概述 从无理数与虚数的历史危机切入，定义虚数单位 i 与复数 z=a+bi 的实部、虚部，给出复数集 C 与实部虚部相等的判定。几何部分把复数对应到复平面上的点或向量，讲模长、辐角、共轭复数与分母实数化。运算部分讲加减乘除与幂：加减遵循平行四边形法则，乘除对应模长相乘相除、辐角相加相减。三角表示部分由直角坐标与极坐标的转换引出三角形式，并补充 atan2。末尾扩展到欧拉公式与四元数。
在古希腊时期，1 1 1 2 \sqrt{2} 2
有理数 → 无理数 \text{有理数}\to\text{无理数} 有理数 → 无理数 有理数 + 无理数 = 实数 \text{有理数}+\text{无理数}=\text{实数} 有理数 + 无理数 = 实数 类似的故事在代数学中再一次上演。当人们研究二次方程 x 2 + 1 = 0 x^2+1=0 x 2 + 1 = 0 i = − 1 i=\sqrt{-1} i = − 1 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 , a ≠ 0 ax^3+bx^2+cx+d=0,a\ne0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 , a = 0
16 世纪的意大利数学家 − 1 \sqrt{-1} − 1
实数 → 虚数 \text{实数}\to\text{虚数} 实数 → 虚数 实数 + 虚数 = 复数 \text{实数}+\text{虚数}=\text{复数} 实数 + 虚数 = 复数 从无理数的诞生到复数的出现，数学一次次突破原有的边界，也为后续的函数论、解析几何和现代物理奠定了坚实的基础。
在初中阶段，只有非负数才有平方根；负数的平方根被视为「无意义」，因为无法用实数表示结果。
进入高中后，我们开始研究负数的平方根，并定义 i = − 1 i=\sqrt{-1} i = − 1 i 2 = − 1 i^2=-1 i 2 = − 1 i i i 虚数单位 。
通过根号的性质和虚数单位 i i i
− 49 = 49 ⋅ − 1 = 7 i \sqrt{-49}=\sqrt{49}\cdot\sqrt{-1}=7i − 49 = 49 ⋅ − 1 = 7 i 虚数单位 i i i
我们将由实数单位 1 1 1 i i i 复数 ，通常用 z z z
z = a + b i ( a , b ∈ R ) z=a+bi(a,b\in\mathbb{R}) z = a + bi ( a , b ∈ R ) 其中 a a a z z z 实部 ，记作 Re ( z ) \operatorname{Re}(z) Re ( z ) b b b 虚部 ，记作 Im ( z ) \operatorname{Im}(z) Im ( z ) i i i 虚数单位 ，满足 i 2 = − 1 i^2=-1 i 2 = − 1
特别地，当 b = 0 b=0 b = 0 z = a z=a z = a 实数 ；当 b ≠ 0 b\ne 0 b = 0 z z z 虚数 ；当 a = 0 a=0 a = 0 b ≠ 0 b\ne 0 b = 0 z = b i z=bi z = bi 纯虚数 。
两个复数 相等 当且仅当实部相等且虚部相等：
a + b i = c + d i ⟺ a = c and b = d a+bi=c+di\iff a=c\text{ and }b=d a + bi = c + d i ⟺ a = c and b = d 本文默认 z = a + b i z=a+bi z = a + bi Re ( z ) = a , Im ( z ) = b \operatorname{Re}(z)=a,\operatorname{Im}(z)=b Re ( z ) = a , Im ( z ) = b
数集在前面的 R \mathbb{R} R 复数集 C \mathbb{C} C
C = { a + b i ∣ a , b ∈ R } \mathbb{C}=\set{a+bi|a,b\in\mathbb{R}} C = { a + bi ∣ a , b ∈ R } N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C \mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C} N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C
复数的扩展是合理的，因为这个体系自洽，即内部没有矛盾——在现代数学中，逻辑自洽即合理。
每个复数 z = a + b i z=a+bi z = a + bi Z ( a , b ) Z(a,b) Z ( a , b )
而这个建立了直角坐标系来表示复数的平面称作 复平面 ，横轴（x x x 实轴 ，纵轴（y y y 虚轴 。
我们将 O Z → \overrightarrow{OZ} O Z 模长 定义为复数 z = a + b i z=a+bi z = a + bi 模长 ，记为：
