树链剖分

参考资料

树链剖分 - OI Wiki

实现

vector<int> G[N];
int fa[N],son[N],siz[N],dep[N];
int top[N],dfn[N],rnk[N],out[N];
int cnt=0;
void dfs1(int u)
{
	siz[u]=1;
	dep[u]=dep[fa[u]]+1;
	for(auto v:G[u])
	{
		if(v==fa[u])continue;
		fa[v]=u;
		dfs1(v);
		siz[u]+=siz[v];
		if(siz[v]>siz[son[u]])son[u]=v;
	}
}
void dfs2(int u,int t)
{
	top[u]=t;
	dfn[u]=++cnt;
	rnk[cnt]=u;
	if(son[u])dfs2(son[u],t);
	for(auto v:G[u])
	{
		if(v==fa[u]||v==son[u])continue;
		dfs2(v,v);
	}
	out[u]=cnt;
}

应用

详见最近公共祖先。

例题

洛谷 P3384 【模板】重链剖分/树链剖分

给定一棵 $n$ 个结点的树，每个节点上包含一个数值，支持以下操作：

1 x y z：表示将树从 $x$ 到 $y$ 结点最短路径上所有节点的值都加上 $z$ 。
2 x y：表示求树从 $x$ 到 $y$ 结点最短路径上所有节点的值之和。
3 x z：表示将以 $x$ 为根节点的子树内所有节点值都加上 $z$ 。
4 x：表示求以 $x$ 为根节点的子树内所有节点值之和。

代码（1）

#include <bits/stdc++.h>
#define ls (u<<1)
#define rs (u<<1|1)
#define mid (l+r>>1)
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=100005;
vector<int> G[N];
int fa[N],son[N],siz[N],dep[N];
int top[N],dfn[N],rnk[N],out[N];
int mod,cnt=0;
void dfs1(int u)
{
	siz[u]=1;
	dep[u]=dep[fa[u]]+1;
	for(auto v:G[u])
	{
		if(v==fa[u])continue;
		fa[v]=u;
		dfs1(v);
		siz[u]+=siz[v];
		if(siz[v]>siz[son[u]])son[u]=v;
	}
}
void dfs2(int u,int t)
{
	top[u]=t;
	dfn[u]=++cnt;
	rnk[cnt]=u;
	if(son[u])dfs2(son[u],t);
	for(auto v:G[u])
	{
		if(v==fa[u]||v==son[u])continue;
		dfs2(v,v);
	}
	out[u]=cnt;
}
ll a[N],val[N<<2],tag[N<<2];
void gx(int u,ll v,int len)
{
	val[u]=(val[u]+v*len%mod)%mod;
	tag[u]=(tag[u]+v)%mod;
}
void push_up(int u)
{
	val[u]=(val[ls]+val[rs])%mod;
}
void push_down(int u,int l,int r)
{
	gx(ls,tag[u],mid-l+1);
	gx(rs,tag[u],r-mid);
	tag[u]=0;
}
void build(int u,int l,int r)
{
	if(l==r){val[u]=a[rnk[l]]%mod;return;}
	build(ls,l,mid);
	build(rs,mid+1,r);
	push_up(u);
}
void update(int u,int l,int r,int x,int y,ll v)
{
	if(x<=l&&r<=y){gx(u,v,r-l+1);return;}
	push_down(u,l,r);
	if(x<=mid)update(ls,l,mid,x,y,v);
	if(y>mid)update(rs,mid+1,r,x,y,v);
	push_up(u);
}
ll query(int u,int l,int r,int x,int y)
{
	if(x<=l&&r<=y)return val[u]%mod;
	push_down(u,l,r);
	ll res=0;
	if(x<=mid)res=(res+query(ls,l,mid,x,y))%mod;
	if(y>mid)res=(res+query(rs,mid+1,r,x,y))%mod;
	return res;
}
void update_path(int n,int x,int y,ll v)
{
	while(top[x]!=top[y])
	{
		if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
		update(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x],v);
		x=fa[top[x]];
	}
	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
	update(1,1,n,dfn[y],dfn[x],v);
}
ll query_path(int n,int x,int y)
{
	ll res=0;
	while(top[x]!=top[y])
	{
		if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
		res=(res+query(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]))%mod;
		x=fa[top[x]];
	}
	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
	res=(res+query(1,1,n,dfn[y],dfn[x]))%mod;
	return res;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	int n,m,r;
	cin>>n>>m>>r>>mod;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
	}
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		G[u].push_back(v);
		G[v].push_back(u);
	}
	dfs1(r);
	dfs2(r,r);
	build(1,1,n);
	while(m--)
	{
		int op,x,y;
		ll z;
		cin>>op;
		if(op==1)
		{
			cin>>x>>y>>z;
			update_path(n,x,y,z);
		}
		else if(op==2)
		{
			cin>>x>>y;
			cout<<query_path(n,x,y)<<'\n';
		}
		else if(op==3)
		{
			cin>>x>>z;
			update(1,1,n,dfn[x],out[x],z);
		}
		else if(op==4)
		{
			cin>>x;
			cout<<query(1,1,n,dfn[x],out[x])<<'\n';
		}
	}
	return 0;
}

