矩阵

参考资料

• 矩阵 - OI Wiki

例题

洛谷 P3390 【模板】矩阵快速幂

给定 $n\times n$ 的矩阵 $A$，求 $A^k$。

代码（1）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ll=long long;
const int mod=1000000007;
const int N=105;
struct Mat
{
	int n;
	ll a[N][N];
	Mat(){memset(a,0,sizeof a);n=0;}
	Mat operator*(const Mat &rhs) const
	{
		Mat res;
		res.n=n;
		for(int i=0;i<n;i++)
		{
			for(int j=0;j<n;j++)
			{
				for(int k=0;k<n;k++)
				{
					res.a[i][j]=(res.a[i][j]+a[i][k]*rhs.a[k][j])%mod;
				}
			}
		}
		return res;
	}
	Mat operator^(ll rhs) const
	{
		Mat res,tmp=*this;
		res.n=n;
		for(int i=0;i<n;i++)res.a[i][i]=1;
		while(rhs)
		{
			if(rhs&1)res=res*tmp;
			tmp=tmp*tmp;
			rhs>>=1;
		}
		return res;
	}
};
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	ll k;
	Mat mat;
	cin>>mat.n>>k;
	for(int i=0;i<mat.n;i++)
	{
		for(int j=0;j<mat.n;j++)
		{
			cin>>mat.a[i][j];
		}
	}
	mat=mat^k;
	for(int i=0;i<mat.n;i++)
	{
		for(int j=0;j<mat.n;j++)
		{
			cout<<mat.a[i][j]<<' ';
		}
		cout<<'\n';
	}
	return 0;
}

洛谷 P1939 矩阵加速（数列）

已知一个数列 $a$，它满足：

$$a_x= \begin{cases} 1 & x \in\set{1,2,3} \\ a_{x-1}+a_{x-3} & x \geq 4 \end{cases}$$

求 $a$ 数列的第 $n$ 项对 $10^9+7$ 取余的值。

代码（1）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ll=long long;
const int mod=1e9+7;
const int N=3;
struct Mat
{
	ll a[N][N];
	Mat(){memset(a,0,sizeof a);}
	Mat operator*(const Mat &rhs) const
	{
		Mat res;
		for(int i=0;i<N;i++)
		{
			for(int j=0;j<N;j++)
			{
				for(int k=0;k<N;k++)
				{
					res.a[i][j]=(res.a[i][j]+a[i][k]*rhs.a[k][j])%mod;
				}
			}
		}
		return res;
	}
	Mat operator^(ll rhs) const
	{
		Mat res,tmp=*this;
		for(int i=0;i<N;i++)res.a[i][i]=1;
		while(rhs)
		{
			if(rhs&1)res=res*tmp;
			tmp=tmp*tmp;
			rhs>>=1;
		}
		return res;
	}
};
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	int T;
	cin>>T;
	while(T--)
	{
		ll n;
		cin>>n;
		Mat mat;
		mat.a[0][0]=1;mat.a[0][1]=0;mat.a[0][2]=1;
		mat.a[1][0]=1;mat.a[1][1]=0;mat.a[1][2]=0;
		mat.a[2][0]=0;mat.a[2][1]=1;mat.a[2][2]=0;
		mat=mat^n-1;
		cout<<mat.a[0][0]<<'\n';
	}
	return 0;
}

洛谷 P1962 斐波那契数列

大家都知道，斐波那契数列是满足如下性质的一个数列：

$$F_n=\left\{ \begin{aligned} 1\space (n\le 2) \\ F_{n-1}+F_{n-2}\space(n\ge 3) \end{aligned}\right.$$