∣ O Z ∣ = ∣ z ∣ = ∣ a + b i ∣ = a 2 + b 2 |OZ|=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2} ∣ O Z ∣ = ∣ z ∣ = ∣ a + bi ∣ = a 2 + b 2 两个复数不能直接比较大小，但可以比较它们的模长，即到原点 O O O
其实实数 a a a 模长 ∣ a ∣ |a| ∣ a ∣ 绝对值 。
∣ a ∣ = ∣ a + 0 i ∣ = a 2 |a|=|a+0i|=\sqrt{a^2} ∣ a ∣ = ∣ a + 0 i ∣ = a 2 我们将向量 O Z → \overrightarrow{OZ} O Z 实轴正方向 的夹角定义为 辐角 ，记作 arg z \arg z arg z [ 0 , 2 π ) [0,2\pi) [ 0 , 2 π )
这类似于任意角
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时（关于实轴对称），这两个复数互为 共轭复数 ，记作 z ‾ \overline{z} z
z = a + b i ⟺ z ‾ = a − b i z=a+bi\iff\overline{z}=a-bi z = a + bi ⟺ z = a − bi 当 分母 含有复数时，同时乘以分母的 共轭复数 z ‾ \overline{z} z 分母实数化 ：
z z ‾ = ∣ z ∣ 2 z\overline{z}=|z|^2 z z = ∣ z ∣ 2 在运算中，可以先将虚数单位 i i i x x x y y y i 2 i^2 i 2 − 1 -1 − 1
我们设两个复数 z 1 = a + b i z_1=a+bi z 1 = a + bi z 2 = c + d i z_2=c+di z 2 = c + d i
在代数上，直接相加即可：
z 1 + z 2 = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i z_1+z_2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i z 1 + z 2 = ( a + bi ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i 在几何上，复数在复平面中可以被视为 点 或 向量 ，因此复数运算的几何性质与向量相似，都遵循 平行四边形法则 。
在代数上，直接相减即可：
z 1 − z 2 = ( a + b i ) − ( c + d i ) = ( a − c ) + ( b − d ) i z_1-z_2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i z 1 − z 2 = ( a + bi ) − ( c + d i ) = ( a − c ) + ( b − d ) i 在几何上，与加法类似，转化为相反复数后使用 平行四边形法则 。
在代数上，直接相乘即可：
z 1 z 2 = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + a d i + b c i + b d i 2 = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i z_1z_2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i z 1 z 2 = ( a + bi ) ( c + d i ) = a c + a d i + b c i + b d i 2 = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i 在几何上，复数乘法遵循 模长相乘 、辐角相加 。
r 1 ( cos θ 1 + i sin θ 1 ) ⋅ r 2 ( cos θ 2 + i sin θ 2 ) = r 1 r 2 [ cos ( θ 1 + θ 2 ) + i sin ( θ 1 + θ 2 ) ] r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\cdot r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)=r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)] r 1 ( cos θ 1 + i sin θ 1 ) ⋅ r 2 ( cos θ 2 + i sin θ 2 ) = r 1 r 2 [ cos ( θ 1 + θ 2 ) + i sin ( θ 1 + θ 2 )] 在代数上，除法直接计算得到：
z 1 z 2 = a + b i c + d i ( z 2 ≠ 0 ) \frac{z_1}{z_2}=\frac{a+bi}{c+di}(z_2\ne 0) z 2 z 1 = c + d i a + bi ( z 2 = 0 ) 通过 分母实数化 可以进一步化简为：
