磁场与电磁感应

电磁感应与电磁波初步

磁场 磁感应强度

磁场

磁体、电流周围存在 磁场（Magnetic Field），磁场对放入其中的磁体、电流有力的作用。磁场方向规定为 小磁针 N 极 在该点的受力方向。

磁感线 是形象描述磁场的假想曲线，切线方向即该点磁场方向。磁感线在磁体外部由 N 极指向 S 极，内部由 S 极回到 N 极，是 闭合曲线（区别于电场线）。

磁感应强度

在磁场中垂直于磁场方向放一段通电导线，所受磁场力 $F$ 与电流 $I$ 和导线长度 $L$ 的乘积的比值，称为 磁感应强度（Magnetic Flux Density）：

$$B=\frac{F}{IL}$$

单位特斯拉 $(\text{T})$。$B$ 是矢量，方向为该点磁场方向，大小由磁场本身决定，与 $F$、$I$、$L$ 无关。

磁通量

穿过某一面积 $S$ 的磁感线条数，用 磁通量 $\Phi$ 描述。磁场方向与面积垂直时：

$$\Phi=BS$$

单位韦伯 $(\text{Wb})$，$1\ \text{Wb}=1\ \text{T}\cdot\text{m}^2$。磁通量是标量，一般面时取磁场 垂直分量 与面积的乘积。

安培力

通电导线在磁场中受到的力称为 安培力（Ampère Force）。当电流方向与磁场方向 垂直 时：

$$F=BIL$$

• 电流与磁场平行时，$F=0$；一般夹角 $\theta$ 时 $F=BIL\sin\theta$；
• 安培力方向由 左手定则 判断：伸开左手，磁感线穿过手心，四指指电流方向，大拇指所指即安培力方向。

安培力总是 垂直 于电流与磁场所决定的平面，方向可与电流、磁场都不共面。

电磁感应现象

产生条件

闭合电路中一部分导体做切割磁感线运动，或穿过闭合回路的 磁通量发生变化 时，电路中产生电流——这就是 电磁感应（Electromagnetic Induction）现象，所产生的电流称为 感应电流。

产生感应电流的根本条件：穿过闭合回路的磁通量发生变化。磁通量变化可由 $B$ 变化、面积 $S$ 变化或两者夹角变化引起。

楞次定律

楞次定律（Lenz's Law）：感应电流的方向，总是要 阻碍 引起感应电流的磁通量的变化。

判断步骤：

1. 明确原磁场方向及磁通量是增大还是减小；
2. 由「增反减同」定出感应电流的磁场方向（磁通量增则感应磁场与原磁场反向、减则同向）；
3. 用 右手螺旋定则 由感应磁场方向定出感应电流方向。

「阻碍」意味着减弱变化的趋势，而非阻止变化，也不会反超。楞次定律还有几个等价的通俗判据：磁通量「增反减同」、回路面积「增缩减扩」、磁体与线圈「来拒去留」。它本质是 能量守恒 的体现：阻碍意味着外力要克服安培力做功，机械能由此转化为电能。对导体切割磁感线的情形，可直接用 右手定则 判断感应电流方向。

法拉第电磁感应定律

法拉第电磁感应定律（Faraday's Law）：闭合电路中感应电动势的大小，与穿过这一电路的磁通量的变化率成正比：

$$\varepsilon=n\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$$

其中 $n$ 为线圈匝数，$\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ 是磁通量变化率。决定感应电动势大小的是变化率 $\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$，而非 $\Phi$ 本身。

导体棒以速度 $v$ 垂直切割磁感线时，感应电动势为：

$$\varepsilon=BLv$$

$L$ 为切割的有效长度。当 $B$、$L$、$v$ 三者两两垂直时该式成立；有夹角时取垂直分量。

tip

法拉第定律给出的是 电动势 而非电势差。把导体棒看作电源，$\varepsilon=n\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ 是它的电动势，棒的电阻就是内阻；回路电流要用电动势除以总电阻求得。分析切割问题时，也可取极短时间 $\Delta t$、用棒扫过的面积算 $\Delta\Phi$，殊途同归。

电磁波初步

电磁场

麦克斯韦从场的观点提出电磁场理论的两块基石：

• 变化的磁场 在周围空间产生 电场。这种电场由变化的磁场激发，而非电荷激发，电场线闭合、不是保守场，称为 感生电场（涡旋电场）；
• 变化的电场 在周围空间产生 磁场。若电场均匀变化，激发的磁场稳定；若电场变化本身随时间改变，激发的磁场也随时间变化。

变化的电场与磁场相互激发、彼此不可分割，合称 电磁场，并由近及远传播开去。

电磁波

电磁波（Electromagnetic Wave）：在空间传播的变化的电磁场。1888 年赫兹用实验首次证实了它的存在，并测得其速度等于光速、观察到反射、折射、干涉、衍射与偏振，从而验证了麦克斯韦的预言。

