) 的一个原函数。f(x)f(x) 的全体原函数：

∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C

基本积分表​

∫xa dx=xa+1a+1+C (a≠−1),∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int x^a\,\mathrm{d}x=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C\,(a\ne -1),\quad \int\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln|x|+C ∫ex dx=ex+C,∫ax dx=axln⁡a+C\int e^x\,\mathrm{d}x=e^x+C,\quad \int a^x\,\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C ∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C,∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int\sin x\,\mathrm{d}x=-\cos x+C,\quad \int\cos x\,\mathrm{d}x=\sin x+C ∫sec⁡2x dx=tan⁡x+C,∫csc⁡2x dx=−cot⁡x+C\int\sec^2 x\,\mathrm{d}x=\tan x+C,\quad \int\csc^2 x\,\mathrm{d}x=-\cot x+C ∫11+x2 dx=arctan⁡x+C,∫11−x2 dx=arcsin⁡x+C\int\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\arctan x+C,\quad \int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x=\arcsin x+C

三大积分法​

方法公式
第一类换元（凑微分）∫f(φ(x))φ′(x) dx=∫f(u) du\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\,\mathrm{d}x=\int f(u)\,\mathrm{d}u
第二类换元令 x=φ(t)x=\varphi(t)，∫f(x) dx=∫f(φ(t))φ′(t) dt\int f(x)\,\mathrm{d}x=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,\mathrm{d}t
分部积分∫u dv=uv−∫v du\int u\,\mathrm{d}v=uv-\int v\,\mathrm{d}u
提示

分部积分的口诀：反对幂三指（反三角、对数、幂、三角、指数），越靠前的越优先选作 uu。

特殊技巧​

  • 三角代换：a2−x2\sqrt{a^2-x^2} 令 x=asin⁡tx=a\sin t；a2+x2\sqrt{a^2+x^2} 令 x=atan⁡tx=a\tan t；x2−a2\sqrt{x^2-a^2} 令 x=asec⁡tx=a\sec t。
  • 有理函数积分：部分分式分解。
  • 三角有理式：万能代换 t=tan⁡x2t=\tan\dfrac{x}{2}。

定积分​

定义​

∫abf(x) dx=lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi)Δxi\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i

其中 λ=max⁡Δxi\lambda=\max\Delta x_i。

性质​

∫abf dx=−∫baf dx,∫aaf dx=0\int_a^b f\,\mathrm{d}x=-\int_b^a f\,\mathrm{d}x,\quad \int_a^a f\,\mathrm{d}x=0 ∫ab(f±g) dx=∫abf dx±∫abg dx\int_a^b(f\pm g)\,\mathrm{d}x=\int_a^b f\,\mathrm{d}x\pm\int_a^b g\,\mathrm{d}x ∫abf dx=∫acf dx+∫cbf dx\int_a^b f\,\mathrm{d}x=\int_a^c f\,\mathrm{d}x+\int_c^b f\,\mathrm{d}x

积分中值定理​

设 f∈C[a,b]f\in C[a,b]，则 ∃ξ∈[a,b]\exists\xi\in[a,b] 使：

∫abf(x) dx=f(ξ)(b−a)\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a)

牛顿-莱布尼茨公式​

设 FF 是 ff 的原函数，f∈C[a,b]f\in C[a,b]，则：

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)

这是 微积分基本定理，把定积分计算转化为求原函数。

变上限积分​

Φ(x)=∫axf(t) dt⇒Φ′(x)=f(x)\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\Rightarrow \Phi'(x)=f(x)

复合形式：

ddx∫φ(x)ψ(x)f(t) dt=f(ψ(x))ψ′(x)−f(φ(x))φ′(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}f(t)\,\mathrm{d}t=f(\psi(x))\psi'(x)-f(\varphi(x))\varphi'(x)

反常积分​

无穷区间​

∫a+∞f(x) dx=lim⁡b→+∞∫abf(x) dx\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

无界函数​

若 ff 在 x=cx=c 处无界：

∫abf(x) dx=lim⁡ε→0+(∫ac−ε+∫c+εb)\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\left(\int_a^{c-\varepsilon}+\int_{c+\varepsilon}^b\right)

常用敛散性结论​

∫1+∞1xp dx : p>1 收敛;∫011xp dx : p<1 收敛\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}\,\mathrm{d}x\,:\, p>1\text{ 收敛};\quad \int_0^1\frac{1}{x^p}\,\mathrm{d}x\,:\, p<1\text{ 收敛}

定积分的几何应用​

应用公式
平面图形面积A=∫ab∣f(x)−g(x)∣ dxA=\int_a^b\lvert f(x)-g(x)\rvert\,\mathrm{d}x
旋转体体积（绕 xx 轴）V=π∫abf2(x) dxV=\pi\int_a^b f^2(x)\,\mathrm{d}x
旋转体体积（柱壳法）V=2π∫abxf(x) dxV=2\pi\int_a^b x f(x)\,\mathrm{d}x
曲线弧长L=∫ab1+f′2(x) dxL=\int_a^b\sqrt{1+f'^2(x)}\,\mathrm{d}x
旋转曲面面积S=2π∫abf(x)1+f′2(x) dxS=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+f'^2(x)}\,\mathrm{d}x