洛谷 P5903 【模板】树上 K 级祖先

给定一棵 $n$ 个点的有根树。

有 $q$ 次询问，第 $i$ 次询问给定 $x_i, k_i$ ，要求点 $x_i$ 的 $k_i$ 级祖先，答案为 $ans_i$ 。特别地， $ans_0 = 0$ 。

代码（1）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ll=long long;
using uint=unsigned int;
const int N=500005;
vector<int> G[N];
int fa[N],son[N],siz[N],dep[N];
int top[N],dfn[N],rnk[N],out[N];
int cnt=0;
void dfs1(int u)
{
	siz[u]=1;
	dep[u]=dep[fa[u]]+1;
	for(auto v:G[u])
	{
		fa[v]=u;
		dfs1(v);
		siz[u]+=siz[v];
		if(siz[v]>siz[son[u]])son[u]=v;
	}
}
void dfs2(int u,int t)
{
	top[u]=t;
	dfn[u]=++cnt;
	rnk[cnt]=u;
	if(son[u])dfs2(son[u],t);
	for(auto v:G[u])
	{
		if(v==fa[u]||v==son[u])continue;
		dfs2(v,v);
	}
	out[u]=cnt;
}
int query(int u,int k)
{
	while(dep[u]-dep[top[u]]<k)
	{
		k-=dep[u]-dep[top[u]]+1;
		u=fa[top[u]];
	}
	return rnk[dfn[u]-k];
}
uint s;
inline uint get(uint x)
{
	x^=x<<13;
	x^=x>>17;
	x^=x<<5;
	return s=x;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	int n,q;
	cin>>n>>q>>s;
	int r;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int f;
		cin>>f;
		if(f==0){r=i;continue;}
		G[f].push_back(i);
	}
	dfs1(r);
	dfs2(r,r);
	ll ans=0,last=0;
	for(int i=1;i<=q;i++)
	{
		int x=(get(s)^last)%n+1,k=(get(s)^last)%dep[x];
		last=query(x,k);
		ans^=i*last;
	}
	cout<<ans<<'\n';
	return 0;
}

洛谷 P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。

代码（2）

倍增
树链剖分

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=500005;
int a[N][25],dep[N];
vector<int> G[N];
bool vis[N];
void dfs(int u,int fa)
{
	a[u][0]=fa;
	for(int i=1;i<=20;i++)a[u][i]=a[a[u][i-1]][i-1];
	dep[u]=dep[fa]+1;
	for(auto v:G[u])if(v!=fa)dfs(v,u);
}
int lca(int u,int v)
{
	if(dep[u]<dep[v])swap(u,v);
	for(int i=20;i>=0;i--)
	{
		if(dep[a[u][i]]>=dep[v])u=a[u][i];
	}
	if(u==v)return u;
	for(int i=20;i>=0;i--)
	{
		if(a[u][i]!=a[v][i])
		{
			u=a[u][i];
			v=a[v][i];
		}
	}
	return a[u][0];
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	int n,m,s;
	cin>>n>>m>>s;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		G[u].push_back(v);
		G[v].push_back(u);
	}
	dfs(s,0);
	while(m--)
	{
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		cout<<lca(u,v)<<'\n';
	}
	return 0;
}

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=500005;
vector<int> G[N];
int fa[N],son[N],siz[N],dep[N],top[N];
void dfs1(int u)
{
	siz[u]=1;
	dep[u]=dep[fa[u]]+1;
	for(auto v:G[u])
	{
		if(v==fa[u])continue;
		fa[v]=u;
		dfs1(v);
		siz[u]+=siz[v];
		if(siz[v]>siz[son[u]])son[u]=v;
	}
}
void dfs2(int u,int t)
{
	top[u]=t;
	if(son[u])dfs2(son[u],t);
	for(auto v:G[u])
	{
		if(v==fa[u]||v==son[u])continue;
		dfs2(v,v);
	}
}
int lca(int u,int v)
{
	while(top[u]!=top[v])
	{
		if(dep[top[u]]<dep[top[v]])swap(u,v);
		u=fa[top[u]];
	}
	return dep[u]<dep[v]?u:v;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	int n,m,s;
	cin>>n>>m>>s;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		G[u].push_back(v);
		G[v].push_back(u);
	}
	dfs1(s);
	dfs2(s,s);
	while(m--)
	{
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		cout<<lca(u,v)<<'\n';
	}
	return 0;
}