• 电磁波是 横波，电场、磁场方向相互垂直，且都垂直于传播方向；
• 电磁波的传播 不需要介质，可在真空中传播；
• 真空中电磁波速等于光速：

$$c=3\times 10^8\ \text{m/s}$$

• 波速、波长、频率满足 $c=\lambda f$。

按频率由低到高，电磁波谱依次为：无线电波、红外线、可见光、紫外线、$\text{X}$ 射线、$\gamma$ 射线。频率越高、波长越短，穿透能力越强。其中可见光波长约 $400\sim 760\ \text{nm}$，是唯一能引起人眼视觉的波段；无线电波用于通信广播，红外线用于遥感与测温，紫外线可杀菌，$\text{X}$ 射线用于透视，$\gamma$ 射线穿透力最强。

安培力与洛伦兹力

磁场与磁感应强度

磁体、电流、运动电荷周围存在 磁场，磁场对放入其中的磁体、电流、运动电荷有力的作用。磁场是一种客观存在的物质，具有能量。磁铁—磁铁、电流—磁铁、电流—电流之间都存在相互作用，统称 磁力。它们的本源都是电荷的运动：只有运动的电荷之间才有磁相互作用，而无论电荷是否运动都存在电相互作用。

安培提出 分子电流假说：组成磁体的最小单元是环形电流（分子环流），分子环流定向排列时宏观上显出 N、S 极。这解释了磁铁与通电螺线管的等效性，也解释了磁铁两极总是并存——分割磁铁后每一块仍有两极。

磁感应强度（Magnetic Flux Density）$B$ 描述磁场的强弱和方向：在磁场中垂直于磁场方向放一小段通电导线，受力 $F$ 与电流 $I$、导线长度 $L$ 的乘积之比是一个恒量，定义

$B=\frac{F}{IL}$

单位是特斯拉（Tesla），符号 $\text{T}$，$1\ \text{T}=1\ \text{N/(A}\cdot\text{m)}$。工程上有时用高斯（Gauss）作单位，$1\ \text{T}=10^4$ 高斯。$B$ 是 矢量，方向就是该点小磁针 N 极的受力方向，即磁场方向。地面附近的地磁场约为 $0.5\times10^{-4}\ \text{T}$，永磁铁磁极附近约为 $10^{-3}\sim 10^{-1}\ \text{T}$。

• 磁感线是为形象描述磁场引入的假想曲线，切线方向即该点磁场方向，疏密表示强弱；
• 磁感线是 闭合曲线，在磁体外部由 N 极指向 S 极，内部由 S 极指向 N 极；
• 磁感线不相交、不中断。

几种典型磁场的磁感线：

磁场	特征
条形磁体	外部 N 极出、S 极入，两极最密
蹄形磁体	两极间中央区域近似匀强场
直线电流	同心圆，方向由右手螺旋定则判定
环形电流	中轴上磁场最强，穿心指向 N 极
通电螺线管	内部近似匀强，外部似条形磁体

判断电流磁场方向用 右手螺旋定则（安培定则）：直线电流时大拇指指电流方向，四指弯曲方向为磁场方向；环形电流或螺线管时四指指电流方向，大拇指指向内部磁场方向（螺线管的 N 极）。

匀强磁场 中各点磁感应强度大小相等、方向相同，磁感线是一组等间距的平行直线。通电螺线管内部、较大的正对磁极间的磁场都可近似看作匀强磁场。磁场满足 叠加原理：多个电流或运动电荷产生的总磁场，等于各磁场的矢量和。

磁通量

穿过某一面积的磁感线条数用 磁通量（Magnetic Flux）$\Phi$ 表示。匀强磁场中，若面积 $S$ 与磁场垂直，则

$\Phi=BS$

单位是韦伯（Weber），符号 $\text{Wb}$，$1\ \text{Wb}=1\ \text{T}\cdot\text{m}^2$。若平面法线与 $B$ 成 $\theta$ 角，则 $\Phi=BS\cos\theta$。

由 $B=\frac{\Phi}{S}$ 可见，磁感应强度等于垂直穿过单位面积的磁通量，故 $B$ 又称 磁通密度。磁通量是标量，但有正负：这里的正负不是矢量方向，而表示穿入或穿出——规定一个方向为正，反向为负，正负可以相互抵消。分析穿过闭合线圈的磁通量时，须把两侧穿向相反的部分相减。

