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函数

参考资料​

概念​

定义​

《人教版高中数学 · 必修一》：一般地，设 A,BA,B 是非空的实数集，如果对于集合 AA 中的任意一个数 xx，按照某种确定的对应关系 ff，在集合 BB 中都有唯一确定的数 yy 和它对应，那么就称 f:A→Bf:A \to B 为从集合 AA 到集合 BB 的一个 函数（function），记为：

y=f(x),x∈Ay=f(x),x\in A

其中，xx 叫做自变量，xx 的取值范围 AA 叫做函数的 定义域（domain）；与 xx 的值相对应的 yy 值叫做函数值，函数值的集合 { f(x)∣x∈A }\set{f(x)|x\in A} 叫做函数的 值域（range）。

理解​

函数 ff 类似一台 加工机器：对于每个输入 xx，都会输出 唯一 的 yy，我们用 f(x)f(x) 表示这个输出值。

Example

例如，我们甚至可以定义一个榨汁函数 f榨汁(x)f_{\text{榨汁}}(x)，对于每个水果 x∈Ax\in A，都会得到对应的果汁 y∈By\in B。

f榨汁(x)=yf_{\text{榨汁}}(x)=yf榨汁(橙子)=橙子汁f_{\text{榨汁}}(\text{橙子})=\text{橙子汁}f榨汁(苹果)=苹果汁f_{\text{榨汁}}(\text{苹果})=\text{苹果汁}f榨汁(西瓜)=西瓜汁f_{\text{榨汁}}(\text{西瓜})=\text{西瓜汁}

而此时函数的 定义域 AA 为“水果集合”，值域 BB 为“果汁集合”。

记号​

在函数 y=f(x)y=f(x) 中：

  • ff 是 函数名，通常用 ff、gg、hh 等字母表示；
  • xx 是 自变量，表示输入；
  • f(x)f(x) 是 函数值，即输出结果。

使得 f(x)=0f(x)=0 的实数 xx 称为函数 y=f(x)y=f(x) 的 零点。

提示

函数的括号通常不能省略，但在某些不易引起歧义的情况下，可以省略括号。

例如 sin⁡α\sin\alpha、cos⁡2β\cos 2\beta、ln⁡x\ln x、exp⁡y\exp y。

表示​

表示一个函数的方法有 33 种：图像、表格、解析式。

定义域​

定义域 是指函数中自变量可以取的所有值的集合，通常分为以下两种：

  • 自然定义域：指函数表达式在实数范围内有意义的所有自变量的集合。
  • 实际定义域：根据具体问题的背景所需的自变量取值范围。
Example

例如，一辆汽车的速度为 8080（千米 / 小时），则行驶路程 yy（千米）与时间 xx（小时）的关系为：

y=80xy=80x

这个函数的 自然定义域 是 R\mathbb{R}，而 实际定义域 是 [0,+∞)[0,+\infty)。

计算一个函数的定义域时需要注意：

  • 分式的 分母 不为 00；
  • 对数的 真数 大于 00；
  • 偶次根号 内的 被开方数 不为负数；
  • 不能出现 00 的 00 次方。
Example

计算函数 f(x)=1x−2+x+1f(x)=\frac{1}{x-2}+\sqrt{x+1} 的定义域。

  • 分母 x−2≠0⇒x≠2x-2\ne 0\Rightarrow x\ne 2；
  • 被开方数 x+1≥0⇒x≥−1x+1\ge 0\Rightarrow x\ge -1。

