函数

概述

把函数看作对每个输入给出唯一输出的加工机器，讲定义域、值域、记号与自然定义域和实际定义域的区别。方程部分说明函数是特殊的方程、图像即解的集合。性质部分讲单调性、最值、奇偶性与轴对称、中心对称的判定。初等函数部分梳理常函数、幂、指数、对数、三角与反三角，附指数对数的运算与换底公式，并讲反函数。应用部分讲零点、方程根与图像交点三者等价、零点存在性定理与二分法，以及五种函数模型与对数、幂、指数增长速度的比较。

参考资料

• 函数 - 维基百科

概念

定义

《人教版高中数学·必修一》：一般地，设 $A,B$ 是非空的实数集，如果对于集合 $A$ 中的任意一个数 $x$，按照某种确定的对应关系 $f$，在集合 $B$ 中都有唯一确定的数 $y$ 和它对应，那么就称 $f:A\to B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个 函数（function），记为：

$$y=f(x),x\in A$$

其中，$x$ 叫做自变量，$x$ 的取值范围 $A$ 叫做函数的 定义域（domain）；与 $x$ 的值相对应的 $y$ 值叫做函数值，函数值的集合 $\set{f(x)|x\in A}$ 叫做函数的 值域（range）。

理解

函数 $f$ 类似一台 加工机器：对于每个输入 $x$，都会输出 唯一 的 $y$，我们用 $f(x)$ 表示这个输出值。

示例

例如，我们甚至可以定义一个榨汁函数 $f_{\text{榨汁}}(x)$，对于每个水果 $x\in A$，都会得到对应的果汁 $y\in B$。

$$f_{\text{榨汁}}(x)=y$$$$f_{\text{榨汁}}(\text{橙子})=\text{橙子汁}$$$$f_{\text{榨汁}}(\text{苹果})=\text{苹果汁}$$$$f_{\text{榨汁}}(\text{西瓜})=\text{西瓜汁}$$

而此时函数的 定义域 $A$ 为「水果集合」，值域 $B$ 为「果汁集合」。

记号

在函数 $y=f(x)$ 中：

• $f$ 是 函数名，通常用 $f$、$g$、$h$ 等字母表示；
• $x$ 是 自变量，表示输入；
• $f(x)$ 是 函数值，即输出结果。

使得 $f(x)=0$ 的实数 $x$ 称为函数 $y=f(x)$ 的 零点。

提示

函数的括号通常不能省略，但在某些不易引起歧义的情况下，可以省略括号。

例如 $\sin\alpha$、$\cos 2\beta$、$\ln x$、$\exp y$。

表示

表示一个函数的方法有 $3$ 种：图像、表格、解析式。

定义域

定义域 是指函数中自变量可以取的所有值的集合，通常分为以下两种：

• 自然定义域：指函数表达式在实数范围内有意义的所有自变量的集合。
• 实际定义域：根据具体问题的背景所需的自变量取值范围。

示例

例如，一辆汽车的速度为 80（千米 / 小时），则行驶路程 $y$（千米）与时间 $x$（小时）的关系为：

$$y=80x$$

这个函数的 自然定义域 是 $\mathbb{R}$，而 实际定义域 是 $[0,+\infty)$。

计算一个函数的定义域时需要注意：

• 分式的 分母 不为 $0$；
• 对数的 真数 大于 $0$；
• 偶次根号 内的 被开方数 不为负数；
• 不能出现 $0$ 的 $0$ 次方。

示例

计算函数 $f(x)=\frac{1}{x-2}+\sqrt{x+1}$ 的定义域。

• 分母 $x-2\ne 0\implies x\ne 2$；
• 被开方数 $x+1\ge 0\implies x\ge-1$。

所以该函数的定义域为 $[-1,2)\cup(2,+\infty)$。

方程

定义

方程是含有未知数的 等式，其 解 是使等式成立的变量取值。

图像

图像由图像上的所有 点 组成，而这些点就是方程的 解。

方程 $x^2+y^2=1$ 表示平面上所有满足该等式的点 $(x,y)$ 构成的图像。

例如 $x=1,y=0$ 是方程 $x^2+y^2=1$ 的一个解，所以点 $(1,0)$ 在其图像上。

几何意义上，就是到原点距离为 $1$ 的所有点组成的图像，即 单位圆。

https://www.desmos.com/calculator/wocs5bz2f4

方程与函数

在初中阶段，我们学过的函数其实是一种特殊的方程：等式左边是 $y$，右边是关于 $x$ 的表达式，例如 $y=x^2+1$。

到了高中，我们将右边的表达式 封装 为函数，记为 $f(x)=x^2+1$，原方程就变为 $y=f(x)$。

通常我们会省略这个 $y$，直接写作 $f(x)$，但本质上它仍表示图像上所有点 $(x,f(x))$ 构成的图像。

提示

初中表示函数通常用 $y$，而高中改为 $f(x)$，主要有两个优点：

1. 涉及多个函数时，可以用 $f(x)$、$g(x)$、$h(x)$ 等不同函数名表示。
2. 表达更灵活，可以定义 $f(-x)$、$f(2x)$、$f(x+1)$ 等函数。