安培力

通电导线在磁场中受到的力称 安培力（Ampère Force）。当导线与磁场方向垂直时，安培力最大：

$F=BIL$

当导线与磁场方向成 $\theta$ 角时，只有垂直分量 $B\sin\theta$ 产生力，故

$F=BIL\sin\theta$

导线与磁场平行时（$\theta=0$）安培力为零。

安培力方向用 左手定则 判断：伸开左手，让磁感线穿入手心，四指指向电流方向，大拇指所指即安培力方向。

矢量	对应手的部位
磁场 $B$	穿入手心（掌心）
电流 $I$	四指指向
安培力 $F$	大拇指指向

安培力 总是 垂直于 $B$ 与 $I$ 所决定的平面，即同时垂直于电流方向和磁场方向。

• 等效长度：若一段弯曲导线在匀强磁场中，其所受安培力只与首末两端的连线有关，取起点到终点的线段作为有效长度 $L$ 计算即可。这只适用于求合力，弯曲导线的各分力仍可能使其转动。
• 平行电流：两根长直平行导线，同向电流相互吸引、反向电流相互排斥。安培正是据此定义电流单位安培的。

洛伦兹力

安培力的本质是磁场对运动电荷作用力的宏观表现。磁场对单个运动电荷的作用力称 洛伦兹力（Lorentz Force）。

当电荷以速度 $v$ 垂直于磁场运动时：

$F=qvB$

一般地，$v$ 与 $B$ 成 $\theta$ 角时，$F=qvB\sin\theta$；速度与磁场平行时洛伦兹力为零。

洛伦兹力方向仍用 左手定则：四指指向 正电荷 运动方向（负电荷则指向其运动的反方向），大拇指指向洛伦兹力方向。

洛伦兹力始终 垂直于速度，故对电荷 不做功，只改变速度方向、不改变速度大小。这是分析带电粒子在磁场中运动的关键。

由安培力可推出洛伦兹力：一段导线长 $L$、横截面积 $S$、单位体积内自由电荷数 $n$，则 $I=nqvS$，代入 $F=BIL$，导线受力等于其中 $nSL$ 个电荷所受洛伦兹力之和，除以电荷数即得 $f=qvB$。反过来看，安培力正是导线中大量自由电荷所受洛伦兹力的合力。

霍尔效应

把通有电流的导体板置于垂直于电流的磁场中，运动的载流子受洛伦兹力向一侧偏转、积累，在垂直于电流和磁场的两侧建立 霍尔电压 $U_H$。当电场力与洛伦兹力平衡时载流子不再偏转，由 $qvB=q\frac{U_H}{d}$ 与 $I=nqvd\delta$（$\delta$ 为板厚）联立得

$U_H=\frac{1}{nq}\cdot\frac{IB}{d}$

霍尔电压的正负反映载流子电荷的正负，据此可判断半导体是 N 型还是 P 型；工程上也用霍尔元件测磁感应强度、测电流。

带电粒子在磁场中的圆周运动

带电粒子仅受洛伦兹力时，力恒垂直于速度、大小不变，粒子做 匀速圆周运动。洛伦兹力提供向心力：

$qvB=\frac{mv^2}{r}$

解得轨道半径

$r=\frac{mv}{qB}$

周期与速度无关：

$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{qB}$

周期只由粒子的比荷 $\frac{q}{m}$ 和磁场 $B$ 决定，与速度、半径无关，这是回旋加速器等装置的原理基础。转过圆心角 $\varphi$ 所需时间为

$t=\frac{\varphi}{2\pi}T=\frac{\varphi m}{qB}$

分析此类问题的方法：

• 画轨迹：圆心在过入射点且垂直于速度的直线上，也在过出射点垂直于出射速度的直线上，两垂线交点即圆心；
• 定半径：由几何关系或 $r=\frac{mv}{qB}$ 求；
• 求时间：由圆心角 $\varphi$ 得 $t=\frac{\varphi m}{qB}$。

若速度不垂直于磁场，把 $v$ 分解为平行分量 $v_\parallel$ 与垂直分量 $v_\perp$：$v_\perp$ 提供圆周运动，$v_\parallel$ 提供匀速直线运动，合成为螺旋线，螺距 $h=v_\parallel T=\frac{2\pi mv_\parallel}{qB}$，与 $v_\perp$ 无关。据此可实现磁聚焦：从一点发出、$v$ 与 $B$ 夹角很小的一束同种粒子，$v_\parallel$ 相近而 $v_\perp$ 不同，绕不同半径的螺旋线前进，却在同一处重新会聚。

