必修第二册

物理学考 / 选考笔记，对应人教版《必修第二册》，按专题整理。

第五章 抛体运动

曲线运动

物体运动轨迹为曲线的运动。物体做曲线运动时，速度方向沿轨迹的切线方向，时刻改变，故曲线运动一定是变速运动，一定有加速度。

• 做曲线运动的条件：合外力（加速度）方向与速度方向不在同一直线上；
• 合力指向轨迹凹侧，速度、合力、轨迹三者「速度居中、合力偏向凹侧」；
• 若合力方向与速度方向相同或相反，则做直线运动。

运动类型	合力与速度	轨迹
直线运动	共线（同向或反向）	直线
曲线运动	不共线（成夹角）	曲线，偏向合力一侧

运动的合成与分解

一个复杂运动可看作两个（或多个）简单分运动的合成。合成与分解遵循 平行四边形定则（矢量运算），对位移、速度、加速度均成立。

• 等时性：合运动与各分运动经历的时间相同；
• 独立性：各分运动互不影响，各自独立进行；
• 等效性：各分运动的合效果与合运动等效。

沿相互垂直的两个方向分解最常用。设合速度 $\vec v$ 分解为 $v_x$、$v_y$：

$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$

合速度与 $x$ 轴夹角 $\theta$ 满足 $\tan\theta=\frac{v_y}{v_x}$。

判断合运动的性质，看合初速度与合加速度是否共线：两者共线做直线运动，不共线做曲线运动；合加速度恒定则为匀变速运动。

Example

小船渡河是典型的运动合成问题。船速 $\vec v_1$（船相对静水）与水速 $\vec v_2$（水相对岸）合成为船的实际速度。设河宽为 $d$：

• 渡河时间最短：船头正对对岸，垂直分速度最大（等于 $v_1$），$t_{\min}=\frac{d}{v_1}$，与水速无关，但会被冲向下游；
• 航程最短（$v_1>v_2$）：合速度垂直于河岸，船头指向上游，与岸成夹角 $\theta$ 满足 $\cos\theta=\frac{v_2}{v_1}$，最短航程即河宽 $d$；
• $v_1<v_2$ 时无法垂直渡河，此时合速度方向与 $v_1$ 垂直时航程最短。

平抛运动

将物体以水平初速度 $v_0$ 抛出，只受重力作用的运动。它是 匀变速曲线运动，加速度恒为 $g$、方向竖直向下。

平抛运动可分解为两个独立的分运动：

• 水平方向：匀速直线运动，速度恒为 $v_0$；
• 竖直方向：初速度为零的自由落体运动，加速度为 $g$。

设抛出点为原点、水平为 $x$ 轴、竖直向下为 $y$ 轴，经时间 $t$：

$$\begin{aligned} x & =v_0t \\ y & =\frac{1}{2}gt^2 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} v_x & =v_0 \\ v_y & =gt \end{aligned}$$

合速度 大小与方向：

$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{v_0^2+(gt)^2}$

设合速度与水平方向夹角为 $\theta$，位移与水平方向夹角为 $\alpha$：

$\tan\theta=\frac{v_y}{v_0}=\frac{gt}{v_0},\quad \tan\alpha=\frac{y}{x}=\frac{gt}{2v_0}$

由此得 $\tan\theta=2\tan\alpha$：速度方向与水平的夹角，其正切恒为位移方向夹角正切的两倍。这是平抛的重要几何性质。

飞行时间只由下落高度 $h$ 决定，与初速度无关：

$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$

水平射程 $x=v_0t=v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}$，射程由 $v_0$ 与 $h$ 共同决定。

Example

从高 $h$ 的桌面水平抛出小球，落地时速度与水平方向成 $45^\circ$，则 $v_y=v_0$，即 $gt=v_0$。又 $h=\frac{1}{2}gt^2$，联立可解出 $v_0=\sqrt{gh}$。

斜抛运动（选考了解）可分解为水平匀速与竖直方向的竖直上抛，同样是匀变速曲线运动。以 $45^\circ$ 抛出时射程最大。

类平抛运动：初速度方向与恒力方向垂直的匀变速曲线运动，都可套用平抛的分解方法。如带电粒子垂直进入匀强电场，沿初速度方向匀速、沿电场力方向匀加速，处理时把「$g$」换成 $a=\frac{F}{m}$ 即可，公式形式完全一致。