洛谷 P2590 [ZJOI2008] 树的统计

一棵树上有 $n$ 个节点，每个节点都有一个权值 $w_i$ ，支持以下操作：

CHANGE u t：把结点 $u$ 的权值改为 $t$ 。
QMAX u v：询问从点 $u$ 到点 $v$ 的路径上的节点的最大权值。
QSUM u v：询问从点 $u$ 到点 $v$ 的路径上的节点的权值和。

代码（1）

#include <bits/stdc++.h>
#define ls (u<<1)
#define rs (u<<1|1)
#define mid (l+r>>1)
using namespace std;

const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=30005;
vector<int> G[N];
int fa[N],son[N],siz[N],dep[N];
int top[N],dfn[N],rnk[N],out[N];
int cnt=0;
void dfs1(int u)
{
	siz[u]=1;
	dep[u]=dep[fa[u]]+1;
	for(auto v:G[u])
	{
		if(v==fa[u])continue;
		fa[v]=u;
		dfs1(v);
		siz[u]+=siz[v];
		if(siz[v]>siz[son[u]])son[u]=v;
	}
}
void dfs2(int u,int t)
{
	top[u]=t;
	dfn[u]=++cnt;
	rnk[cnt]=u;
	if(son[u])dfs2(son[u],t);
	for(auto v:G[u])
	{
		if(v==fa[u]||v==son[u])continue;
		dfs2(v,v);
	}
	out[u]=cnt;
}
int a[N],val[N<<2],mx[N<<2];
void push_up(int u)
{
	val[u]=val[ls]+val[rs];
	mx[u]=max(mx[ls],mx[rs]);
}
void build(int u,int l,int r)
{
	if(l==r){val[u]=mx[u]=a[rnk[l]];return;}
	build(ls,l,mid);
	build(rs,mid+1,r);
	push_up(u);
}
void update(int u,int l,int r,int x,int v)
{
	if(l==r){val[u]=mx[u]=v;return;}
	if(x<=mid)update(ls,l,mid,x,v);
	else update(rs,mid+1,r,x,v);
	push_up(u);
}
int query_max(int u,int l,int r,int x,int y)
{
	if(x<=l&&r<=y)return mx[u];
	int res=-inf;
	if(x<=mid)res=max(res,query_max(ls,l,mid,x,y));
	if(y>mid)res=max(res,query_max(rs,mid+1,r,x,y));
	return res;
}
int query_sum(int u,int l,int r,int x,int y)
{
	if(x<=l&&r<=y)return val[u];
	int res=0;
	if(x<=mid)res+=query_sum(ls,l,mid,x,y);
	if(y>mid)res+=query_sum(rs,mid+1,r,x,y);
	return res;
}
int query_path_max(int x,int y,int n)
{
	int res=-inf;
	while(top[x]!=top[y])
	{
		if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
		res=max(res,query_max(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]));
		x=fa[top[x]];
	}
	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
	res=max(res,query_max(1,1,n,dfn[y],dfn[x]));
	return res;
}
int query_path_sum(int x,int y,int n)
{
	int res=0;
	while(top[x]!=top[y])
	{
		if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
		res+=query_sum(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]);
		x=fa[top[x]];
	}
	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
	res+=query_sum(1,1,n,dfn[y],dfn[x]);
	return res;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		G[u].push_back(v);
		G[v].push_back(u);
	}
	dfs1(1);
	dfs2(1,1);
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	build(1,1,n);
	int m;
	cin>>m;
	while(m--)
	{
		string op;
		int u,v;
		cin>>op>>u>>v;
		if(op=="CHANGE")update(1,1,n,dfn[u],v);
		else if(op=="QMAX")cout<<query_path_max(u,v,n)<<'\n';
		else if(op=="QSUM")cout<<query_path_sum(u,v,n)<<'\n';
	}
	return 0;
}

参考资料​

实现​

应用​

例题​

洛谷 P3384 【模板】重链剖分/树链剖分​

洛谷 P5903 【模板】树上 K 级祖先​

洛谷 P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）​

洛谷 P2590 [ZJOI2008] 树的统计​

参考资料

实现

应用

例题

洛谷 P3384 【模板】重链剖分/树链剖分

洛谷 P5903 【模板】树上 K 级祖先

洛谷 P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

洛谷 P2590 [ZJOI2008] 树的统计