若粒子同时受重力，需比较重力与洛伦兹力量级：基本粒子（电子、质子）通常忽略重力；带电微粒（油滴、尘埃）则不能忽略。

带电粒子在电场和磁场中的运动

速度选择器

在同一空间加相互垂直的匀强电场 $E$ 与匀强磁场 $B$，带电粒子沿垂直于二者的方向射入。电场力 $qE$ 与洛伦兹力 $qvB$ 方向相反，当

$qE=qvB\implies v=\frac{E}{B}$

时粒子匀速直线通过。只有速度恰为 $v=\frac{E}{B}$ 的粒子才能通过，与电荷量、正负、质量无关，故称 速度选择器。

质谱仪

质谱仪（Mass Spectrograph）测量带电粒子的质量与比荷。粒子经速度选择器后以 $v=\frac{E}{B}$ 进入磁感应强度为 $B'$ 的偏转磁场做圆周运动，打在底片上，测出直径 $2r$：

$r=\frac{mv}{qB'}\implies m=\frac{qB'r}{v}=\frac{qBB'r}{E}$

同种电荷、不同质量的粒子半径不同，落点分开，据此分辨同位素。

回旋加速器

回旋加速器（Cyclotron）用来把带电粒子加速到很高能量。两个 D 形金属盒接高频交变电压，粒子在盒内磁场中做圆周运动、在缝隙处被电场加速：

• 磁场使粒子做圆周运动，$T=\frac{2\pi m}{qB}$ 与速度无关，故交变电压周期与之相同即可持续加速；
• 每次经缝隙加速一次，速度增大、半径增大，轨迹为一系列半径渐增的半圆；
• 最大动能由最大半径 $R$（盒的半径）决定：

$E_k=\frac{1}{2}mv_{\max}^2=\frac{q^2B^2R^2}{2m}$

粒子能量受盒半径限制；相对论效应使高速粒子周期变长、逐渐与固定频率的电压失步，是回旋加速器的能量上限来源。改进办法是让磁场随半径变强（同步加速器）或让电压频率随之变化（同步回旋加速器）。

安培力的应用

磁电式电流表

磁蹄形永磁铁两极间固定一圆柱形软铁芯，使空气隙中的磁场沿径向分布，通电线圈无论转到何位置都与磁感线平行、始终受最大力矩 $M=NBIS$。线圈偏转扭紧游丝，游丝产生正比于偏角的回复力矩 $M'=K\alpha$，二者平衡时

$NBIS=K\alpha\implies \alpha=\frac{NBS}{K}I$

偏角 $\alpha$ 与电流 $I$ 成正比，故电流表 刻度均匀。常用的电流表、电压表大多由磁电式电流计改装而成。

直流电动机

矩形通电线圈在匀强磁场中所受合力为零，但两条边上的安培力不共线，构成使线圈转动的力偶，力偶矩

$M=NBIS\sin\theta$

其中 $\theta$ 为线圈平面法线与磁场的夹角。线圈平面与磁感线平行时（$\theta=90^\circ$）力矩最大，与磁感线垂直时（$\theta=0$）力矩为零，此位置称 死点。换向器（一对相互绝缘的半圆截片）在越过死点时自动改变线圈中的电流方向，使力矩始终朝同一方向，线圈便能连续单向旋转，靠惯性冲过死点。

电磁感应

电磁感应现象与楞次定律

只要穿过闭合回路的 磁通量发生变化，回路中就产生感应电流，这一现象称 电磁感应（Electromagnetic Induction），产生的电流称 感应电流。

产生感应电流的条件：

• 电路 闭合；
• 穿过闭合回路的 磁通量变化（$\Delta\Phi\neq 0$）。

磁通量变化的常见方式：磁场变（$B$ 变）、面积变（$S$ 变）、二者夹角变（导体在磁场中转动或平动）。注意磁通量变化率 $\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ 不为零才有电流，磁通量本身很大但不变则无感应电流。

楞次定律（Lenz's Law）判断感应电流方向：感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化。核心是「阻碍」——增反减同：

• 原磁通量增大时，感应电流磁场与原磁场方向 相反；
• 原磁通量减小时，感应电流磁场与原磁场方向 相同。

确定方向的步骤：

1. 明确原磁场方向及穿过回路的磁通量是增还是减；
2. 由楞次定律定出感应电流磁场方向（阻碍变化）；
3. 由右手螺旋定则反推感应电流方向；
4. 若还要分析受力，感应电流在 原磁场 中受安培力，方向仍是阻碍变化。

「阻碍」的多重含义（阻碍而非阻止，变化仍在发生）：

变化情形	感应电流的效果
磁通量增	感应电流磁场反向，阻碍其增大
磁通量减	感应电流磁场同向，阻碍其减小
相对运动	安培力阻碍相对运动（来拒去留）
面积变化	阻碍面积变化（增缩减扩）

对导体切割磁感线的情形，也可直接用 右手定则（伸开右手，磁感线穿入手心，大拇指指导体运动方向，四指指感应电流方向），它与楞次定律结论一致。若导体不构成闭合回路，虽无电流，右手定则仍可判断电势高低——四指指向的一端电势高。