第六章 圆周运动

描述圆周运动的物理量

物体沿圆周运动，用以下物理量描述其快慢。

• 线速度 $\vec v$：弧长 $s$ 与时间 $t$ 之比，$v=\frac{s}{t}$，方向沿圆周切线，单位 $\mathrm{m/s}$；
• 角速度 $\omega$：半径转过的角度 $\varphi$ 与时间之比，$\omega=\frac{\varphi}{t}$，单位 $\mathrm{rad/s}$；
• 周期 $T$：转一圈所需时间；转速 $n$：单位时间转过的圈数；
• 频率 $f$：单位时间转过的圈数，$f=\frac{1}{T}$。

各量之间的关系：

$\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f,\quad v=\frac{2\pi r}{T}=\omega r$

线速度、角速度、半径三者关系 $v=\omega r$ 是核心。判断两点快慢时须先看谁相同：

传动方式	相同量	关系
同轴转动	角速度 $\omega$ 相同	$v=\omega r$，半径大者线速度大
皮带 / 齿轮传动	线速度 $v$ 相同（不打滑）	$\omega=\frac{v}{r}$，半径大者角速度小

向心加速度

匀速圆周运动中，线速度大小不变、方向时刻改变，故速度是变化的，存在加速度。该加速度 方向始终指向圆心，称 向心加速度 $\vec a_n$，只改变速度方向、不改变速度大小。

$a_n=\frac{v^2}{r}=\omega^2r=\frac{4\pi^2}{T^2}r$

由三式可见：$v$ 相同时 $a_n$ 与 $r$ 成反比；$\omega$ 相同时 $a_n$ 与 $r$ 成正比。选用哪个表达式取决于题目给的是 $v$、$\omega$ 还是 $r$ 相同。

匀速圆周运动与非匀速圆周运动的对比：

类型	速率	向心加速度	合力
匀速圆周	不变	只有向心加速度	大小不变，始终指向圆心
非匀速圆周	改变	向心 + 切向加速度	有切向分量，改变速率

匀速圆周运动中「匀速」指速率不变，速度方向仍时刻改变，故仍是变速运动。

向心力

产生向心加速度的力称 向心力，方向始终指向圆心，是按 效果 命名的力，可由重力、弹力、摩擦力等一个或几个力提供（或它们的合力）。

$F_n=ma_n=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r=m\frac{4\pi^2}{T^2}r$

• 向心力只改变速度方向，不改变速度大小，不做功；
• 匀速圆周运动是变速运动、变加速运动（加速度方向变），但速率不变；
• 向心力是合外力沿半径指向圆心的分量；若合外力还有切向分量，则速率也改变，成为非匀速圆周运动。

分析圆周运动的基本方法：找出圆心、半径，对物体受力分析，把指向圆心方向的合力作为向心力，列 $F_n=m\frac{v^2}{r}$ 求解。

Example

圆锥摆：细线上端固定，下端小球在水平面内做匀速圆周运动。小球受重力 $mg$ 与线的拉力 $F_T$，二者合力水平指向圆心。设线与竖直方向夹角 $\theta$、摆长 $L$，则圆周半径 $r=L\sin\theta$。

竖直方向平衡、水平方向提供向心力：

$$\begin{aligned} F_T\cos\theta & =mg \\ F_T\sin\theta & =m\omega^2r \end{aligned}$$

两式相除得 $\tan\theta=\frac{\omega^2r}{g}=\frac{\omega^2L\sin\theta}{g}$，解出 $\cos\theta=\frac{g}{\omega^2L}$。转得越快，$\theta$ 越大、球抬得越高。

竖直平面内的圆周运动

竖直圆周运动是选考重点，关键在 最高点的临界条件。分两种模型。

轻绳模型（或轨道内侧）：物体靠绳的拉力与重力提供向心力，绳只能拉不能推。最高点绳拉力 $F_T\ge 0$，临界条件为 $F_T=0$，此时重力全部提供向心力：

$mg=m\frac{v_{\min}^2}{r}\implies v_{\min}=\sqrt{gr}$

$v_{\min}=\sqrt{gr}$ 是物体能通过最高点的最小速度。若 $v<\sqrt{gr}$，物体到不了最高点便脱离轨道。

轻杆模型（或双轨道 / 管道）：杆既能拉也能推，能提供向下或向上的支持力。最高点速度可以为零：

• $v=0$：杆的支持力 $F_N=mg$（向上）；
• $0<v<\sqrt{gr}$：杆提供向上支持力，$mg-F_N=m\frac{v^2}{r}$；
• $v=\sqrt{gr}$：$F_N=0$，重力恰好提供向心力；
• $v>\sqrt{gr}$：杆提供向下拉力，$mg+F_T=m\frac{v^2}{r}$。

