分布

参考资料

• 概率分布 - 维基百科

二项分布

我们把只包含 两个 可能结果的试验叫做 伯努利试验，独立地重复进行 $n$ 次所组成的随机试验称为 $n$ 重伯努利试验。

在 $n$ 重伯努利试验中，设每次试验中事件 $A$ 发生的概率为 $p$，发生的次数为 $X$，则有：

$$P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$$

如果随机变量 $X$ 的分布列具有上式的形式，则称随机变量 $X$ 服从 二项分布，记作：

$$X\sim B(n,p)$$

由 二项式定理，容易得到：

$$\sum_{k=0}^n P(X=k)=\sum_{k=0}^n C_n^kp^k(1-p)^{n-k}=\left[p+(1-p)\right]^n=1$$

超几何分布

超几何分布：假设一批产品共 $N$ 件，其中有 $M\leq N$ 件次品。从 $N$ 件产品中随机不放回抽取 $n\leq N$ 件，用 $X$ 表示抽取的次品数，则有：

$$P(X=k)=\frac{C_M^kC^{n-k}_{N-M}}{C_N^n}$$ $$E(X)=\frac{nM}{N},D(X)=\frac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}$$

与二项分布相比，超几何分布更集中在均值附近。

正态分布

正态分布（高斯分布）是一种 连续 的概率分布，可以看作二项分布的极限情况。

正态分布的解析式：

$$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

其中 $\mu\in\R,\sigma >0$ 为参数。对 $\forall x\in\R,f(x)>0$，可以用积分证明 $x$ 轴与曲线之间的区域面积为 $1$。称 $f(x)$ 为正态密度函数，图像为正态（ 密度 ）曲线。$X$ 服从正态分布，记为：

$$X\sim N(\mu,\sigma^2)$$ $$E(X)=\mu,D(X)=\sigma^2$$

特别地，当 $\mu=0,\sigma=1$ 时称 $X$ 服从标准正态分布。

正态分布的特点：

• 曲线是单峰的，关于 $x=\mu$ 对称；在 $x=\mu$ 达到峰值 $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$。
• $\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0$。
• 当 $\sigma$ 较小时，曲线“瘦高”，反之“矮胖”。

常用取值：

$$P(\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma)\approx 0.6827$$ $$P(\mu-1.96\sigma\leq X\leq \mu+1.96\sigma)=0.95$$ $$P(\mu-2\sigma\leq X\leq \mu+2\sigma)\approx 0.9545$$ $$P(\mu-2.58\sigma\leq X\leq \mu+2.58\sigma)=0.99$$ $$P(\mu-3\sigma\leq X\leq \mu+3\sigma)\approx 0.9973$$

$3\sigma$ 原则：服从于正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ 的随机变量通常只取 $[\mu-3\sigma,\mu+3\sigma]$ 之间的值。