求根公式

多项式方程的求根公式和推导过程。

参考资料

• 多项式 - 维基百科
• 500 years of NOT teaching THE CUBIC FORMULA. What is it they think you can't handle? - YouTube

约定

为便于理解，本文约定：

1. 所有的方程都是一元多项式方程，即只有一个未知数。
2. 在我看来“多项式”这个术语有些歧义：教科书中单项式与多项式统称为“整式”，多项式至少要有两项；但很多时候我们讨论多项式并不会刻意把只有一项的情形排除在外，换言之整式这个术语经常会被多项式给夺舍。

引入

在初中阶段，我们学习了二次方程的求根公式，但之后就没有再讲过高次方程的求根公式。

而 伽罗瓦理论 指出，对于一般五次以及五次以上的方程，不存在一般的代数解，即五次方程没有求根公式。

那么，三次方程和四次方程的求根公式是什么呢？它们是如何推导出来的？

基础知识

代数基本定理

代数基本定理

任何一个复系数多项式方程至少有一个复数根。（注意：实数也属于复数）

设 $f(x)$ 是 $n$ 次复系数多项式，根据代数基本定理，它至少有一个根 $x_1$。

因此根据 因式定理，$f(x)$ 可表示为：

$$f(x)=(x-x_1)g(x)$$

其中，$g(x)$ 是一个 $n-1$ 次复系数多项式。

反复使用这一拆分过程，最终可以将 $f(x)$ 完全因式分解为 $n$ 个一次多项式的乘积。

因此，该定理还有另外两种等价描述：

1. 任何一个 $n$ 次复系数多项式，都正好有 $n$ 个复数根（重根视为多个根）。
2. 任何一个 $n$ 次复系数多项式，都可以因式分解为 $n$ 个复系数一次多项式的乘积。

韦达定理

韦达定理 描述了 多项式方程 的 根 与 系数 之间的关系。

设多项式 $f(x)$ 的 $n-r$ 次项系数为 $a_{n-r}$，即：

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0= \sum_{r=0}^n x^{n-r}a_{n-r}$$

对于第二种等价描述，设 $f(x)$ 的 $n$ 个根分别为 $x_1,x_2,\dots,x_n$，则：

$$f(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)=0$$

代入任意根 $x_i$，均有 $f(x_i)=0$，方程显然成立。

通过这个定理可以轻松推导出 韦达定理。

将因式分解式展开：

$$\begin{aligned} f(x) &= a_n(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n) \\ &= x^n \cdot a_n \\ &+ x^{n-1} \cdot a_n (-x_1-x_2-\dots-x_n) \\ &+ x^{n-2} \cdot a_n (x_1x_2+x_1x_3+\dots+x_1x_n+x_2x_3+\dots+x_{n-1}x_n) \\ &+ \dots \\ &+ x^{n-r} \cdot a_n \left[\sum_{1\le i_1<i_2<\dots<i_{r-1}<i_r\le n}(-x_{i_1})(-x_{i_2})\dots(-x_{i_{r-1}})(-x_{i_r})\right] \\ &+ \dots \\ &+ a_n(-1)^n(x_1x_2\dots x_n) \\ &= \sum_{r=0}^n x^{n-r}a_n(-1)^r\left(\sum x_{i_1}x_{i_2}\dots x_{i_{r-1}}x_{i_r}\right) \end{aligned}$$