模型	最高点临界速度	特点
轻绳 / 内轨	$v_{\min}=\sqrt{gr}$	只能拉，$v$ 须不小于临界值
轻杆 / 管道	$v_{\min}=0$	能拉能推，任意速度都可通过

第七章 万有引力与宇宙航行

开普勒行星运动定律

行星绕太阳运动的规律，是万有引力定律的观测基础。

• 第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上；
• 第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。故行星近日点速度快、远日点速度慢，设近日点、远日点到太阳距离为 $r_1$、$r_2$，速度为 $v_1$、$v_2$，则 $r_1v_1=r_2v_2$；
• 第三定律（周期定律）：所有行星轨道半长轴 $a$ 的三次方与公转周期 $T$ 的平方之比相等：

$\frac{a^3}{T^2}=k$

比值 $k$ 只与 中心天体（太阳）有关。中学阶段常把椭圆近似为圆，$a$ 取轨道半径 $r$。

万有引力定律

自然界中任意两个物体都相互吸引，引力大小与两物体质量乘积成正比，与它们距离的平方成反比：

$F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$

• 引力常量 $G=6.67\times 10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^2/kg^2}$，由卡文迪什扭秤实验测得；
• 公式适用于 质点，或均匀球体（$r$ 为球心间距）、相距很远的物体；
• 万有引力是行星、卫星做圆周运动的向心力来源。

万有引力与重力

地球表面附近，物体所受重力近似等于地球对它的万有引力（忽略地球自转影响）：

$mg=G\frac{Mm}{R^2}\implies g=\frac{GM}{R^2}$

$GM=gR^2$ 称 黄金代换，在不知 $M$ 时用地表 $g$ 和半径 $R$ 替换，是解题常用手段。

在离地面高 $h$ 处，$g'=\frac{GM}{(R+h)^2}$，随高度增大而减小。

天体质量与密度的计算

万有引力提供向心力，是「天上」问题的核心方程。对绕中心天体做圆周运动的行星 / 卫星：

$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r=m\frac{4\pi^2}{T^2}r$

估算中心天体质量（已知卫星轨道半径 $r$ 与周期 $T$）：

$M=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2}$

估算中心天体密度（卫星贴近天体表面运动，$r=R$）：

$\rho=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{3\pi}{GT^2}$

贴近表面运行时，只需测出周期 $T$ 即可估算天体密度，与天体半径无关。

由「万有引力提供向心力」可推出绕行天体的各量随轨道半径 $r$ 的变化（「高轨低速大周期」）：

$v=\sqrt{\frac{GM}{r}},\quad \omega=\sqrt{\frac{GM}{r^3}},\quad T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$

$r$ 越大，线速度 $v$ 越小、角速度 $\omega$ 越小、周期 $T$ 越大。这是判断卫星轨道问题的通用结论。

人造卫星与宇宙速度

近地卫星 轨道半径约等于地球半径 $R$，由 $\frac{GMm}{R^2}=\frac{mv^2}{R}$ 得其环绕速度：

$v_1=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{gR}\approx 7.9\ \mathrm{km/s}$

三个宇宙速度：

名称	数值	物理意义
第一宇宙速度	$7.9\ \mathrm{km/s}$	近地环绕速度，卫星绕地最大环绕速度、发射最小速度
第二宇宙速度	$11.2\ \mathrm{km/s}$	脱离地球引力束缚（逃逸速度）所需最小发射速度
第三宇宙速度	$16.7\ \mathrm{km/s}$	挣脱太阳引力、飞出太阳系所需最小发射速度

• $v_1=7.9\ \mathrm{km/s}$ 既是最大环绕速度，也是最小发射速度：贴地环绕最快，越高环绕越慢；
• 发射速度介于 $7.9\sim 11.2\ \mathrm{km/s}$ 时，卫星绕地做椭圆轨道运动。

地球同步卫星 周期与地球自转周期相同（$T=24\ \mathrm{h}$），必须满足：

• 位于赤道正上方，运行方向与地球自转同向；
• 由 $G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{4\pi^2}{T^2}r$ 解得轨道半径唯一，距地面约 $3.6\times 10^4\ \mathrm{km}$；
• 所有同步卫星轨道半径、速率、周期、高度都相同，只是位置不同。

