数学：泰勒展开

泰勒展开是一种用多项式近似函数的方法，在数学分析和计算中都有重要应用。它可以把复杂函数转化为易于计算的多项式，是计算机求值如 $\sin x$、$e^x$ 等函数的基础。本文将通过例子介绍泰勒展开的原理、推导和常见形式。

参考资料

• 泰勒公式 - 维基百科
• 如何理解泰勒展开？它有何用途？高中生也能听懂的泰勒展开式 - bilibili

作用

泰勒公式的核心思想：用一个多项式在某点附近逼近原函数的局部行为。

许多函数 $f(x)$ 难以直接求值，而多项式计算效率高，形式简洁。

我们通过构造多项式 $g(x)$，使其在某点附近尽可能接近 $f(x)$，从而实现函数的近似计算。

提示

大多数常见函数的泰勒展开是无穷项级数，其和在收敛区域内趋近于原函数。

实际应用中只需取前几项，就能获得足够精度，这正是计算机处理 $\sin x$、$e^x$ 等函数的基本方式。

麦克劳林公式

麦克劳林公式是泰勒公式在 $x_0=0$ 处的特殊情况。

在多数应用中，麦克劳林公式已经足够使用，因为很多函数在 $x=0$ 附近展开最为简洁、对称性好，计算方便。

推导

原理

我们通过一个例子来直观理解。假设要用多项式函数 $g(x)$ 近似指数函数 $f(x)=e^x$。设 $g(x)$ 为：

$$g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+\cdots$$

我们的目标是确定每一项的系数 $a_n$，使得 $g(x)$ 与 $f(x)$ 完全一致。

要做到这一点，必须满足两者的 任何阶导数都要相同，即：

$$f^{(n)}(x)=g^{(n)}(x)(n\in\mathbb{N})$$

过程

第一步

$f(x)$ 和 $g(x)$ 的 零阶导数（即原函数）相同：

$$f(x)=e^x=g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+\cdots$$

代入 $x=0$ 得：

$$f(0)=e^0=g(0)=a_0=1$$

因此：

$$a_0=1$$

第二步

$f(x)$ 和 $g(x)$ 的 一阶导数 相同：

$$f'(x)=e^x=g'(x)=0+a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+\cdots$$

代入 $x=0$ 得：

$$f'(0)=e^0=g'(0)=a_1=1$$

因此：

$$a_1=1$$

第三步

$f(x)$ 和 $g(x)$ 的 二阶导数 相同：

$$f^{(2)}(x)=e^x=g^{(2)}(x)=0+0+2a_2+6a_3x+12a_4x^2+\cdots$$

代入 $x=0$ 得：

$$f^{(2)}(0)=e^0=g^{(2)}(0)=2a_2=1$$

因此：

$$a_2=\frac{1}{2}$$

第四步

$f(x)$ 和 $g(x)$ 的 三阶导数 相同：

$$f^{(3)}(x)=e^x=g^{(3)}(x)=0+0+0+6a_3+24a_4x+\cdots$$

代入 $x=0$ 得：

$$f^{(3)}(0)=e^0=g^{(3)}(0)=6a_3=1$$

因此：

$$a_3=\frac{1}{6}$$

找规律

以此类推不难发现：

$f(x)$ 和 $g(x)$ 的 $n$ 阶导数相同：

$$f^{(n)}(x)=e^x=g^{(n)}(x)=n! a_{n}+x(\cdots)$$

代入 $x=0$ 得：

$$f^{(n)}(0)=e^0=g^{(n)}(0)=n! a_{n}=1$$

因此：

$$a_n=\frac{1}{n!}$$

总结

将 $a_n$ 代入得：

$$g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$

因此，$f(x)=e^x$ 的麦克劳林公式为：

$$f(x)=e^x=g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$$

更一般的麦克劳林公式为：

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=f(0)+f'(0)x+\frac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots$$

例题

正弦函数

求 $\sin x$ 的麦克劳林展开。

设 $f(x)=\sin x$.

它的导数每四阶循环一次：

$$(\sin x)'=\cos{x} \Rightarrow (\cos{x})'=-\sin x \Rightarrow (-\sin x)'=-\cos{x} \Rightarrow (-\cos{x})'=\sin x$$

代入麦克劳林公式：

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\cdots$$

因此，$\sin x$ 的麦克劳林公式为：

$$\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

如希望展示误差项，也可写成：

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^6)$$

适用范围

并非所有函数在任意点都可以展开为泰勒级数并等于原函数。

例如 $f(x)=e^{-1/x^2}$ 在 $x=0$ 处所有导数都为 $0$，但函数本身不为 $0$。

因此，泰勒展开的前提是函数足够光滑，且在该点 可解析。

常用公式

$$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$ $$\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ $$\cos{x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$