因为多项式每一项系数相等，整理得：

$$a_{n-r}=a_n(-1)^r\left(\sum x_{i_1}x_{i_2}\dots x_{i_{r-1}}x_{i_r}\right)$$

最终结论：

$$\sum x_{i_1}x_{i_2}\dots x_{i_{r-1}}x_{i_r}=(-1)^r\frac{a_{n-r}}{a_n}$$

这就是系数与根的对称关系，也就是韦达定理的内容。

一次方程

一般形式

$$ax+b=0\left(a \ne 0 \right)$$

推导过程

最高项归一

方程两边同时除以 $a$，使最高次项系数化为 $1$：

$$x+\frac{b}{a}=0\left(a \ne 0 \right)$$

整理

移项：

$$x=-\frac{b}{a}$$

求根公式

$$x=-\frac{b}{a}$$

二次方程

一般形式

$$ax^2+bx+c=0\left(a \ne 0 \right)$$

推导过程

最高项归一

方程两边同时除以 $a$，使最高次项系数化为 $1$：

$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$

思想

对于一般的二次方程，如果注意力涣散，很难瞪出求根公式。

但如果没有一次项：

$$x^2+t=0$$

解方程就变得非常容易：

$$x=\pm\sqrt{-t}$$

因此我们可以通过 换元法 消除一次项。

次高项归零

令：

$$x\gets x_0-\frac{b}{2a}$$

代入：

$$\left(x_0-\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{b}{a}\left(x_0-\frac{b}{2a}\right)+\frac{c}{a}=0$$

展开：

$$\left(x_0^2-\frac{bx_0}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\right)+\left(\frac{bx_0}{a}-\frac{b^2}{2 a^2}\right)+\frac{c}{a}=0$$

化简：

$$x_0^2+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}=0$$ $$x_0=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$$

还原：

$$x=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{b}{2a}$$

配方法

以上推导方法为 换元法，还可以使用 配方法 推导。

配方法

移项：

$$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

通过 配方法，使方程左边变为一个完全平方式。方程两边同时加上 $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$：

$$x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2$$

化简：

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$

将平方转化为开根：

$$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$$

移项：

$$x=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{b}{2a}$$

整理

解得：

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ $$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

求根公式

$$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

分类讨论

令判别式：

$$\Delta=b^2-4ac$$

若 $\Delta>0$，有两个不等实数根：

$$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$

若 $\Delta=0$，有两个相等实数根：

$$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$$

若 $\Delta<0$，有两个共轭复数根：

$$x_1=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}i,x_2=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}i$$

注意

根的判别式不适用于非实系数的二次方程。

三次方程

一般形式

$$ax^3+bx^2+cx+d=0\left(a \ne 0 \right)$$

推导过程

最高项归一

方程两边同时除以 $a$，使最高次项系数化为 $1$：

$$x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0$$

思想

二次方程求根公式推导的核心，在于如何通过配方把平方转化为开根。

但三次方程无法直接配方，要先用换元法消除二次项。

次高项归零

令：

$$x\gets x_0-\frac{b}{3a}$$

为什么是 $-\frac{b}{3a}$？

设三次函数：

$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$

待定系数法

设：

$$x\gets x_0+t$$

代入方程：

$$\left(x_0+t\right)^3+\frac{b}{a}\left(x_0+t\right)^2+\frac{c}{a}\left(x_0+t\right)+\frac{d}{a}=0$$

展开：

$$\left(x_0^3+3tx_0^2+3t^2x_0+t^3\right)+ \left(\frac{bx_0^2}{a}+\frac{2btx_0}{a}+\frac{bt^2}{a}\right)+ \left(\frac{cx_0}{a}+\frac{ct}{a}\right)+ \frac{d}{a}=0$$

化简：

$$x_0^3+\left(3t+\frac{b}{a}\right)x_0^2+\left(3t^2+\frac{2bt}{a}+\frac{c}{a}\right)x_0+\left(t^3+\frac{bt^2}{a}+\frac{ct}{a}+\frac{d}{a}\right)$$

要让二次项系数 $3t+\frac{b}{a}=0$，可以令：

$$t=-\frac{b}{3a}$$

求导法

求导，得到一个二次函数：

$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$

对于任意二次函数都是轴对称的，对称轴为：

$$x=-\frac{b}{3a}$$

因此任意三次函数都是中心对称的，对称中心为：

$$\left(-\frac{b}{3a},f\left(-\frac{b}{3a}\right)\right)$$

为了消除二次项，即 $-\frac{b}{3a}=0$，我们可以将函数平移 $-\frac{b}{3a}$，即：

$$x\gets x-\frac{b}{3a}$$

代入：

$$\left(x_0-\frac{b}{3a}\right)^3+\frac{b}{a}\left(x_0-\frac{b}{3a}\right)^2+\frac{c}{a}\left(x_0-\frac{b}{3a}\right)+\frac{d}{a}=0$$

