必修第三册

物理学考 / 选考笔记，对应人教版《必修第三册》，按专题整理。

第九章 静电场及其应用

电荷

两种电荷

• 自然界只有 正电荷 与 负电荷 两种。丝绸摩擦过的玻璃棒带正电，毛皮摩擦过的橡胶棒带负电；
• 同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引；
• 电荷量（Electric Charge）用 $Q$ 或 $q$ 表示，单位库仑 $(\text{C})$。电荷量只表示电荷多少，不表示方向。

起电方式

方式	原理	结果
摩擦起电	电子从一物体转移到另一物体	两物体带等量异种电荷
接触起电	电荷在导体间重新分配	相同大小的相同金属球平分总电荷
感应起电	电场使导体内电荷重新分布	近端带异种电荷、远端带同种电荷

三种方式的本质都是 电荷的转移，而非创造电荷。

电荷守恒定律

电荷守恒定律（Law of Conservation of Charge）：电荷既不会创生，也不会消灭，只能从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持不变。

自然界的电荷是量子化的。任何带电体的电荷量都是 元电荷 $e$ 的整数倍：

$$e=1.60\times 10^{-19}\ \text{C}$$

比值 $\frac{q}{m}$ 称为带电粒子的 比荷。电子的比荷约为 $1.76\times 10^{11}\ \text{C/kg}$。

库仑定律

内容

库仑定律（Coulomb's Law）：真空中两个 静止点电荷 之间的相互作用力，与它们电荷量的乘积成正比，与它们距离的二次方成反比，作用力方向沿两点电荷的连线。

$$F=k\frac{q_1 q_2}{r^2}$$

其中 静电力常量 $k=9.0\times 10^9\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$。

适用条件

• 两电荷都是 点电荷：带电体的大小与它们间距离相比可忽略；
• 处于 真空（空气中近似成立）；
• 两电荷相对 静止。

库仑力是一对作用力与反作用力，等大、反向、沿连线，同种电荷相斥、异种相吸。计算时先用绝对值求出 $F$ 的大小，方向再由电性判断，不把负号代入公式。

电场 电场强度

电场

电荷周围存在 电场（Electric Field），电荷间的相互作用通过电场发生。电场对放入其中的电荷有力的作用，这种力称为 电场力。

电场强度

放入电场中某点的检验电荷受到的电场力 $F$ 与它的电荷量 $q$ 的比值，称为该点的 电场强度（Electric Field Strength）：

$$E=\frac{F}{q}$$

单位为 $\text{N/C}$，也可写作 $\text{V/m}$。电场强度是 矢量，方向规定为 正电荷 在该点所受电场力的方向。

• $E$ 由电场本身决定，与检验电荷 $q$ 是否存在、电荷量多少无关；
• 已知某点 $E$，电荷 $q$ 受力 $F=qE$。正电荷受力与 $E$ 同向，负电荷反向。

点电荷的场强

由库仑定律与场强定义可得点电荷 $Q$ 在距离 $r$ 处产生的场强：

$$E=k\frac{Q}{r^2}$$

该式只适用于 点电荷 产生的电场，不适用于匀强电场等其他情形。多个点电荷共同产生的场强按 矢量叠加（平行四边形定则）求合场强。

电场线

电场线是为形象描述电场引入的 假想曲线，曲线上每点的切线方向即该点场强方向。

• 电场线从 正电荷（或无穷远）出发，终止于 负电荷（或无穷远），不闭合、不相交、不中断；
• 电场线的 疏密 表示场强大小：密处场强大，疏处场强小；
• 电场线不是电荷运动的轨迹。

电场类型	电场线特征
匀强电场	一系列 间隔相等的平行直线
正点电荷	由电荷出发向四周辐射的直线
负点电荷	从四周指向电荷的直线
等量异种电荷	从正电荷出发终止于负电荷，连线中点场强最强
等量同种电荷	连线中点场强为零

