电场与电路

静电场及其应用

电荷

两种电荷

自然界只有 正电荷 与 负电荷 两种。丝绸摩擦过的玻璃棒带正电，毛皮摩擦过的橡胶棒带负电；同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。

电荷无法脱离物质单独存在，它依附于 质子 与 电子 这样的载流子：高中阶段可认为正电荷只存在于质子内、负电荷只存在于电子内。一个物体的电量就是其内部所有质子、电子电量的代数和，代数和为正则带正电，为负则带负电，为零则不显电性。物体不带电不代表内部没有电荷，只是正、负电荷恰好抵消。

• 电荷量（Electric Charge）用 $Q$ 或 $q$ 表示，单位库仑 $(\text{C})$。电荷量只表示电荷多少，不表示方向；
• 题目里的「电量」有时指电量的绝对值。比如说「带负电，电量为 $2.0\times 10^{-6}\ \text{C}$」，真实电量是 $-2.0\times 10^{-6}\ \text{C}$；比较 $q_1<q_2$ 也常指 $|q_1|<|q_2|$。为避免歧义，正电量常写成带正号的形式，如 $q=+2.0\times 10^{-6}\ \text{C}$；
• 当题目写「$A$ 电量为 $+q$，$B$ 电量为 $-2q$」时，默认 $q>0$，即 $A$ 带正电、$B$ 带负电。

起电方式

三种起电方式，动的始终只有电子，正电荷（质子）从不移动。

方式	原理	结果
摩擦起电	绝缘体间电子从一物转移到另一物	两物体带等量异种电荷
接触起电	电荷在导体间重新分配	电荷从一导体转移到另一导体
感应起电	电场使导体内电荷重新分布	近端带异种电荷、远端带同种电荷

• 摩擦起电 发生在绝缘体之间，本质是不同物质束缚电子的能力不同：束缚能力弱的一方失去表面电子。丝绸束缚电子强于玻璃棒，故玻璃棒失电子带正电、丝绸得电子带负电；
• 接触起电 发生在导体之间。两个 完全相同 的金属球接触，电量会平分为 $\frac{q_1+q_2}{2}$，如 $+4q$ 与 $-2q$ 接触后各带 $q$。不完全相同的球不一定平分，这是常见易错点；
• 感应起电 是带电体对不接触导体的作用。外电荷使导体内自由电子重新分布，靠近端感应出异种电荷、远端留下同种电荷。带电体能吸起轻小物体正基于此：近端异种电荷受到的吸引力大于远端同种电荷受到的排斥力，合力表现为吸引。

三种方式的本质都是 电荷的转移，而非创造电荷。

电荷守恒定律

电荷守恒定律（Law of Conservation of Charge）：电荷既不会创生，也不会消灭，只能从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持不变。更普遍的表述是：一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变。

自然界的电荷是量子化的。任何带电体的电荷量都是 元电荷 $e$ 的整数倍：

$$e=1.60\times 10^{-19}\ \text{C}$$

一个质子与一个电子电量的绝对值都等于 $e$。既然电量只能是 $e$ 的整数倍，它就不是连续变化的量——甚至因为 $1\ \text{C}$ 不是 $e$ 的整数倍，没有物体的电量恰为 $1\ \text{C}$。

比值 $\frac{q}{m}$ 称为带电粒子的 比荷。电子的比荷约为 $1.76\times 10^{11}\ \text{C/kg}$。

库仑定律

内容

库仑定律（Coulomb's Law）：真空中两个 静止点电荷 之间的相互作用力，与它们电荷量的乘积成正比，与它们距离的二次方成反比，作用力方向沿两点电荷的连线。

$$F=k\frac{q_1 q_2}{r^2}$$

其中 静电力常量 $k=9.0\times 10^9\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$。

库仑定律与电磁场叠加原理一起，构成了静电学的全部物理基础，其余内容都是在此之上展开的数学方法。

适用条件

• 两电荷都是 点电荷：带电体的大小与它们间距离相比可忽略（一般要求间距 $r\gg$ 带电体半径 $R$）；
• 处于 真空（空气中近似成立）；
• 两电荷相对 静止。

库仑力是一对作用力与反作用力，等大、反向、沿连线，同种电荷相斥、异种相吸。计算时先用绝对值求出 $F$ 的大小，方向再由电性判断，不把负号代入公式。

带电球体相距过近而不能视作点电荷时，两球会相互感应起电，使电荷分布不均：两球同种电荷时实际斥力小于 $k\frac{|q_1||q_2|}{r^2}$，异种电荷时实际引力大于 $k\frac{|q_1||q_2|}{r^2}$。也正因如此，$r\to 0$ 时静电力趋于无穷大的说法是错的——此时带电体早已不能看作点电荷，库仑定律不再适用。