( a + b i ) ( c − d i ) ( c + d i ) ( c − d i ) = ( a + b i ) ( c − d i ) c 2 + d 2 = a c + b d c 2 + d 2 + b c − a d c 2 + d 2 i \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i ( c + d i ) ( c − d i ) ( a + bi ) ( c − d i ) = c 2 + d 2 ( a + bi ) ( c − d i ) = c 2 + d 2 a c + b d + c 2 + d 2 b c − a d i 在几何上，复数除法遵循 模长相除 、辐角相减 。
r 1 ( cos θ 1 + i sin θ 1 ) r 2 ( cos θ 2 + i sin θ 2 ) = r 1 r 2 [ cos ( θ 1 − θ 2 ) + i sin ( θ 1 − θ 2 ) ] \frac{r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)}{r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)}=\frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)] r 2 ( cos θ 2 + i sin θ 2 ) r 1 ( cos θ 1 + i sin θ 1 ) = r 2 r 1 [ cos ( θ 1 − θ 2 ) + i sin ( θ 1 − θ 2 )] 复数的幂运算和实数同理。
设：
z 1 = 1 + 3 i , z 2 = 2 − 5 i z_1=1+3i,z_2=2-5i z 1 = 1 + 3 i , z 2 = 2 − 5 i 则：
z 1 + z 2 = ( 1 + 3 i ) + ( 2 − 5 i ) = ( 1 + 2 ) + ( 3 − 5 ) i = 3 − 2 i z_1+z_2=(1+3i)+(2-5i)=(1+2)+(3-5)i=3-2i z 1 + z 2 = ( 1 + 3 i ) + ( 2 − 5 i ) = ( 1 + 2 ) + ( 3 − 5 ) i = 3 − 2 i z 1 − z 2 = ( 1 + 3 i ) − ( 2 − 5 i ) = ( 1 − 2 ) + ( 3 + 5 ) i = − 1 + 8 i z_1-z_2=(1+3i)-(2-5i)=(1-2)+(3+5)i=-1+8i z 1 − z 2 = ( 1 + 3 i ) − ( 2 − 5 i ) = ( 1 − 2 ) + ( 3 + 5 ) i = − 1 + 8 i z 1 z 2 = ( 1 + 3 i ) ( 2 − 5 i ) = 2 − 5 i + 6 i − 15 i 2 = 17 + i z_1z_2=(1+3i)(2-5i)=2-5i+6i-15i^2=17+i z 1 z 2 = ( 1 + 3 i ) ( 2 − 5 i ) = 2 − 5 i + 6 i − 15 i 2 = 17 + i z 1 z 2 = 1 + 3 i 2 − 5 i = ( 1 + 3 i ) ( 2 + 5 i ) ( 2 − 5 i ) ( 2 + 5 i ) = − 13 29 + 11 29 i \frac{z_1}{z_2}=\frac{1+3i}{2-5i}=\frac{(1+3i)(2+5i)}{(2-5i)(2+5i)}=-\frac{13}{29}+\frac{11}{29}i z 2 z 1 = 2 − 5 i 1 + 3 i = ( 2 − 5 i ) ( 2 + 5 i ) ( 1 + 3 i ) ( 2 + 5 i ) = − 29 13 + 29 11 i z 1 3 = ( 1 + 3 i ) 3 = ( − 8 + 6 i ) ( 1 + 3 i ) = − 26 − 18 i {z_1}^3=(1+3i)^3=(-8+6i)(1+3i)=-26-18i z 1 3 = ( 1 + 3 i ) 3 = ( − 8 + 6 i ) ( 1 + 3 i ) = − 26 − 18 i z 2 − 1 = 1 z 2 = 1 2 − 5 i = 2 + 5 i ( 2 − 5 i ) ( 2 + 5 i ) = 2 29 + 5 29 i {z_2}^{-1}=\frac{1}{z_2}=\frac{1}{2-5i}=\frac{2+5i}{(2-5i)(2+5i)}=\frac{2}{29}+\frac{5}{29}i z 2 − 1 = z 2 1 = 2 − 5 i 1 = ( 2 − 5 i ) ( 2 + 5 i ) 2 + 5 i = 29 2 + 29 5 i 在初中阶段，我们学习了 直角坐标系 （笛卡尔坐标系），这是最常用的坐标系。
通过 x x x y y y A A A
A ( x , y ) A(x,y) A ( x , y ) 我们还可以用 极径 r r r 极角 θ \theta θ A A A 极坐标系 。
A ( r , θ ) A(r,\theta) A ( r , θ ) 假设点 A A A A ( x , y ) A(x,y) A ( x , y ) A ( r , θ ) A(r,\theta) A ( r , θ )
从 极坐标系 转换到 直角坐标系 可以使用