法拉第电磁感应定律

电磁感应的实质 是产生 感应电动势（Induced Electromotive Force）。只要磁通量变化就有感应电动势，回路闭合时才有感应电流；回路不闭合，有电动势而无电流。

法拉第电磁感应定律（Faraday's Law）：电路中感应电动势的大小，与穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。对 $n$ 匝线圈：

$\varepsilon=n\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$

由 $\Delta\Phi=\Delta(BS)$ 展开，磁通量变化可分两类：$S$ 不变而 $B$ 变（感生），$B$ 不变而 $S$ 变（动生）。这两者的区分只有相对意义：磁棒插入静止线圈，在地面系看是感生，在随磁棒运动的参考系看则是动生。

• 感生电动势 由变化的磁场引起。麦克斯韦指出，变化的磁场会在周围激发一种 感应电场（涡旋电场）：它不由电荷激发，电场线闭合，不是保守场。即使没有导体，涡旋电场也存在；有闭合导体时，涡旋电场驱动自由电荷形成感应电流。
• 动生电动势 由导体切割磁感线引起，其本质是导体中自由电荷随导体运动、受洛伦兹力沿导体方向的分量把电荷「泵」向一端。

导体棒切割磁感线时，设棒长 $L$、以速度 $v$ 垂直匀强磁场 $B$ 且垂直自身运动：

$\varepsilon=BLv$

这是 $\varepsilon=n\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ 在切割情形下的特例（$\Delta\Phi=BL\cdot v\Delta t$）。若 $v$ 与 $B$ 成 $\theta$ 角，则 $\varepsilon=BLv\sin\theta$（只有垂直于 $B$ 的速度分量有效）。

两式的适用场景：

公式	适用	说明
$\varepsilon=n\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$	求一段时间平均值	磁通量变化率通用
$\varepsilon=BLv$	求某时刻瞬时值	导体切割磁感线，$v$ 为瞬时速度

用 $\varepsilon=BLv$ 且 $v$ 为瞬时速度时求得瞬时电动势；$v$ 为平均速度时求得平均电动势。

转动切割

一根长 $L$ 的导体棒在垂直于磁场的平面内绕一端以角速度 $\omega$ 转动，$\Delta t$ 内扫过扇形面积 $\Delta S=\frac{1}{2}L^2\omega\Delta t$，故

$\varepsilon=\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=\frac{1}{2}BL^2\omega$

相当于以中点速度 $\frac{1}{2}\omega L$ 平动切割。均匀磁场中匀速旋转的整块圆盘一般无电流；只有把盘心与边缘接入负载，或磁场不均匀时才有电流。

电磁感应中的电路与图像

感应电动势的电源是产生电动势的那段导体（如切割磁感线的棒），其余部分为外电路。计算电流用闭合电路欧姆定律：

$I=\frac{\varepsilon}{R+r}$

其中 $r$ 为电源（导体棒）内阻，$R$ 为外电路电阻。棒两端电压（路端电压）$U=IR=\varepsilon-Ir$。

导体棒受安培力 $F=BIL=\frac{B^2L^2v}{R+r}$。安培力方向由楞次定律（或左手定则）判断，总是阻碍棒的运动。这类问题常与牛顿运动定律、动量、能量结合：

• 力学法：单杆匀速时安培力与外力平衡，$F_{\text{外}}=\frac{B^2L^2v}{R+r}$；加速 / 减速时由 $ma=F_{\text{外}}-\frac{B^2L^2v}{R+r}$ 分析，速度变则电流、安培力都变，往往趋于 匀速（收尾速度） 或停止。
• 能量法：外力做的功或减少的动能，转化为电阻上的焦耳热，$Q=W_{\text{外}}-\Delta E_k$。安培力做负功即电能增多，做正功即电能减少。
• 动量法：对导体棒取极短时间 $\Delta t$，由 $BIL\Delta t=m\Delta v$ 累加得冲量 $BLq=m\Delta v$，其中 $q$ 是通过棒的电荷量。凡涉及时间、末速度而不必求过程细节的问题，动量法往往最简。

通过导体棒的 电荷量 有两条互补的求法：

$$\begin{aligned} q & =n\frac{\Delta\Phi}{R+r}=\frac{BL\Delta x}{R+r} \\ q & =\frac{m(v_t-v_0)}{BL} \end{aligned}$$

前者由磁通量变化算，只需知道位移 $\Delta x$ 而与过程无关；后者由动量定理算。二者联立可得 $\frac{\Delta v}{\Delta x}=\frac{B^2L^2}{m(R+r)}$，即速度变化量与位移成正比。