匀强电场：各点场强大小相等、方向相同的电场，如两平行带电金属板之间（边缘除外）的电场。

第十章 静电场中的能量

电场力做功 电势能

电场力做功的特点

在电场中移动电荷时电场力做功。电场力做功与路径无关，只与初、末位置有关——这一点与重力做功类似，说明静电力是保守力。

匀强电场中，沿电场方向移动电荷 $q$，位移在场强方向上的分量为 $d$，则电场力做功：

$$W=qEd$$

电势能

电荷在电场中具有的势能称为 电势能（Electric Potential Energy），用 $E_p$ 表示。电场力做功等于电势能的减少量：

$$W_{AB}=E_{pA}-E_{pB}$$

• 电场力做 正功，电势能 减小；做 负功，电势能 增大；
• 电势能是 相对量，通常取无穷远（或大地）处为零势能点。

电势 电势差

电势

电荷在电场中某点的电势能 $E_p$ 与其电荷量 $q$ 的比值，称为该点的 电势（Electric Potential）：

$$\varphi=\frac{E_p}{q}$$

单位为伏特 $(\text{V})$。电势是 标量，由电场本身决定，与检验电荷无关。

• 沿电场线方向，电势 逐渐降低；
• 正电荷在高电势处电势能大，负电荷在低电势处电势能大。

电势差

电场中两点 $A$、$B$ 电势之差，称为 $A$、$B$ 间的 电势差（电压）：

$$U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B$$

电荷 $q$ 从 $A$ 移到 $B$，电场力做功与电势差的关系：

$$W_{AB}=qU_{AB}$$

电势差是 标量，$U_{AB}=-U_{BA}$。电势差与零势能点的选取无关，是更常用的物理量。

物理量	符号	矢/标量	是否与检验电荷有关	是否与零点选取有关
电场强度	$E$	矢量	无关	——
电势能	$E_p$	标量	有关	有关
电势	$\varphi$	标量	无关	有关
电势差	$U$	标量	无关	无关

匀强电场中场强与电势差的关系

匀强电场中，沿电场方向相距 $d$ 的两点间电势差为 $U$，则：

$$E=\frac{U}{d}$$

这说明场强单位可写作 $\text{V/m}$，与 $\text{N/C}$ 等价。$d$ 是沿 电场方向 的距离，不是任意两点的距离。

电容器

电容器与电容

电容器（Capacitor）：由两个彼此绝缘又相互靠近的导体组成，能储存电荷与电能。给电容器充电即在两极板上积累等量异种电荷。

电容（Capacitance）：电容器所带电荷量 $Q$ 与两极板间电势差 $U$ 的比值，反映储存电荷的能力：

$$C=\frac{Q}{U}$$

单位为法拉 $(\text{F})$，常用 $\mu\text{F}$、$\text{pF}$：$1\ \text{F}=10^6\ \mu\text{F}=10^{12}\ \text{pF}$。电容由电容器本身决定，与 $Q$、$U$ 无关。

平行板电容器

平行板电容器的电容由几何与介质决定：

$$C=\frac{\varepsilon_r S}{4\pi kd}$$

其中 $S$ 为正对面积，$d$ 为板间距，$\varepsilon_r$ 为介质的相对介电常数。正对面积越大、板间距越小、介质相对介电常数越大，电容越大。

动态分析分两种情形：

• 保持连接电源（$U$ 不变）：改变 $d$、$S$ 时 $C$ 变，$Q=CU$ 随 $C$ 变，板间场强 $E=\frac{U}{d}$；
• 充电后断开电源（$Q$ 不变）：改变 $d$、$S$ 时 $C$ 变，$U=\frac{Q}{C}$ 随之变，而场强 $E=\frac{U}{d}=\frac{Q}{Cd}$，代入平行板电容式可知 $E$ 只与 $Q$、$S$ 有关，与 $d$ 无关。

带电粒子在电场中的运动

加速

带电粒子由静止经电压 $U$ 加速，电场力做功转化为动能，由动能定理：

$$qU=\frac{1}{2}mv^2$$

解出末速度 $v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$。此式对匀强、非匀强电场均适用，只需两点间电压确定。