x = r cos θ , y = r sin θ x=r\cos\theta,y=r\sin\theta x = r cos θ , y = r sin θ 单位圆上辐角为 θ \theta θ B B B B ( cos θ , sin θ ) B(\cos\theta,\sin\theta) B ( cos θ , sin θ ) r r r A ( r cos θ , r sin θ ) A(r\cos\theta,r\sin\theta) A ( r cos θ , r sin θ )
从 直角坐标系 转换到 极坐标系 时，极径 r r r 距离公式 ：
r = x 2 + y 2 r=\sqrt{x^2+y^2} r = x 2 + y 2 但 极角 θ \theta θ
我们知道，极角的 正切值 tan θ \tan\theta tan θ 纵坐标 y y y 横坐标 x x x
tan θ = y x \tan\theta=\frac{y}{x} tan θ = x y 因此极角可以通过 反三角函数 来确定。
θ = arctan y x \xcancel{\theta=\arctan\frac{y}{x}} θ = arctan x y 但直接使用反三角函数会遇到很多问题，例如定义域与值域限制。
为了解决这些问题，数学家通常引入一个改进的分段函数 atan2 \operatorname{atan2} atan2
θ = atan2 ( y , x ) = { arctan ( y x ) x > 0 arctan ( y x ) + π x < 0 , y ≥ 0 arctan ( y x ) − π x < 0 , y < 0 + π 2 x = 0 , y > 0 − π 2 x = 0 , y < 0 undefine x = 0 , y = 0 \theta=\operatorname{atan2}(y,x)=
\begin{cases}
\arctan\left(\frac{y}{x}\right) & x>0 \\
\arctan\left(\frac{y}{x}\right)+\pi & x<0,y\geq 0 \\
\arctan\left(\frac{y}{x}\right)-\pi & x<0,y<0 \\
+\frac{\pi}{2} & x=0,y>0 \\
-\frac{\pi}{2} & x=0,y<0 \\
\text{undefine} & x=0,y=0
\end{cases} θ = atan2 ( y , x ) = ⎩ ⎨ ⎧ arctan ( x y ) arctan ( x y ) + π arctan ( x y ) − π + 2 π − 2 π undefine x > 0 x < 0 , y ≥ 0 x < 0 , y < 0 x = 0 , y > 0 x = 0 , y < 0 x = 0 , y = 0 这个并不重要，简单了解一下即可。
回到复数，我们知道每个复数 z = a + b i z=a+bi z = a + bi Z ( a , b ) Z(a,b) Z ( a , b )
而复数还可以用 模长 和 辐角 表示，正好对应了极坐标系的 极径 和 极角 。
因此，点 Z Z Z
Z ( a , b ) ⟺ Z ( r cos θ , r sin θ ) Z(a,b)\iff Z(r\cos\theta,r\sin\theta) Z ( a , b ) ⟺ Z ( r cos θ , r sin θ ) a = r cos θ , b = r sin θ a=r\cos\theta,b=r\sin\theta a = r cos θ , b = r sin θ 在复平面中，点 Z Z Z
z = a + b i = r cos θ + i r sin θ = r ( cos θ + i sin θ ) z=a+bi=r\cos\theta+ir\sin\theta=r(\cos\theta+i\sin\theta) z = a + bi = r cos θ + i r sin θ = r ( cos θ + i sin θ ) 其中 r ( cos θ + i sin θ ) r(\cos\theta+i\sin\theta) r ( cos θ + i sin θ ) z z z 三角表示式 （三角形式），而 a + b i a+bi a + bi 代数表示式 （代数形式）。
进一步地，数学家
cos θ + i sin θ = e i θ \cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta} cos θ + i sin θ = e i θ 因此，复数的极坐标形式可以进一步简化为：
z = r ( cos θ + i sin θ ) = r e i θ z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta} z = r ( cos θ + i sin θ ) = r e i θ 这就是著名的
类似于实数扩展到复数，复数还可以扩展为
h = a + b i + c j + d k h=a+bi+cj+dk h = a + bi + c j + d k