三点电荷平衡

三个点电荷仅受彼此静电力而都处于平衡，需满足几条定性结论：

• 三点共线：不共线时，第三个电荷所受两力不在一条直线上，无法平衡；
• 两同夹异：三电荷电性依次为正、负、正或负、正、负——两端同性、中间异性；
• 两大夹小、近小远大：中间电荷电量绝对值最小，且离电量绝对值较小的那个较近。

定量关系由「中心电荷」受力平衡给出：取任二电荷，电量为 $q_1$、$q_2$，到第三个电荷的距离为 $r_1$、$r_2$，则

$$\frac{|q_1|}{|q_2|}=\frac{r_1^2}{r_2^2}$$

即 电量绝对值之比等于距离之比的平方。求具体电量、位置时选已知量最多的式子列方程，电性再由定性结论补齐。

电场 电场强度

电场

电荷周围存在 电场（Electric Field），电荷间的相互作用通过电场发生。电场对放入其中的电荷有力的作用，这种力称为 电场力。

电场强度

放入电场中某点的检验电荷受到的电场力 $F$ 与它的电荷量 $q$ 的比值，称为该点的 电场强度（Electric Field Strength）：

$$E=\frac{F}{q}$$

单位为 $\text{N/C}$，也可写作 $\text{V/m}$。电场强度是 矢量，方向规定为 正电荷 在该点所受电场力的方向。

• $E$ 由电场本身决定，与检验电荷 $q$ 是否存在、电荷量多少无关；
• 已知某点 $E$，电荷 $q$ 受力 $F=qE$。正电荷受力与 $E$ 同向，负电荷反向。

点电荷的场强

由库仑定律与场强定义可得点电荷 $Q$ 在距离 $r$ 处产生的场强：

$$E=k\frac{Q}{r^2}$$

该式只适用于 点电荷 产生的电场，不适用于匀强电场等其他情形。多个点电荷共同产生的场强按 矢量叠加（平行四边形定则）求合场强。

电场线

电场线是为形象描述电场引入的 假想曲线，曲线上每点的切线方向即该点场强方向。

• 电场线从 正电荷（或无穷远）出发，终止于 负电荷（或无穷远），不闭合、不相交、不中断；
• 电场线的 疏密 表示场强大小：密处场强大，疏处场强小；
• 电场线不是电荷运动的轨迹。

电场类型	电场线特征
匀强电场	一系列 间隔相等的平行直线
正点电荷	由电荷出发向四周辐射的直线
负点电荷	从四周指向电荷的直线
等量异种电荷	从正电荷出发终止于负电荷，连线中点场强最强
等量同种电荷	连线中点场强为零

匀强电场：各点场强大小相等、方向相同的电场，如两平行带电金属板之间（边缘除外）的电场。

静电场中的能量

电场力做功 电势能

电场力做功的特点

在电场中移动电荷时电场力做功。电场力做功与路径无关，只与初、末位置有关——这一点与重力做功类似，说明静电力是保守力。

匀强电场中，沿电场方向移动电荷 $q$，位移在场强方向上的分量为 $d$，则电场力做功：

$$W=qEd$$

电势能

电荷在电场中具有的势能称为 电势能（Electric Potential Energy），用 $E_p$ 表示。电场力做功等于电势能的减少量：

$$W_{AB}=E_{pA}-E_{pB}$$

• 电场力做 正功，电势能 减小；做 负功，电势能 增大；
• 电势能是 相对量，通常取无穷远（或大地）处为零势能点。

电势 电势差

电势

电荷在电场中某点的电势能 $E_p$ 与其电荷量 $q$ 的比值，称为该点的 电势（Electric Potential）：

$$\varphi=\frac{E_p}{q}$$

单位为伏特 $(\text{V})$。电势是 标量，由电场本身决定，与检验电荷无关。多个点电荷共同产生的电场，某点电势等于各电荷单独存在时该点电势的代数和。

• 沿电场线方向，电势 逐渐降低；
• 正电荷在高电势处电势能大，负电荷在低电势处电势能大。

等势面 是电势相等的点构成的面。它有两条常用性质：等势面与电场线处处垂直；沿等势面移动电荷时电场力不做功。等差等势面越密，该处场强越大，与地理等高线的疏密类比。

电势差

电场中两点 $A$、$B$ 电势之差，称为 $A$、$B$ 间的 电势差（电压）：

$$U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B$$

电荷 $q$ 从 $A$ 移到 $B$，电场力做功与电势差的关系：

$$W_{AB}=qU_{AB}$$

电势差是 标量，$U_{AB}=-U_{BA}$。电势差与零势能点的选取无关，是更常用的物理量。

物理量	符号	矢/标量	是否与检验电荷有关	是否与零点选取有关
电场强度	$E$	矢量	无关	——
电势能	$E_p$	标量	有关	有关
电势	$\varphi$	标量	无关	有关
电势差	$U$	标量	无关	无关