偏转

带电粒子以速度 $v_0$ 垂直进入板长 $L$、板间距 $d$、电压 $U$ 的平行板匀强电场，做类平抛运动。

• 沿初速度方向匀速：$x=v_0 t$，穿越极板 $t=\frac{L}{v_0}$；
• 垂直方向匀加速，加速度 $a=\frac{qU}{md}$；
• 离开电场时的侧移量：

$$y=\frac{1}{2}at^2=\frac{qUL^2}{2mdv_0^2}$$

• 离开时垂直速度 $v_y=at$，偏转角满足 $\tan\theta=\frac{v_y}{v_0}$。

粒子恰好不打在板上的临界条件是侧移 $y=\frac{d}{2}$。示波器的偏转就基于这一原理。

第十一章 电路及其应用

电源和电流

电流

电荷的定向移动形成 电流（Electric Current）。电流强度定义为单位时间内通过导体横截面的电荷量：

$$I=\frac{q}{t}$$

单位为安培 $(\text{A})$。规定 正电荷定向移动的方向 为电流方向。电流是标量，但有方向。

电源

电源是把其他形式的能转化为电能、维持电路两端电压的装置。电源内部靠 非静电力 把正电荷从低电势推向高电势，从而维持持续电流。

导体的电阻

欧姆定律

欧姆定律（Ohm's Law）：导体中的电流 $I$ 与其两端电压 $U$ 成正比，与电阻 $R$ 成反比：

$$I=\frac{U}{R}$$

电阻 $R=\frac{U}{I}$ 反映导体对电流的阻碍作用，单位欧姆 $(\Omega)$。对金属导体，温度一定时 $R$ 为常数，$U$–$I$ 图线是过原点的直线（线性元件）；灯丝、二极管等为非线性元件。

电阻定律

同种材料的导体，其电阻与长度 $L$ 成正比，与横截面积 $S$ 成反比：

$$R=\rho\frac{L}{S}$$

电阻率 $\rho$ 只与材料和温度有关，单位 $\Omega\cdot\text{m}$。金属的电阻率随温度升高而增大；半导体相反。将导线拉长时体积不变，需注意 $L$ 增大的同时 $S$ 减小。

串联电路和并联电路

特性	串联	并联
电流	处处相等 $I=I_1=I_2$	支路之和 $I=I_1+I_2$
电压	各段之和 $U=U_1+U_2$	各支路相等 $U=U_1=U_2$
总电阻	$R=R_1+R_2$	$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$
分配关系	电压与电阻成正比	电流与电阻成反比

$n$ 个相同电阻 $R_0$ 串联总阻 $nR_0$，并联总阻 $\frac{R_0}{n}$。并联总电阻小于任一支路电阻。

电表改装

电流表由 灵敏电流计（内阻 $R_g$、满偏电流 $I_g$、满偏电压 $U_g=I_g R_g$）改装而成。

• 改装成大量程电流表：并联一个小阻值 分流电阻 $R_1$。要测量程 $I$，分流支路承担 $I-I_g$，由并联等压：

$$R_1=\frac{I_g R_g}{I-I_g}$$

• 改装成电压表：串联一个大阻值 分压电阻 $R_2$。要测量程 $U$，分压电阻承担 $U-U_g$，由串联等流：

$$R_2=\frac{U}{I_g}-R_g$$

量程越大：电流表要求分流电阻越小、电压表要求分压电阻越大。

第十二章 电能 能量守恒定律

电路中的能量转化

电功

电流做的功等于电场力移动电荷所做的功。一段电路两端电压 $U$、通过电荷 $q=It$，则 电功：

$$W=UIt$$

单位焦耳 $(\text{J})$。电功表示电能转化为其他形式能的多少，对任何电路都成立。

电功率

电功率是单位时间内电流做的功：

$$P=\frac{W}{t}=UI$$

单位瓦特 $(\text{W})$。$P=UI$ 是电功率的普适定义式，对纯电阻与非纯电阻电路都适用。

焦耳定律

电流通过导体产生的 热量：

$$Q=I^2Rt$$

这是电流的热效应，称为 焦耳定律（Joule's Law）。$Q=I^2Rt$ 对一切电路都成立，是计算电热的普适式。

纯电阻电路（电能全部转化为内能，如电阻、白炽灯）中电功等于电热，可推得多种等价表达式：

$$P=UI=I^2R=\frac{U^2}{R}$$

非纯电阻电路（如电动机、电解槽，有部分电能转化为机械能 / 化学能）中，$W=UIt$ 求 总电功，$Q=I^2Rt$ 求 发热，二者不再相等，$U\ne IR$，只能用 $P=UI$ 和 $Q=I^2Rt$，不能用 $\frac{U^2}{R}$ 求热。