展开：

$$x_0^3+\left(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2}\right)x_0+\left(\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}\right)=0$$

令：

$$p=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2},q=\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}$$

此时方程的最高次项系数为 $1$，并消除了二次项：

$$x_0^3+px_0+q=0$$

令 $x_0=u+v$，代入：

$$(u+v)^3+p(u+v)+q=0$$

展开：

$$u^3+v^3+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0$$ $$u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0$$

为了让它成立，可以令：

$$\begin{cases} u^3+v^3=-q \\ 3uv+p=0 \Rightarrow uv=-\frac{p}{3} \end{cases}$$

设 $U=u^3,V=v^3$，代入：

$$\begin{cases} U+V=-q \\ UV=(-\frac{p}{3})^3 \end{cases}$$

因此 $U$ 和 $V$ 是如下二次方程的两个根：

$$X^2+qX-\frac{p^3}{27}=0$$

解得：

$$U,V=X_1,X_2=\frac{-q\pm\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}}{2}=-\frac{q}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}$$

令：

$$U=-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}$$ $$V=-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}$$

还原：

$$u=\sqrt[3]{U}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}$$ $$v=\sqrt[3]{V}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}$$

解得：

$$x_0=u+v=\sqrt[3]{U}+\sqrt[3]{V}$$

还原：

$$x_1=u+v-\frac{b}{3a},x_2=\omega u+\omega^2 v-\frac{b}{3a},x_3=\omega^2 u+\omega v-\frac{b}{3a}$$

提示

由于 $u^3,v^3$ 是共轭复数，引入单位根 $\omega = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ 可得到其余两个复根。

求根公式

$$p=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2},q=\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}$$ $$u=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}},v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}$$ $$x_1=u+v-\frac{b}{3a},x_2=\omega u+\omega^2 v-\frac{b}{3a},x_3=\omega^2 u+\omega v-\frac{b}{3a}$$

分类讨论

根据 介值定理 三次方程至少有一个实数根：

介值定理：假设 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 为一连续函数。若一实数 $u$ 满足 $(f(a)-u)(f(b)-u)\le0$，则存在一实数 $c \in [a,b]$ 使得 $f(c)=u$。

令判别式：

$$\Delta=18abcd-4b^3d+b^2c^2-4ac^3-27a^2d^2$$

若 $\Delta>0$，有三个不相等实数根。

若 $\Delta=0$，有实数重根（即至少两个实根相等）。

若 $\Delta<0$，有一个实根和两个共轭复根。

四次方程

一般形式

$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\left(a \ne 0 \right)$$

推导过程

最高项归一

方程两边同时除以 $a$，使最高次项系数化为 $1$：

$$x^4+\frac{b}{a}x^3+\frac{c}{a}x^2+\frac{d}{a}x+\frac{e}{a}=0$$

次高项归零

同二次、三次方程，令：

$$x\gets x_0-\frac{b}{4a}$$

代入：

$$\left(x_0-\frac{b}{4a}\right)^4+\frac{b}{a}\left(x_0-\frac{b}{4a}\right)^3+\frac{c}{a}\left(x_0-\frac{b}{4a}\right)^2+\frac{d}{a}\left(x_0-\frac{b}{4a}\right)+\frac{e}{a}=0$$

展开：

$$x_0^4+\left(\frac{8ac-3b^2}{8a^2}\right)x_0^2+\left(\frac{b^3-4abc+8a^2d}{8a^3}\right)x_0+\frac{-3b^4+16ab^2c-64a^2bd+256a^3e}{256a^4}=0$$

令：

$$p=\frac{8ac-3b^2}{8a^2},q=\frac{b^3-4abc+8a^2d}{8a^3},r=\frac{-3b^4+16ab^2c-64a^2bd+256a^3e}{256a^4}$$

此时方程的最高次项系数为 $1$，并消除了三次项：

$$x_0^4+px_0^2+qx_0+r=0$$

五次及以上方程

伽罗瓦理论指出，对于一般五次以及五次以上的方程，不存在一般的代数解。

大多数五次方程的根无法通过加、减、乘、除和开方来表示。