所以该函数的定义域为 [−1,2)∪(2,+∞)[-1,2)\cup(2,+\infty)。

方程​

定义​

方程是含有未知数的 等式，其 解 是使等式成立的变量取值。

图像​

图像由图像上的所有 点 组成，而这些点就是方程的 解。

方程 x2+y2=1x^2+y^2=1 表示平面上所有满足该等式的点 (x,y)(x,y) 构成的图像。

例如 x=1,y=0x=1,y=0 是方程 x2+y2=1x^2+y^2=1 的一个解，所以点 (1,0)(1,0) 在其图像上。

几何意义上，就是到原点距离为 11 的所有点组成的图像，即 单位圆。

方程与函数​

初中学过的函数，其实是一种特殊的方程：等式左边是 yy，右边是关于 xx 的表达式，例如 y=x2+1y=x^2+1。

到了高中，我们将右边的表达式“封装”为函数，记为 f(x)=x2+1f(x)=x^2+1，原方程就变为 y=f(x)y=f(x)。

通常我们会省略这个 yy，直接写作 f(x)f(x)，但本质上它仍表示图像上所有点 (x,f(x))(x,f(x)) 构成的图像。

提示

初中表示函数常用 yy，而高中则改用 f(x)f(x)，有以下两个优点；

  1. 涉及多个函数时，可以用 f(x)f(x)、g(x)g(x)、h(x)h(x) 等不同函数名表示。
  2. 可以定义 f(−x)f(-x)、f(2x)f(2x)、f(x+1)f(x+1) 等函数，表达更灵活。

详见 都表示函数，为啥初中用y，高中用f(x)?【初高中衔接】 - bilibili。

性质​

单调性​

若函数 f(x)f(x) 在某区间内，随 xx 增大而函数值也增大，则称其在该区间 单调递增。

若 f(x)f(x) 在整个定义域内都单调递增，则称其为一个 增函数。

同理，若 f(x)f(x) 在某区间内，随 xx 增大而函数值减小，则称其在该区间 单调递减。

若 f(x)f(x) 在整个定义域内都单调递减，则称其为一个 减函数。

最值​

函数 f(x)f(x) 在其定义域内的最大值为 aa，最小值为 bb。

因此，aa 称为函数 f(x)f(x) 的 最大值，bb 称为函数 f(x)f(x) 的 最小值。

奇偶性​

满足 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) 的函数称为 偶函数，也就是关于 yy 轴对称。

满足 f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) 的函数称为 奇函数，也就是关于原点 OO 中心对称。

对称性​

若 f(a+x)=f(b−x)f(a+x)=f(b-x)，则 f(x)f(x) 关于 x=a+b2x=\frac{a+b}{2} 轴对称。

若 f(a+x)+f(b−x)=cf(a+x)+f(b-x)=c，则 f(x)f(x) 关于 (a+b2,c2)\left(\frac{a+b}{2},\frac{c}{2}\right) 中心对称。

初等函数​

数学中有 66 种 基本初等函数：常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

函数解析式定义域值域
常函数f(x)=Cf(x)=CR\mathbb{R}{ C }\set{C}
幂函数f(x)=xaf(x)=x^aR\mathbb{R} 或 [0,∞)[0,\infty)R\mathbb{R} 或 [0,∞)[0,\infty)
指数函数f(x)=axf(x)=a^xR\mathbb{R}(0,∞)(0,\infty)
对数函数f(x)=log⁡axf(x)=\log_a x(0,∞)(0,\infty)R\mathbb{R}

常函数​

常函数 的一般形式如下，其中 CC 为常数，定义域为 R\mathbb{R}，值域为 { C }\set{C}。

f(x)=Cf(x)=C

常函数的图像：

幂函数​

幂函数 的一般形式如下，其中 aa 为常数。

y=xay=x^a

特别地，当 a=−1a=-1 时，为反比例函数 y=x−1=1xy=x^{-1}=\frac{1}{x}；当 a=12a=\frac{1}{2} 时，为平方根函数 y=x12=xy=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}。

幂函数的图像：

指数函数​

指数的运算与性质：

  • an=a×a×⋯×aa^n=a\times a\times\dots\times a
  • a1n=ana^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}
  • amn=(an)ma^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m
  • a−n=1ana^{-n}=\frac{1}{a^n}
  • anam=an+ma^na^m=a^{n+m}
  • (an)m=anm(a^n)^m=a^{nm}
  • (ab)n=anbn(ab)^n=a^nb^n