关系式	纯电阻	非纯电阻
$W=UIt$	电功（=电热）	总电功
$Q=I^2Rt$	电热（=电功）	电热（仅发热部分）
$P=\frac{U^2}{R}$	适用	不适用

闭合电路的欧姆定律

电动势

电源的 电动势（Electromotive Force，EMF）等于非静电力把单位正电荷从负极移到正极所做的功，用 $\varepsilon$ 表示，单位伏特 $(\text{V})$。电动势反映电源把其他能转化为电能的本领，由电源本身决定。

闭合电路欧姆定律

闭合电路由电源（电动势 $\varepsilon$、内阻 $r$）与外电路（外阻 $R$）组成。电流为：

$$I=\frac{\varepsilon}{R+r}$$

电动势等于内、外电压之和：$\varepsilon=U_{\text{外}}+U_{\text{内}}=IR+Ir$。

路端电压

外电路两端电压即 路端电压：

$$U=\varepsilon-Ir$$

• 外阻 $R$ 增大 时，$I$ 减小，路端电压 $U$ 增大；
• 外阻 $R$ 减小 时，$I$ 增大，$U$ 减小；
• 断路（$R\to\infty$）：$I=0$，$U=\varepsilon$，路端电压等于电动势；
• 短路（$R=0$）：$I=\frac{\varepsilon}{r}$ 最大，$U=0$。

电源的功率关系：总功率 $P_{\text{总}}=\varepsilon I$，输出功率 $P_{\text{出}}=UI$，内耗功率 $P_r=I^2r$，三者满足 $P_{\text{总}}=P_{\text{出}}+P_r$。当外阻 $R=r$ 时电源输出功率最大。

第十三章 电磁感应与电磁波初步

磁场 磁感应强度

磁场

磁体、电流周围存在 磁场（Magnetic Field），磁场对放入其中的磁体、电流有力的作用。磁场方向规定为 小磁针 N 极 在该点的受力方向。

磁感线 是形象描述磁场的假想曲线，切线方向即该点磁场方向。磁感线在磁体外部由 N 极指向 S 极，内部由 S 极回到 N 极，是 闭合曲线（区别于电场线）。

磁感应强度

在磁场中垂直于磁场方向放一段通电导线，所受磁场力 $F$ 与电流 $I$ 和导线长度 $L$ 的乘积的比值，称为 磁感应强度（Magnetic Flux Density）：

$$B=\frac{F}{IL}$$

单位特斯拉 $(\text{T})$。$B$ 是矢量，方向为该点磁场方向，大小由磁场本身决定，与 $F$、$I$、$L$ 无关。

磁通量

穿过某一面积 $S$ 的磁感线条数，用 磁通量 $\Phi$ 描述。磁场方向与面积垂直时：

$$\Phi=BS$$

单位韦伯 $(\text{Wb})$，$1\ \text{Wb}=1\ \text{T}\cdot\text{m}^2$。磁通量是标量，一般面时取磁场 垂直分量 与面积的乘积。

安培力

通电导线在磁场中受到的力称为 安培力（Ampère Force）。当电流方向与磁场方向 垂直 时：

$$F=BIL$$

• 电流与磁场平行时，$F=0$；一般夹角 $\theta$ 时 $F=BIL\sin\theta$；
• 安培力方向由 左手定则 判断：伸开左手，磁感线穿过手心，四指指电流方向，大拇指所指即安培力方向。

安培力总是 垂直 于电流与磁场所决定的平面，方向可与电流、磁场都不共面。

电磁感应现象

产生条件

闭合电路中一部分导体做切割磁感线运动，或穿过闭合回路的 磁通量发生变化 时，电路中产生电流——这就是 电磁感应（Electromagnetic Induction）现象，所产生的电流称为 感应电流。