详见 都表示函数，为啥初中用y，高中用f(x)?【初高中衔接】 - bilibili。

性质

单调性

若函数 $f(x)$ 在某区间内，随 $x$ 增大而函数值也增大，则称其在该区间 单调递增。

若 $f(x)$ 在整个定义域内都单调递增，则称其为一个 增函数。

同理，若 $f(x)$ 在某区间内，随 $x$ 增大而函数值减小，则称其在该区间 单调递减。

若 $f(x)$ 在整个定义域内都单调递减，则称其为一个 减函数。

最值

函数 $f(x)$ 在其定义域内的最大值为 $a$，最小值为 $b$。

因此，$a$ 称为函数 $f(x)$ 的 最大值，$b$ 称为函数 $f(x)$ 的 最小值。

奇偶性

满足 $f(-x)=f(x)$ 的函数称为 偶函数，也就是关于 $y$ 轴对称。

https://www.desmos.com/calculator/sleyv1aojt

满足 $f(-x)=-f(x)$ 的函数称为 奇函数，也就是关于原点 $O$ 中心对称。

https://www.desmos.com/calculator/91a51qktbh

对称性

若 $f(a+x)=f(b-x)$，则 $f(x)$ 关于 $x=\frac{a+b}{2}$ 轴对称。

若 $f(a+x)+f(b-x)=c$，则 $f(x)$ 关于 $\left(\frac{a+b}{2},\frac{c}{2}\right)$ 中心对称。

初等函数

数学中有 $6$ 种 基本初等函数：常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

函数	解析式	定义域	值域
常函数	$f(x)=C$	$\mathbb{R}$	$\set{C}$
幂函数	$f(x)=x^a$	$\mathbb{R}$ 或 $[0,\infty)$	$\mathbb{R}$ 或 $[0,\infty)$
指数函数	$f(x)=a^x$	$\mathbb{R}$	$(0,\infty)$
对数函数	$f(x)=\log_a x$	$(0,\infty)$	$\mathbb{R}$

常函数

常函数 的一般形式如下，其中 $C$ 为常数，定义域为 $\mathbb{R}$，值域为 $\set{C}$。

$$f(x)=C$$

常函数的图像：

https://www.desmos.com/calculator/me9qabd2va

幂函数

幂函数 的一般形式如下，其中 $a$ 为常数。

$$y=x^a$$

特别地，当 $a=-1$ 时，为反比例函数 $y=x^{-1}=\frac{1}{x}$；当 $a=\frac{1}{2}$ 时，为平方根函数 $y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$。

幂函数的图像：

https://www.desmos.com/calculator/prm3au2xwc

指数函数

指数的运算与性质：

• $a^n=a\times a\times\dots\times a$
• $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$
• $a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m$
• $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
• $a^na^m=a^{n+m}$
• $(a^n)^m=a^{nm}$
• $(ab)^n=a^nb^n$

指数函数 的一般形式如下，其中 $a$ 为常数，且 $a>0,a\ne 1$，定义域为 $\mathbb{R}$，值域为 $(0,\infty)$。

$$y=a^x$$

指数函数的图像：

https://www.desmos.com/calculator/jnjp6ouulg

对数函数

当 $a^b=n$ 时，把 $b$ 叫做以 $a$ 为底 $n$ 的对数，记作：

$$b=\log_a n$$

特别地：

• 以 $10$ 为底的对数称为 常用对数 $\lg$，即 $\log_{10} n=\lg n$；
• 以 $e\approx 2.71828$ 为底的对数称为 自然对数 $\ln$，即 $\log_e n=\ln n$；
• 以 $2$ 为底的对数称为 二进制对数 $\operatorname{lb}$，即 $\log_2 n=\operatorname{lb}n$。

对数的运算与性质：

• $b=\log_a n\iff a^b=n$
• $a^{\log_a n}=n$
• $\log_a mn=\log_a m+\log_a n$（乘法）
• $\log_a\frac{m}{n}=\log_a m-\log_a n$（除法）
• $\log_a n^m=m\log_a n$
• $\log_a\frac{1}{n}=-\log_a n$
• $\log_a n=\frac{\log_b n}{\log_b a}$（换底公式）

对数函数 的一般形式如下，其中 $a$ 为常数，且 $a>0,a\ne 1$，定义域为 $(0,\infty)$，值域为 $\mathbb{R}$。

$$y=\log_a x$$

对数函数的图像：

https://www.desmos.com/calculator/31nxv8rucv

三角函数

常见的 三角函数 有 $6$ 个：

$$y=\sin(x)/\cos(x)/\tan(x)/\cot(x)/\sec(x)/\csc(x)$$

详见 三角函数。

三角函数的图像（红色为 $\sin$，蓝色为 $\cos$，绿色为 $\tan$，橙色为 $\cot$，紫色为 $\sec$，黑色为 $\csc$）：

https://www.desmos.com/calculator/zhow2jcijw

反三角函数

常见的 反三角函数 也有 $6$ 个：

$$y=\arcsin(x)/\arccos(x)/\arctan(x)/\operatorname{arccot}(x)/\operatorname{arcsec}(x)/\operatorname{arccsc}(x)$$