指数函数 的一般形式如下，其中 aa 为常数，且 a>0,a≠1a>0,a\ne 1，定义域为 R\mathbb{R}，值域为 (0,∞)(0,\infty)。

y=axy=a^x

指数函数的图像：

对数函数​

当 ab=na^b=n 时，把 bb 叫做以 aa 为底 nn 的对数，记作：

b=log⁡anb=\log_a n

特别地：

  • 以 1010 为底的对数称为 常用对数 lg⁡\lg，即 log⁡10n=lg⁡n\log_{10} n=\lg n。
  • 以 e≈2.71828e\approx 2.71828 为底的对数称为 自然对数 ln⁡\ln，即 log⁡en=ln⁡n\log_e n=\ln n。

对数的运算与性质：

  • b=log⁡an  ⟺  ab=nb=\log_a n\iff a^b=n
  • alog⁡an=na^{\log_a n}=n
  • log⁡amn=log⁡am+log⁡an\log_a mn=\log_a m+\log_a n（乘法）
  • log⁡amn=log⁡am−log⁡an\log_a\frac{m}{n}=\log_a m-\log_a n（除法）
  • log⁡anm=mlog⁡an\log_a n^m=m\log_a n
  • log⁡a1n=−log⁡an\log_a\frac{1}{n}=-\log_a n
  • log⁡an=log⁡bnlog⁡ba\log_a n=\frac{\log_b n}{\log_b a}（换底公式）

对数函数 的一般形式如下，其中 aa 为常数，且 a>0,a≠1a>0,a\ne 1，定义域为 (0,∞)(0,\infty)，值域为 R\mathbb{R}。

y=log⁡axy=\log_a x

对数函数的图像：

三角函数​

常见的 三角函数 有 66 个：

y=sin⁡(x)/cos⁡(x)/tan⁡(x)/cot⁡(x)/sec⁡(x)/csc⁡(x)y=\sin(x)/\cos(x)/\tan(x)/\cot(x)/\sec(x)/\csc(x)

详见 三角函数。

三角函数的图像（红色为 sin⁡\sin，蓝色为 cos⁡\cos，绿色为 tan⁡\tan，橙色为 cot⁡\cot，紫色为 sec⁡\sec，黑色为 csc⁡\csc）：

反三角函数​

常见的 反三角函数 也有 66 个：

y=arcsin⁡(x)/arccos⁡(x)/arctan⁡(x)/arccot⁡(x)/arcsec⁡(x)/arccsc⁡(x)y=\arcsin(x)/\arccos(x)/\arctan(x)/\operatorname{arccot}(x)/\operatorname{arcsec}(x)/\operatorname{arccsc}(x)

反三角函数的图像：

反三角函数在高中阶段很少涉及。

反函数​

反函数 是将原函数的输入和输出交换得到的函数。

函数 y=f(x)y=f(x) 的反函数 f−1(x)f^{-1}(x) 满足：

f−1(y)=f−1(f(x))=xf^{-1}(y)=f^{-1}(f(x))=x

通常，反函数的 定义域 是原函数的 值域，反函数的 值域 是原函数的 定义域。

原函数与反函数的图象关于直线 y=xy=x 轴对称。

Example
  • 平方函数 y=x2y=x^2 的反函数是 平方根函数 y=xy=\sqrt{x}。
  • 指数函数 y=axy=a^x 的反函数是 对数函数 y=log⁡axy=\log_a x。
  • 三角函数 y=sin⁡xy=\sin x 的反函数是 反三角函数 y=arcsin⁡xy=\arcsin x。
  • 反比例函数 y=axy=\frac{a}{x} 的反函数是它本身 y=axy=\frac{a}{x}。