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P3788 幽幽子吃西瓜

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解题思路​

这是一道初中数学题。

由于只考虑比例，不妨设每个截面半圆的面积为 11。整个图形关于视线左右对称，因此左右两半可以分别计算。

设 s(x)s(x) 表示角度为 xx 的半圆的可视面积，即投影面积：

s(x)=cos⁡∣90∘−x∣=cos⁡(90∘−x)=sin⁡xs(x)=\cos\left|90^\circ-x\right|=\cos(90^\circ-x)=\sin x

其中代码中需要将角度转为弧度。

考虑一个半圆内的情况，即 0≤a,b≤1800\le a,b\le 180。左右两侧的边界分别可以表示为 aa 和 180−b180-b。

定义函数 f(a,b)f(a,b) 计算一个半圆对 sum 和 red 的贡献。

若 a≤ba\le b，表示切去中间一段。总可见面积为：

s(min⁡(max⁡(a,180−b),90))s(\min(\max(a,180-b),90))

若 a<180−ba<180-b，红色可见，贡献为：

s(b)−s(a)s(b)-s(a)

否则红色被绿色瓜皮挡住，贡献为 00。

若 a>ba>b，表示切去的区间跨过正面方向。此时红色一定可见，总可见面积为：

s(min⁡(min⁡(a,180−b),90))s(\min(\min(a,180-b),90))

红色面积为：

s(b)s(b)

于是得到核心函数：

157 Bcpp
void f(int a,int b)
{
	if(a<=b)
	{
		sum+=s(min(max(a,180-b),90));
		if(a<180-b)red+=s(b)-s(a);
	}
	else
	{
		sum+=s(min(min(a,180-b),90));
		red+=s(b);
	}
}

接下来只需要把整圆按 180∘180^\circ 分成两个半圆。后半圆通过：

x↦360∘−xx\mapsto 360^\circ-x

对称到前半圆处理。

若某个半圆没有被切到，则它完整可见，直接给 sum 加 11。

最后答案为：

redsum×100%\frac{red}{sum}\times 100\%

参考代码​

772 Bcpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const double pi=acos(-1);
double s(int x){return sin(x*pi/180);}
double sum=0,red=0;
void f(int a,int b)
{
	if(a<=b)
	{
		sum+=s(min(max(a,180-b),90));
		if(a<180-b)red+=s(b)-s(a);
	}
	else
	{
		sum+=s(min(min(a,180-b),90));
		red+=s(b);
	}
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	int T;
	cin>>T;
	while(T--)
	{
		int a,b;
		cin>>a>>b;
		sum=red=0;
		if(a<b)
		{
			if(a<180&&b<180){f(a,b);sum+=1;}
			else if(a<180&&b>=180){f(a,180);f(360-b,180);}
			else if(a>=180&&b>=180){f(360-b,360-a);sum+=1;}
		}
		else
		{
			if(a<180&&b<180)f(a,b);
			if(a>=180&&b<180){f(0,b);f(0,360-a);}
			else if(a>=180&&b>=180)f(360-b,360-a);
		}
		cout<<fixed<<setprecision(1)<<red*100/sum<<'%'<<'\n';
	}
	return 0;
}