双杆模型：两根可动导体棒放在导轨上，用系统动量守恒（合外力为零时）分析。达到稳定时——无外力则两杆共速、回路无电流；有外力则加速度相同、回路电流恒定。

互感与自感

互感

两个相邻线圈，一个线圈中电流变化引起穿过另一个线圈的磁通量变化，从而在其中产生感应电动势，这一现象称 互感（Mutual Induction）。互感把能量从一个线圈传到另一个线圈，变压器就是利用互感工作的。

自感

由于导体本身的电流发生变化而产生的电磁感应现象称 自感（Self-induction），产生的电动势称 自感电动势。自感电动势总要阻碍导体中原电流的变化：

• 电流增大时，自感电动势方向与原电流相反，阻碍其增大；
• 电流减小时，自感电动势方向与原电流相同，阻碍其减小。

自感电动势的大小 $\varepsilon_L=L\frac{\Delta I}{\Delta t}$，其中 $L$ 是 自感系数（电感），单位亨利（Henry），符号 $\text{H}$。线圈越长、匝数越多、横截面积越大、有铁芯，$L$ 越大。

典型现象：

• 通电自感：开关闭合瞬间，自感线圈相当于阻值由无穷大逐渐减小的电阻，串联的灯泡电流增长滞后、逐渐变亮；
• 断电自感：开关断开瞬间，自感线圈相当于电动势由某值逐渐减小到零的电源，维持电流。若原来通过线圈的电流大于通过并联灯泡的电流（即线圈直流电阻较小），断电瞬间灯泡会「闪亮」一下再熄灭。

自感的作用是「阻碍变化」，使电流不能突变，是电的「惯性」。储存在线圈磁场中的能量为 $W=\frac{1}{2}LI^2$。日光灯的镇流器（大自感线圈）在启动器突然断电时产生很大的自感电动势，与电源电压叠加击穿灯管内气体使其发光；正常发光后又对交流分压，维持灯管工作。切断大电感电路时的自感电动势会在开关处拉出电弧，故须用安全开关。

涡流、电磁阻尼和电磁驱动

• 涡流（Eddy Current）：块状金属处在变化的磁场中，内部感应出旋涡状电流。涡流生热是电磁炉、高频感应炉的原理，也是安检门、探雷器的工作依据；变压器、电动机的铁芯用相互绝缘的硅钢片叠成、并选用电阻率大的硅钢，以切断涡流路径、减小涡流损耗；
• 电磁阻尼：导体在磁场中运动时，感应电流受安培力，方向总是阻碍其运动，起阻尼作用（如电表的指针阻尼、电磁天平）；
• 电磁驱动：磁场运动带动其中导体运动（如感应电动机的转子随旋转磁场转动）。

电动机与反电动势

电动机线圈转动时既受安培力驱动，又在切割磁感线，产生方向与电源电压相反的 反电动势 $U_{\text{反}}$。电路方程为

$U=U_{\text{反}}+IR$

其中 $R$ 为线圈电阻。两端乘以 $I$ 得 $UI=U_{\text{反}}I+I^2R$，故输入电功率 $UI$ 中，$U_{\text{反}}I$ 转化为机械功率 $P_{\text{机}}$，$I^2R$ 为线圈发热。可见电能之所以能变机械能，正是通过反电动势实现的，且恒有

$UI>I^2R$

若电动机被卡死（转速为零），反电动势消失，电流骤增，输入电能 全部 变为焦耳热，可能烧毁电机。凡电动机正常转动，欧姆定律仍成立，只是加在线圈上的电压要扣去反电动势。

交变电流

交变电流的产生与描述

大小和方向都随时间做周期性变化的电流称 交变电流（Alternating Current，AC），简称交流；方向不随时间变化的电流称直流（Direct Current，DC）。

线圈在匀强磁场中 匀速转动 产生正弦式交变电流。线圈平面与磁场垂直的位置称 中性面，此处磁通量最大、变化率为零，电动势为零、电流方向恰在此改变。设线圈匝数 $n$、面积 $S$、磁感应强度 $B$、角速度 $\omega$，从线圈经过 与磁场平行 的位置（磁通量为零、切割最快）开始计时：

$e=nBS\omega\sin\omega t=\varepsilon_m\sin\omega t$

峰值（最大值）为 $\varepsilon_m=nBS\omega$，出现在线圈平面与磁场平行的位置。一个周期内线圈两次经过中性面（电动势为零、电流反向）、两次经过平行位置（电动势达峰值）。

正弦交流的描述量：

物理量	符号	含义
周期	$T$	完成一次周期性变化所需时间
频率	$f$	每秒完成周期性变化的次数，$f=\frac{1}{T}$
角频率	$\omega$	$\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}$
峰值	$\varepsilon_m$	最大瞬时值
瞬时值	$e$	某时刻的即时数值

