函数

参考资料

• 函数 - 维基百科
• 都表示函数，为啥初中用y，高中用f(x)?【初高中衔接】 - bilibili

函数的定义

《人教版高中必修一》：一般地，设 $\mathbb{A}, \mathbb{B}$ 是非空的实数集，如果对于集合 $\mathbb{A}$ 中的任意一个数 $x$，按照某种确定的对应关系 $f$，在集合 $\mathbb{B}$ 中都有唯一确定的数 $y$ 和它对应，那么就称 $f:\mathbb{A} \to \mathbb{B}$ 为从集合 $\mathbb{A}$ 到集合 $\mathbb{B}$ 的一个函数（function），记作 $y=f(x),x \in \mathbb{A}$。

直观理解

函数 $f$ 就像一台“机器”，每输入一个 $x$，就会输出唯一的 $y$，我们用 $f(x)$ 表示这个输出值。

初中阶段我们学过的 三角函数 $\sin$、$\cos$、$\tan$ 就是函数。

通常函数括号不能省略，但在一些不易引起歧义的场合，如 $\sin 2\alpha$、$\ln x$ 等，可以省略括号。

函数的术语

在函数 $f(x)$ 中：

• $f$ 是 函数名，常用 $f$、$g$、$h$ 等表示。（通常函数名仅用一个字母，但像 $\sin$、$\log$ 等约定俗成的特殊函数名，可由多个字母组成）
• $x$ 是 自变量，表示输入。
• $f(x)$ 是 函数值，即输出结果。

方程的定义

方程是含有未知数的 等式，其 解 是使等式成立的变量取值。

例如单位圆的方程为 $x^2+y^2=1$，表示平面上所有满足该等式的点 $(x,y)$ 构成的图像，几何意义上，就是到原点距离为 $1$ 的所有点组成的图像，也就是单位圆。

方程与函数

初中学过的函数，其实是一个特殊的方程：等式左边是 $y$，右边是 $x$ 的表达式，例如 $y=x^2+1$。

到了高中，我们将右边的表达式“封装”为函数，记作 $f(x)=x^2+1$，原方程就变为 $y=f(x)$。

通常我们会省略这个 $y$，直接写作 $f(x)$，但本质上，它仍表示图像上的点 $(x,f(x))$。

初中表示函数常用 $y$，而高中则改用 $f(x)$，原因如下：

1. 适应多函数时：涉及多个函数，可以用 $f(x)$、$g(x)$、$h(x)$ 等表示。
2. 表达更灵活：可以定义 $f(2x)$、$f(x+1)$ 等函数。