产生感应电流的根本条件：穿过闭合回路的磁通量发生变化。磁通量变化可由 $B$ 变化、面积 $S$ 变化或两者夹角变化引起。

楞次定律

楞次定律（Lenz's Law）：感应电流的方向，总是要 阻碍 引起感应电流的磁通量的变化。

判断步骤：

1. 明确原磁场方向及磁通量是增大还是减小；
2. 由「增反减同」定出感应电流的磁场方向（磁通量增则感应磁场与原磁场反向、减则同向）；
3. 用 右手螺旋定则 由感应磁场方向定出感应电流方向。

楞次定律是 能量守恒 的体现：「阻碍」意味着需外力克服安培力做功，机械能转化为电能。对导体切割磁感线的情形，可直接用 右手定则 判断感应电流方向。

法拉第电磁感应定律

法拉第电磁感应定律（Faraday's Law）：闭合电路中感应电动势的大小，与穿过这一电路的磁通量的变化率成正比：

$$\varepsilon=n\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$$

其中 $n$ 为线圈匝数，$\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ 是磁通量变化率。决定感应电动势大小的是变化率 $\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$，而非 $\Phi$ 本身。

导体棒以速度 $v$ 垂直切割磁感线时，感应电动势为：

$$\varepsilon=BLv$$

$L$ 为切割的有效长度。当 $B$、$L$、$v$ 三者两两垂直时该式成立；有夹角时取垂直分量。

电磁波初步

电磁场

• 变化的磁场 在周围空间产生 电场；
• 变化的电场 在周围空间产生 磁场。

麦克斯韦由此预言：变化的电场和磁场相互激发，形成 电磁场，并由近及远传播开去。

电磁波

电磁波（Electromagnetic Wave）：在空间传播的变化的电磁场。

• 电磁波是 横波，电场、磁场方向相互垂直，且都垂直于传播方向；
• 电磁波的传播 不需要介质，可在真空中传播；
• 真空中电磁波速等于光速：

$$c=3\times 10^8\ \text{m/s}$$

• 波速、波长、频率满足 $c=\lambda f$。

按频率由低到高，电磁波谱依次为：无线电波、红外线、可见光、紫外线、$\text{X}$ 射线、$\gamma$ 射线。频率越高、波长越短，穿透能力越强。

必记公式表

物理量	公式	说明
库仑定律	$F=k\frac{q_1 q_2}{r^2}$	真空中两点电荷相互作用力
电场强度	$E=\frac{F}{q}$	定义式，矢量
点电荷场强	$E=k\frac{Q}{r^2}$	仅点电荷适用
电场力做功	$W_{AB}=qU_{AB}$	与路径无关
电势	$\varphi=\frac{E_p}{q}$	标量
匀强电场	$E=\frac{U}{d}$	$d$ 沿场强方向
电容	$C=\frac{Q}{U}$	由电容器本身决定
加速	$qU=\frac{1}{2}mv^2$	动能定理
偏转侧移	$y=\frac{qUL^2}{2mdv_0^2}$	类平抛
电流	$I=\frac{q}{t}$	定义式
欧姆定律	$I=\frac{U}{R}$	一段电路
电阻定律	$R=\rho\frac{L}{S}$	$\rho$ 与材料、温度有关
电功	$W=UIt$	普适
电功率	$P=UI$	普适
焦耳定律	$Q=I^2Rt$	普适
纯电阻电功率	$P=I^2R=\frac{U^2}{R}$	仅纯电阻
闭合电路欧姆定律	$I=\frac{\varepsilon}{R+r}$	全电路
路端电压	$U=\varepsilon-Ir$	外电压
磁感应强度	$B=\frac{F}{IL}$	定义式
磁通量	$\Phi=BS$	面垂直于 $B$
安培力	$F=BIL$	电流垂直磁场
法拉第定律	$\varepsilon=n\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$	变化率决定
切割电动势	$\varepsilon=BLv$	$B$、$L$、$v$ 两两垂直
电磁波	$c=\lambda f$	真空 $c=3\times 10^8\ \text{m/s}$