我国工频交流 $f=50\ \text{Hz}$，周期 $T=0.02\ \text{s}$。

交变电流的有效值

交流的 有效值 依据电流的 热效应 定义：让交流与某恒定电流在相同时间内、通过相同电阻产生相同的热量，则该恒定电流的值就是这个交流的有效值。

对 正弦式 交流，有效值与峰值的关系为

$$\begin{aligned} I & =\frac{I_m}{\sqrt2} \\ U & =\frac{U_m}{\sqrt2} \end{aligned}$$

即有效值是峰值的 $\frac{1}{\sqrt2}\approx 0.707$ 倍。

• 交流电压表、电流表读数、用电器额定值、保险丝的熔断电流，均指 有效值；
• 「$220\ \text{V}$ 市电」的 $220\ \text{V}$ 是有效值，峰值约为 $220\sqrt2\approx 311\ \text{V}$；
• 求焦耳热、功率一律用有效值，$P=UI=I^2R=\frac{U^2}{R}$（此处均为有效值）。

$\frac{1}{\sqrt2}$ 这个关系 只对正弦交流成立。非正弦交流须回到定义、按热效应相等求。例如前半周期电流 $I_a$、后半周期 $I_b$ 的方波，由 $I^2RT=I_a^2R\frac{T}{2}+I_b^2R\frac{T}{2}$ 得有效值 $I=\sqrt{\frac{I_a^2+I_b^2}{2}}$，即电流的方均根。

物理量	表示
瞬时值	$e=\varepsilon_m\sin\omega t$
峰值	最大瞬时值 $\varepsilon_m$
有效值	正弦时为 $\frac{\varepsilon_m}{\sqrt2}$，按热效应定义
平均值	由 $\bar\varepsilon=n\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ 算，用于求电荷量

平均值与有效值不同：求通过导体的 电荷量 $q=\bar It=\frac{\bar\varepsilon}{R+r}t=\frac{n\Delta\Phi}{R+r}$ 时用平均值，求 热量 时用有效值。

变压器

变压器（Transformer）由闭合铁芯和绕在其上的原、副线圈组成，利用互感改变交流电压：原线圈接电源，变化的电流在铁芯中激发变化的磁场，磁场几乎全部穿过副线圈，在副线圈中产生感应电动势。铁芯用来约束磁感线、减小漏磁。理想变压器忽略各种损耗，原、副线圈的电压与匝数成正比：

$\frac{U_1}{U_2}=\frac{n_1}{n_2}$

理想变压器输入功率等于输出功率，$P_1=P_2$，即 $U_1I_1=U_2I_2$，故电流与匝数成反比：

$\frac{I_1}{I_2}=\frac{n_2}{n_1}$

高压线圈匝数多、电流小，用较细的导线；低压线圈匝数少、电流大，用较粗的导线。

分析要点（因果链：原线圈电压决定副线圈电压，负载决定副线圈电流，再决定原线圈电流）：

• $U_2$ 由 $U_1$ 和匝数比决定，与负载无关；
• $I_2$ 由 $U_2$ 和副线圈电路的负载决定；
• $I_1$ 由 $I_2$ 和匝数比决定；
• 副线圈开路时 $I_2=0$，$I_1=0$，原线圈几乎不取电流。

变压器只改变交流电压，不能变换直流（直流磁通量不变，副线圈无感应电动势）。多个副线圈时，输入功率等于各副线圈输出功率之和：$U_1I_1=U_2I_2+U_3I_3+\dots$，也可写成 $n_1I_1=n_2I_2+n_3I_3+\dots$。

处理变压器与电阻混联的动态问题有两个常用技巧：

• 等效电阻：副线圈只接电阻 $R_0$ 时，由 $\frac{U_1^2}{R}=\frac{U_2^2}{R_0}$ 得变压器在原电路中的等效电阻 $R=\frac{n_1^2}{n_2^2}R_0$；
• 归算法：只问纯电阻电路的变化趋势时，可假想变压器 $n_1=n_2$，把它「短接」去掉，直接当作导线连接来判断增减。

电能的输送

远距离输电要减小输电线上的功率损耗。设输送功率 $P$、输电电压 $U$、输电线电阻 $R$，则线上电流 $I=\frac{P}{U}$，损耗功率

$P_{\text{损}}=I^2R=\left(\frac{P}{U}\right)^2R=\frac{P^2R}{U^2}$

在输送功率 $P$ 一定时，$P_{\text{损}}$ 与输电电压 $U$ 的 平方成反比，故 高压输电 能大幅减小损耗。这是远距离输电升压的根本原因。发电机输出电压一般只有 $10\ \text{kV}$ 左右，需升压到几百千伏送出，我国输电干线已用到 $500\ \text{kV}$、$750\ \text{kV}$，特高压达 $1100\ \text{kV}$。电压也不是越高越好——越高对线路绝缘和变压器的要求越高、造价越大，须综合权衡。