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近地卫星与同步卫星常放在一起比较：近地卫星周期约 $85\ \mathrm{min}$、速度约 $7.9\ \mathrm{km/s}$，同步卫星周期 $24\ \mathrm{h}$、速度约 $3.1\ \mathrm{km/s}$。同步卫星轨道高于近地卫星，故速度更小、周期更大，符合「高轨低速大周期」。

卫星变轨与超重失重

卫星变轨：卫星在低轨圆周上运行时，若点火加速，所需向心力 $\frac{mv^2}{r}$ 增大而万有引力不变，引力不足，卫星做离心运动进入更高的椭圆轨道；到达远地点再次点火加速，可进入更高的圆轨道。变轨的核心是「加速升轨、减速降轨」。

同一圆轨道上，卫星速度由轨道半径唯一决定，无法通过点火在同一圆轨道上加速或减速——加速必然升轨、减速必然降轨。

超重与失重：由物体竖直方向的加速度决定，本质是视重（支持力 / 拉力）与真实重力的差异。

状态	加速度方向	视重与重力
超重	向上（加速上升或减速下降）	视重大于重力
失重	向下（加速下降或减速上升）	视重小于重力
完全失重	向下、$a=g$	视重为零

绕地球运行的卫星、抛体运动中的物体都处于 完全失重 状态，其内部一切与重力有关的现象（如浮力、液柱压强）都消失。

第八章 机械能守恒定律

功

力对物体做的功，等于力的大小、位移大小以及二者夹角余弦的乘积：

$W=Fl\cos\alpha$

• $\alpha$ 是力 $\vec F$ 与位移 $\vec l$ 的夹角；功是 标量，单位焦耳（$\mathrm{J}$）；
• $\alpha<90^\circ$，$W>0$，力做正功（动力）；
• $\alpha=90^\circ$，$W=0$，力不做功；
• $\alpha>90^\circ$，$W<0$，力做负功（阻力），或说物体克服该力做功。

几个力共同作用时，总功 等于各力做功的代数和，也等于合力做的功：

$W_{总}=W_1+W_2+\dots=F_{合}l\cos\alpha$

功率

功率描述做功的快慢，等于功与所用时间之比，单位瓦特（$\mathrm{W}$）。

$P=\frac{W}{t}$

上式为 平均功率。瞬时功率 等于力与瞬时速度的乘积：

$P=Fv\cos\alpha$

其中 $\alpha$ 为力与速度的夹角。当力与速度同向时 $P=Fv$。

机车启动 两种模型：

• 恒定功率启动：$P$ 不变，$F=\frac{P}{v}$，速度增大则牵引力减小，做加速度减小的加速运动，最终达最大速度 $v_{\max}=\frac{P}{f}$（$f$ 为阻力）；
• 恒定牵引力启动：$F$ 不变，先匀加速，功率随速度增大至额定功率后转为恒功率加速，最终同样达 $v_{\max}=\frac{P}{f}$。

动能与动能定理

动能：物体由于运动而具有的能量，与质量、速度有关：

$E_k=\frac{1}{2}mv^2$

动能定理：合外力对物体做的总功，等于物体动能的变化量。

$W_{总}=E_{k2}-E_{k1}=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2$

• 动能定理是标量方程，不涉及方向，处理变力做功、曲线运动尤其方便；
• $W_{总}$ 为所有外力做功的代数和，包括重力、摩擦力、拉力等；
• 只关心始末状态的动能，与中间过程无关，是解题的有力工具。

Example

质量 $m$ 的物体以初速度 $v_0$ 冲上倾角 $\theta$ 的斜面，与斜面间动摩擦因数为 $\mu$，求沿斜面上滑的最大距离 $s$。

上滑过程受重力沿斜面分量 $mg\sin\theta$ 与摩擦力 $\mu mg\cos\theta$，方向均与运动相反。末状态速度为零，由动能定理：

$-(mg\sin\theta+\mu mg\cos\theta)s=0-\frac{1}{2}mv_0^2$

解得 $s=\frac{v_0^2}{2g(\sin\theta+\mu\cos\theta)}$。全程只需列始末状态，无需分段分析。

重力势能

物体由于被举高而具有的能量，等于重力与高度的乘积：

$E_p=mgh$

• 重力势能是 相对量，$h$ 从选定的 参考平面 量起，可正可负；
• 势能差与参考面选取无关，只与始末位置有关；
• 重力做功 只与始末位置的高度差有关，与路径无关：