反三角函数的图像：

https://www.desmos.com/calculator/a2cggsvyzy

反三角函数在高中阶段很少涉及。

反函数

反函数 是将原函数的输入和输出交换得到的函数。

函数 $y=f(x)$ 的反函数 $f^{-1}(x)$ 满足：

$$f^{-1}(y)=f^{-1}(f(x))=x$$

通常，反函数的 定义域 是原函数的 值域，反函数的 值域 是原函数的 定义域。

原函数与反函数的图像关于直线 $y=x$ 对称。

https://www.desmos.com/calculator/rdqxtoukch

示例

• 平方函数 $y=x^2$ 的反函数是 平方根函数 $y=\sqrt{x}$。
• 指数函数 $y=a^x$ 的反函数是 对数函数 $y=\log_a x$。
• 三角函数 $y=\sin x$ 的反函数是 反三角函数 $y=\arcsin x$。
• 反比例函数 $y=\frac{a}{x}$ 的反函数是它本身 $y=\frac{a}{x}$。

应用

函数的零点

使 $f(x)=0$ 的实数 $x$ 称为函数 $f(x)$ 的 零点。

函数的零点 即 方程的根，即 函数图像与 $x$ 轴交点的横坐标——这三者本质是 同一个数，只是从不同角度描述。

$$\underbrace{f(x_0)=0}_{\text{函数零点}} \iff\underbrace{x_0\textsf{ 是方程 }f(x)=0\textsf{ 的根}}_{\text{方程的根}} \iff\underbrace{(x_0,0)\textsf{ 在 }f(x)\textsf{ 图像上}}_{\text{图像交点}}$$

零点存在性定理

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上 连续，且 $f(a)\cdot f(b)<0$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内 至少有一个零点。

提示

• 「连续 + 异号」是零点存在性的充分条件，并非必要条件。
• 该定理只保证零点 存在，不保证 唯一——若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上还 单调，则零点 唯一。

二分法求零点近似值

利用零点存在性定理，可用 二分法 求 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内零点的近似值，精确到给定误差 $\varepsilon$：

1. 确定零点所在初始区间 $[a,b]$，满足 $f(a)\cdot f(b)<0$。
2. 计算中点 $c=\frac{a+b}{2}$ 及 $f(c)$。
3. 比较符号：
   • 若 $f(c)=0$，则 $c$ 即为零点。
   • 若 $f(a)\cdot f(c)<0$，零点在 $(a,c)$，令 $b=c$。
   • 若 $f(c)\cdot f(b)<0$，零点在 $(c,b)$，令 $a=c$。
4. 重复直至 $|b-a|<\varepsilon$，取 $\frac{a+b}{2}$ 作为近似值。

提示

二分法的本质是 不断对半缩小区间，每次迭代将误差减半，收敛速度为 $O(\log\frac{1}{\varepsilon})$。

函数模型

实际问题中常用以下 $5$ 种 基本函数模型 拟合数据。

模型	形式	特征	典型应用
一次函数	$y=kx+b$	等量变化	匀速运动、线性成本
二次函数	$y=ax^2+bx+c$	抛物线（有最值）	弹道、面积最值
指数函数	$y=a\cdot b^x$	爆发式增长	人口、复利、放射衰变
对数函数	$y=a\log_b x+c$	增速越来越慢	地震震级、声音分贝
幂函数	$y=a\cdot x^n$	特定关系	开普勒第三定律

增长速度的比较

当自变量 $x\to+\infty$ 时，几类函数的 增长速度 比较：

$$\textsf{对数}\ll \textsf{幂}\ll \textsf{指数}$$

具体地，对任意 $a>1$，$n>0$，$x$ 足够大时恒有：

$$\log_a x\ll x^n\ll a^x$$

提示

「指数压幂、幂压对数」是处理大数估算与模型选择的核心直觉：

• 同样在 $x=100$ 处，$\log_2 100\approx 6.6$，$x^2=10^4$，$2^x\approx 1.27\times 10^{30}$，差距悬殊。
• 实际拟合时若数据「先快后慢」考虑 对数模型，「先慢后快」考虑 指数模型。

https://www.desmos.com/calculator/zugmboi35l

选择模型的步骤

1. 画散点图：观察数据分布的总体趋势。
2. 选定模型：根据趋势选择合适的基本模型。
3. 拟合参数：用 代入法 或 最小二乘法 确定参数。
4. 检验拟合：计算 相关系数 或 残差，判断拟合优度（详见 统计 - 一元线性回归）。
5. 预测应用：用模型进行预测或决策。