分布

概述

离散型随机变量的分布列与数字特征。先区分离散型与连续型随机变量，给出分布列的非负性与归一性，再定义数学期望与方差、标准差，列出期望的线性性、可加性与方差的 D(aX+b)=a²D(X) 等性质。随后逐一给出两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布的期望方差，并展开二项分布的伯努利试验模型、超几何分布的抽样公式，以及正态分布的密度函数、3σ 原则与常用概率区间。

参考资料

• 概率分布 - 维基百科

随机变量

随机变量（Random Variable）是把随机试验的 每一个可能结果 都对应到一个 实数 的函数，通常用大写字母 $X,Y,Z$ 表示，其取值用对应的小写字母 $x,y,z$ 表示。

按取值的形式可分为 $2$ 类：

类型	定义	示例
离散型随机变量	取值可以 一一列出（有限或可数无限）	掷骰子点数 $X\in\set{1,2,\dots,6}$
连续型随机变量	取值充满 某个区间	测量身高、温度的值（实数区间）

提示

高中阶段重点学 离散型 随机变量及其分布列；连续型 主要在 正态分布 一节出现。

分布列

定义

设离散型随机变量 $X$ 所有可能取值为 $x_1,x_2,\dots,x_n$，对应的概率为 $p_i=P(X=x_i)$。下表称为 $X$ 的 分布列（也称 概率分布）：

$X$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$
$P$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$

基本性质

分布列必须满足两条性质：

1. 非负性：$p_i\ge 0(i=1,2,\dots,n)$。
2. 归一性：$\displaystyle\sum_{i=1}^np_i=1$。

提示

「归一性」是检验分布列是否正确的最直接手段——所有概率之和必须等于 $1$。

示例

掷一枚均匀骰子，记朝上点数为 $X$，则其分布列为：

$X$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$P$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

数字特征

期望

数学期望（Expectation）反映随机变量取值的 平均水平，记作 $E(X)$ 或 $\mu$。

对离散型随机变量：

$$E(X)=\sum_{i=1}^nx_ip_i$$

期望的性质（$a,b$ 为常数，$X,Y$ 为随机变量）：

• $E(c)=c$（常数的期望是其本身）
• $E(aX+b)=aE(X)+b$（线性性）
• $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$（可加性，无条件成立）
• 当 $X,Y$ 相互独立 时，$E(XY)=E(X)E(Y)$

方差

方差（Variance）反映随机变量取值的 离散程度，记作 $D(X)$ 或 $\sigma^2$。

$$D(X)=\sum_{i=1}^n(x_i-E(X))^2 p_i=E(X^2)-[E(X)]^2$$

标准差 记作 $\sigma(X)=\sqrt{D(X)}$，与原数据 同量纲。

方差的性质：

• $D(c)=0$
• $D(aX+b)=a^2 D(X)$（注意是 $a^2$ 而不是 $a$，且常数 $b$ 不影响方差）
• 当 $X,Y$ 相互独立 时，$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$（注意是「加」不是「减」）

提示

「方差不变常数项，平方系数倍率」——$D(aX+b)$ 与 $b$ 无关，只放大 $a^2$ 倍。

期望与方差是新高考概率大题的 得分核心，公式必须熟记。

常见分布的期望与方差

分布	记号	$E(X)$	$D(X)$
两点分布（伯努利）	$B(1,p)$	$p$	$p(1-p)$
二项分布	$B(n,p)$	$np$	$np(1-p)$
超几何分布	$H(N,M,n)$	$\dfrac{nM}{N}$	$\dfrac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}$
正态分布	$N(\mu,\sigma^2)$	$\mu$	$\sigma^2$

示例

设 $X\sim B(10,0.6)$，则 $E(X)=10\times 0.6=6$，$D(X)=10\times 0.6\times 0.4=2.4$。

二项分布

我们把只包含 两个 可能结果的试验叫做 伯努利试验，独立地重复进行 $n$ 次所组成的随机试验称为 $n$ 重伯努利试验。

在 $n$ 重伯努利试验中，设每次试验中事件 $A$ 发生的概率为 $p$，发生的次数为 $X$，则有：

$$P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$$

如果随机变量 $X$ 的分布列具有上式的形式，则称随机变量 $X$ 服从 二项分布，记作：

$$X\sim B(n,p)$$

由 二项式定理，容易得到：

$$\sum_{k=0}^n P(X=k)=\sum_{k=0}^n C_n^kp^k(1-p)^{n-k}=\left[p+(1-p)\right]^n=1$$

超几何分布

超几何分布：假设一批产品共 $N$ 件，其中有 $M\leq N$ 件次品。从 $N$ 件产品中随机不放回抽取 $n\leq N$ 件，用 $X$ 表示抽取的次品数，则有：

$$P(X=k)=\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$$ $$E(X)=\frac{nM}{N},D(X)=\frac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}$$

与二项分布相比，超几何分布更集中在均值附近。

正态分布

正态分布（高斯分布）是一种 连续 的概率分布，可以看作二项分布的极限情况。

正态分布的解析式：

$$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

其中 $\mu\in\mathbb{R},\sigma>0$ 为参数。对 $\forall x\in\mathbb{R},f(x)>0$，可以用积分证明 $x$ 轴与曲线之间的区域面积为 $1$。称 $f(x)$ 为正态密度函数，图像为正态（密度）曲线。$X$ 服从正态分布，记为：

$$X\sim N(\mu,\sigma^2)$$ $$E(X)=\mu,D(X)=\sigma^2$$

特别地，当 $\mu=0,\sigma=1$ 时称 $X$ 服从标准正态分布。

正态分布的特点：

• 曲线是单峰的，关于 $x=\mu$ 对称；在 $x=\mu$ 达到峰值 $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$。
• $\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0$。
• 当 $\sigma$ 较小时，曲线瘦高，反之矮胖。

常用取值：

$$P(\mu-\sigma\leq X\leq\mu+\sigma)\approx 0.6827$$ $$P(\mu-1.96\sigma\leq X\leq\mu+1.96\sigma)=0.95$$ $$P(\mu-2\sigma\leq X\leq\mu+2\sigma)\approx 0.9545$$ $$P(\mu-2.58\sigma\leq X\leq\mu+2.58\sigma)=0.99$$ $$P(\mu-3\sigma\leq X\leq\mu+3\sigma)\approx 0.9973$$

$3\sigma$ 原则：服从于正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ 的随机变量通常只取 $[\mu-3\sigma,\mu+3\sigma]$ 之间的值。