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数学：与均值有关的定积分函数

概述

构造定积分之比 f(t)，把区间 a 到 b 上 x 的 t+1 次幂与 t 次幂的积分相除，化简为一个封闭表达式，且函数单调不减。代入不同的 t 值，可以统一得到调和、几何、对数、海伦、算术、质心六种平均数，并串成一条从 a 到 b 的大小链，从而把均值不等式推广到同一个框架下。

一些与均值有关的定积分函数。

参考资料​

函数​

设：

f(t)=∫abxt+1dx∫abxtdxf(t)=\frac{\int_a^b x^{t+1}\mathrm{d}x}{\int_a^b x^t\mathrm{d}x}

当 t≠−1∧t≠−2t\ne-1\land t\ne-2 时，可化简为：

f(t)=(t+1)(bt+2−at+2)(t+2)(bt+1−at+1)f(t)=\frac{(t+1)(b^{t+2}-a^{t+2})}{(t+2)(b^{t+1}-a^{t+1})}

显然，函数 f(t)f(t) 单调不减。

图像​

https://www.desmos.com/calculator/5gkcu5nq4c

均值​

该函数可以并推广 均值不等式。

0<a≤b0<a\le b a≤H(a,b)≤G(a,b)≤L(a,b)≤N(a,b)≤A(a,b)≤T(a,b)≤ba\le H(a,b)\le G(a,b)\le L(a,b)\le N(a,b)\le A(a,b)\le T(a,b)\le b

调和平均数​

H(a,b)=f(−3)=−2(b−1−a−1)−1(b−2−a−2)=2aba+b=21a+1bH(a,b)=f(-3)=\frac{-2(b^{-1}-a^{-1})}{-1(b^{-2}-a^{-2})}=\frac{2ab}{a+b}=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}

几何平均数​

G(a,b)=f(−1.5)=−0.5(b0.5−a0.5)0.5(b−0.5−a−0.5)=abG(a,b)=f(-1.5)=\frac{-0.5(b^{0.5}-a^{0.5})}{0.5(b^{-0.5}-a^{-0.5})}=\sqrt{ab}

对数平均数​

L(a,b)=f(−1)=∫abx0dx∫abx−1dx=b−aln⁡b−ln⁡aL(a,b)=f(-1)=\frac{\int_a^b x^0\mathrm{d}x}{\int_a^b x^{-1}\mathrm{d}x}=\frac{b-a}{\ln b-\ln a}

海伦平均数​

N(a,b)=f(−0.5)=0.5(b1.5−a1.5)1.5(b0.5−a0.5)=a+ab+b3N(a,b)=f(-0.5)=\frac{0.5(b^{1.5}-a^{1.5})}{1.5(b^{0.5}-a^{0.5})}=\frac{a+\sqrt{ab}+b}{3}

算术平均数​

A(a,b)=f(0)=1(b2−a2)2(b1−a1)=a+b2A(a,b)=f(0)=\frac{1(b^2-a^2)}{2(b^1-a^1)}=\frac{a+b}{2}

质心平均数​

T(a,b)=f(1)=2(b3−a3)3(b2−a2)=2(a2+ab+b2)3(a+b)T(a,b)=f(1)=\frac{2(b^3-a^3)}{3(b^2-a^2)}=\frac{2(a^2+ab+b^2)}{3(a+b)}
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