$W_G=mgh_1-mgh_2=-\Delta E_p$

重力做正功，重力势能减小；重力做负功，重力势能增大。重力势能是物体与地球共有的。

弹性势能：发生弹性形变的物体具有的能量。同一弹簧形变量越大，弹性势能越大；弹簧被拉伸或压缩，弹性势能都增大。弹力做正功时弹性势能减小，做负功时增大，与重力势能规律一致。中学阶段不要求弹性势能的具体表达式，只作定性分析。

机械能守恒定律

动能与势能（重力势能、弹性势能）之和称 机械能。

机械能守恒定律：在只有重力（或弹力）做功的情形下，物体的动能与势能可以相互转化，而 机械能的总量保持不变。

$E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}$

即 $\frac{1}{2}mv_1^2+mgh_1=\frac{1}{2}mv_2^2+mgh_2$。也可写成「减少的势能等于增加的动能」：

$\Delta E_k=-\Delta E_p$

机械能守恒有三种等价表达，按题目条件择一使用：

• 守恒式：$E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}$，直接列始末两状态的总机械能相等；
• 转化式：$\Delta E_k=-\Delta E_p$，减少的势能等于增加的动能；
• 转移式：$\Delta E_A=-\Delta E_B$，系统内 A 减少的机械能等于 B 增加的机械能（用于连接体）。

守恒条件的判断：

• 只有重力或系统内弹力做功，其他力（如摩擦力、空气阻力）不做功或不存在；
• 有重力和弹力以外的力做功，机械能不守恒；
• 判断时看是否有摩擦、拉力、阻力等做功，而非看物体是否受这些力；
• 绳、杆连接的系统内，绳（杆）的弹力对整个系统做功之和为零，不破坏系统机械能守恒。

Example

自由落体、平抛、光滑斜面下滑、单摆摆动、竖直平面内光滑圆轨道运动，都满足机械能守恒。选参考面后对始末两状态列守恒方程即可，无需分析中间过程。

功能关系与能量守恒

功是能量转化的量度：某种力做功，对应某种能量的变化。

力做功	对应能量变化
合外力做的功	等于动能的变化 $W_{合}=\Delta E_k$
重力做的功	等于重力势能变化的相反数 $W_G=-\Delta E_p$
弹力做的功	等于弹性势能变化的相反数
除重力、弹力外的力做的功	等于机械能的变化 $W_{其他}=\Delta E_{机}$
滑动摩擦力做功	与相对滑动路程相关，摩擦生热 $Q=F_f\cdot s_{相对}$

能量守恒定律：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，只能从一种形式转化为另一种形式，或从一个物体转移到另一个物体，总量保持不变。它是自然界最普遍的规律之一。

各种功与能量变化的对应关系可归结如下：

一对滑动摩擦力做功之和为负，等于系统减少的机械能，这部分机械能转化为内能：$Q=F_f\cdot s_{相对}$，其中 $s_{相对}$ 为两物体间的相对滑动路程。

必记公式汇总

物理量	公式	说明
平抛时间	$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$	只由下落高度决定
平抛合速度	$v=\sqrt{v_0^2+(gt)^2}$	水平匀速 + 竖直自由落体
线速度	$v=\omega r=\frac{2\pi r}{T}$	沿切线方向
向心加速度	$a_n=\frac{v^2}{r}=\omega^2r$	方向指向圆心
向心力	$F_n=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r$	按效果命名
竖直圆最高点临界	$v_{\min}=\sqrt{gr}$	绳 / 内轨模型
万有引力	$F=G\frac{Mm}{r^2}$	质点或均匀球体
黄金代换	$g=\frac{GM}{R^2}$	$GM=gR^2$
环绕速度	$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$	高轨低速
天体质量	$M=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2}$	由卫星 $r$、$T$ 求
第一宇宙速度	$v_1=\sqrt{gR}\approx 7.9\ \mathrm{km/s}$	最大环绕、最小发射
功	$W=Fl\cos\alpha$	标量
瞬时功率	$P=Fv\cos\alpha$	力与速度夹角 $\alpha$
动能	$E_k=\frac{1}{2}mv^2$	标量
动能定理	$W_{总}=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2$	处理变力、曲线运动
重力势能	$E_p=mgh$	相对参考面
机械能守恒	$\frac{1}{2}mv_1^2+mgh_1=\frac{1}{2}mv_2^2+mgh_2$	只有重力 / 弹力做功