请你求出 $F_n\bmod 10^9+7$ 的值。

代码（1）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ll=long long;
const int mod=1e9+7;
const int N=2;
struct Mat
{
	ll a[N][N];
	Mat(){memset(a,0,sizeof a);}
	Mat operator*(const Mat &rhs) const
	{
		Mat res;
		for(int i=0;i<N;i++)
		{
			for(int j=0;j<N;j++)
			{
				for(int k=0;k<N;k++)
				{
					res.a[i][j]=(res.a[i][j]+a[i][k]*rhs.a[k][j])%mod;
				}
			}
		}
		return res;
	}
	Mat operator^(ll rhs) const
	{
		Mat res,tmp=*this;
		for(int i=0;i<N;i++)res.a[i][i]=1;
		while(rhs)
		{
			if(rhs&1)res=res*tmp;
			tmp=tmp*tmp;
			rhs>>=1;
		}
		return res;
	}
};
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	ll n;
	cin>>n;
	Mat mat;
	mat.a[0][0]=1;mat.a[0][1]=1;
	mat.a[1][0]=1;mat.a[1][1]=0;
	mat=mat^n-1;
	cout<<mat.a[0][0]<<'\n';
	return 0;
}

洛谷 P1349 广义斐波那契数列

广义的斐波那契数列是指形如 $a_n=p\times a_{n-1}+q\times a_{n-2}$ 的数列。

今给定数列的两系数 $p$ 和 $q$，以及数列的最前两项 $a_1$ 和 $a_2$，另给出两个整数 $n$ 和 $m$，试求数列的第 $n$ 项 $a_n$ 对 $m$ 取模后的结果。

代码（1）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=2;
ll a1,a2,mod;
struct Mat
{
	ll a[N][N];
	Mat(){memset(a,0,sizeof a);}
	Mat operator*(const Mat &rhs) const
	{
		Mat res;
		for(int i=0;i<N;i++)
		{
			for(int j=0;j<N;j++)
			{
				for(int k=0;k<N;k++)
				{
					res.a[i][j]=(res.a[i][j]+a[i][k]*rhs.a[k][j])%mod;
				}
			}
		}
		return res;
	}
	Mat operator^(ll rhs) const
	{
		Mat res,tmp=*this;
		res.a[0][0]=a2;res.a[0][1]=a1;
		res.a[1][0]=0;res.a[1][1]=0;
		while(rhs)
		{
			if(rhs&1)res=res*tmp;
			tmp=tmp*tmp;
			rhs>>=1;
		}
		return res;
	}
};
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	ll p,q,n;
	cin>>p>>q>>a1>>a2>>n>>mod;
	if(n==1){cout<<a1<<'\n';return 0;}
	if(n==2){cout<<a2<<'\n';return 0;}
	Mat mat;
	mat.a[0][0]=p;mat.a[0][1]=1;
	mat.a[1][0]=q;mat.a[1][1]=0;
	mat=mat^n-2;
	cout<<mat.a[0][0]%mod<<'\n';
	return 0;
}

洛谷 P1306 斐波那契公约数

对于 Fibonacci 数列：

$$f_i= \begin{cases} [i=1] & i\leq 1 \\ f_{i-1}+f_{i-2} & i\gt 1 \end{cases}$$

请求出 $f_n$ 与 $f_m$ 的最大公约数，即 $\gcd(f_n,f_m)$。

代码（1）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ll=long long;
const int mod=100000000;
const int N=2;
struct Mat
{
	ll a[N][N];
	Mat(){memset(a,0,sizeof a);}
	Mat operator*(const Mat &rhs) const
	{
		Mat res;
		for(int i=0;i<N;i++)
		{
			for(int j=0;j<N;j++)
			{
				for(int k=0;k<N;k++)
				{
					res.a[i][j]=(res.a[i][j]+a[i][k]*rhs.a[k][j])%mod;
				}
			}
		}
		return res;
	}
	Mat operator^(ll rhs) const
	{
		Mat res,tmp=*this;
		for(int i=0;i<N;i++)res.a[i][i]=1;
		while(rhs)
		{
			if(rhs&1)res=res*tmp;
			tmp=tmp*tmp;
			rhs>>=1;
		}
		return res;
	}
};
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	ll n,m;
	cin>>n>>m;
	Mat mat;
	mat.a[0][0]=1;mat.a[0][1]=1;
	mat.a[1][0]=1;mat.a[1][1]=0;
	mat=mat^__gcd(n,m)-1;
	cout<<mat.a[0][0]<<'\n';
	return 0;
}