输电系统的典型结构：发电机 $\to$ 升压变压器 $\to$ 高压输电线 $\to$ 降压变压器 $\to$ 用户。

计算要点：

• 输电线上的电压降 $U_{\text{损}}=IR$，用户电压 $U_{\text{用}}=U_2-U_{\text{损}}$（$U_2$ 为升压后送出电压）；
• 输电效率 $\eta=\frac{P-P_{\text{损}}}{P}=\frac{P_{\text{用}}}{P}$；
• 减小损耗的两条途径：提高输电电压 $U$，或减小输电线电阻 $R$（用粗导线、低电阻率材料），但提高电压更有效。

典型模型

带电粒子在有界磁场中的运动

• 画圆定圆心：圆心在过入射点、垂直于入射速度的直线上；结合出射条件（垂直边界、对称等）确定半径与圆心角；
• 临界与极值：求粒子恰好射出 / 不射出、最大 / 最小半径时，抓住轨迹与边界相切或恰过端点的临界位置；
• 对称性：粒子从直边界射入再射出，入射与出射点关于过圆心的垂线对称，速度方向的偏转角等于对应圆心角；
• 旋转圆模型：入射方向未知而速率一定时，一族轨迹圆的圆心落在以入射点为心、$r$ 为半径的圆上，粒子在磁场中能到达的最远距离为 $2r$。圆形磁场中，从一点向各方向射出、且轨迹半径等于场半径的一束粒子，出射时速度互相平行；反之平行射入者会聚于一点（磁聚焦）。

单杆与双杆导轨

导体棒在磁场中沿导轨滑动，是电磁感应与力学综合的核心模型：

• 恒力单杆：受恒定外力，随速度增大安培力增大，加速度减小，最终达 收尾速度（加速度为零），此时 $F_{\text{外}}=\frac{B^2L^2v_m}{R+r}$；
• 无外力单杆：只受安培力，做减速运动直至停止，全过程动能转化为焦耳热，$Q=\frac{1}{2}mv_0^2$，位移由 $BLq=BL\cdot\frac{\Delta\Phi}{R+r}=m\Delta v$ 求；
• 双杆系统：两杆均可动，用动量守恒（系统合外力为零时）分析，最终两杆共速、回路无电流；
• 含电容单杆：电容稳定时视为断路，但棒加速时电动势变化会给电容充电、形成电流 $I=C\frac{\Delta U}{\Delta t}=CBLa$，安培力 $CB^2L^2a$，代入牛顿第二定律得 $a=\frac{mg}{m+CB^2L^2}$ 为定值，棒做匀加速运动。

线圈转动产生交流

• 从平行位置计时（磁通量为零、变化最快）：$e=\varepsilon_m\sin\omega t$，电动势按正弦规律；
• 从中性面计时（磁通量最大、变化为零）：$e=\varepsilon_m\cos\omega t$，电动势按余弦规律；
• 一个周期内线圈两次经过平行位置（电动势峰值）、两次经过中性面（电动势为零），电流方向改变两次。

必记公式表

物理量	公式	说明
磁感应强度	$B=\frac{F}{IL}$	定义式，$I\perp B$
磁通量	$\Phi=BS\cos\theta$	$\theta$ 为面法线与 $B$ 夹角
安培力	$F=BIL\sin\theta$	左手定则定方向
法拉第定律	$\varepsilon=n\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$	求平均电动势
切割电动势	$\varepsilon=BLv$	$v$、$B$、$L$ 两两垂直
电磁波	$c=\lambda f$	真空 $c=3\times 10^8\ \text{m/s}$
洛伦兹力	$F=qvB\sin\theta$	垂直于 $v$，不做功
圆周运动半径	$r=\frac{mv}{qB}$	洛伦兹力提供向心力
圆周运动周期	$T=\frac{2\pi m}{qB}$	与速度、半径无关
速度选择器	$v=\frac{E}{B}$	电场力与洛伦兹力平衡
转动电动势	$\varepsilon=\frac{1}{2}BL^2\omega$	绕一端在垂直面内转动
自感电动势	$\varepsilon_L=L\frac{\Delta I}{\Delta t}$	阻碍电流变化
电动势峰值	$\varepsilon_m=nBS\omega$	线圈平面与 $B$ 平行时
正弦有效值	$U=\frac{U_m}{\sqrt2}$	仅正弦成立
变压器电压	$\frac{U_1}{U_2}=\frac{n_1}{n_2}$	理想变压器
变压器电流	$\frac{I_1}{I_2}=\frac{n_2}{n_1}$	由 $P_1=P_2$ 得
输电损耗	$P_{\text{损}}=\frac{P^2R}{U^2}$	$P$ 定时与 $U^2$ 反比