匀强电场中场强与电势差的关系

匀强电场中，沿电场方向相距 $d$ 的两点间电势差为 $U$，则：

$$E=\frac{U}{d}$$

这说明场强单位可写作 $\text{V/m}$，与 $\text{N/C}$ 等价。$d$ 是沿 电场方向 的距离，不是任意两点的距离。

用 $U=Ed$ 判断电势时容易在正负号上出错。稳妥的办法是让下标顺着电场线方向书写：电场线由 $A$ 指向 $B$ 就列 $U_{AB}=Ed_{AB}=\varphi_A-\varphi_B$，从而 $\varphi_A>\varphi_B$，正负号自然正确。

电容器

电容器与电容

电容器（Capacitor）：由两个彼此绝缘又相互靠近的导体组成，能储存电荷与电能。给电容器充电即在两极板上积累等量异种电荷。

电容（Capacitance）：电容器所带电荷量 $Q$ 与两极板间电势差 $U$ 的比值，反映储存电荷的能力：

$$C=\frac{Q}{U}$$

单位为法拉 $(\text{F})$，常用 $\mu\text{F}$、$\text{pF}$：$1\ \text{F}=10^6\ \mu\text{F}=10^{12}\ \text{pF}$。电容由电容器本身决定，与 $Q$、$U$ 无关，$C=\frac{Q}{U}$ 只是定义式而非决定式。

平行板电容器

平行板电容器的电容由几何与介质决定：

$$C=\frac{\varepsilon_r S}{4\pi kd}$$

其中 $S$ 为正对面积，$d$ 为板间距，$\varepsilon_r$ 为介质的相对介电常数。正对面积越大、板间距越小、介质相对介电常数越大，电容越大。

动态分析先看电源接法，再由 $C=\frac{Q}{U}$、$C=\frac{\varepsilon_r S}{4\pi kd}$、$E=\frac{U}{d}$ 三式联动推导：

• 保持连接电源（$U$ 不变）：改变 $d$、$S$ 使 $C$ 变，$Q=CU$ 随 $C$ 变，板间场强 $E=\frac{U}{d}$；
• 充电后断开电源（$Q$ 不变）：改变 $d$、$S$ 使 $C$ 变，$U=\frac{Q}{C}$ 随之变；而场强 $E=\frac{U}{d}=\frac{Q}{Cd}$，代入平行板电容式可知 $E=\frac{4\pi kQ}{\varepsilon_r S}$ 只与 $Q$、$S$ 有关，与 $d$ 无关。

带电粒子在电场中的运动

加速

带电粒子由静止经电压 $U$ 加速，电场力做功转化为动能，由动能定理：

$$qU=\frac{1}{2}mv^2$$

解出末速度 $v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$。此式对匀强、非匀强电场均适用，只需两点间电压确定。

偏转

带电粒子以速度 $v_0$ 垂直进入板长 $L$、板间距 $d$、电压 $U$ 的平行板匀强电场，做类平抛运动。

• 沿初速度方向匀速：$x=v_0 t$，穿越极板 $t=\frac{L}{v_0}$；
• 垂直方向匀加速，加速度 $a=\frac{qU}{md}$；
• 离开电场时的侧移量：

$$y=\frac{1}{2}at^2=\frac{qUL^2}{2mdv_0^2}$$

• 离开时垂直速度 $v_y=at$，偏转角满足 $\tan\theta=\frac{v_y}{v_0}$。

粒子恰好不打在板上的临界条件是侧移 $y=\frac{d}{2}$。示波器的偏转就基于这一原理。

电路及其应用

电源和电流

电流

电荷的定向移动形成 电流（Electric Current）。电流强度定义为单位时间内通过导体横截面的电荷量：

$$I=\frac{q}{t}$$

单位为安培 $(\text{A})$，由 $I=\frac{q}{t}$ 可知 $1\ \text{C}=1\ \text{A}\cdot\text{s}$。规定 正电荷定向移动的方向 为电流方向；金属导体中实际移动的是电子，故 电子流方向与电流方向相反，沿电流方向电势逐渐降低。电流强度是标量，「电流方向」并非「电流强度的方向」。

电流不依赖电源或导线，任何电荷的定向移动都可等效为电流。电子绕核运动可等效为环形电流，其大小为 $I=\frac{e}{T}$（$T$ 为周期）——因为在一个周期内经过任一横截面的电荷量恰为 $e$。

从微观看，设导体横截面积 $S$、自由电子数密度 $n$、定向移动平均速率 $v$，则电流为：

$$I=neSv$$

由此可辨清三个数量级差异悬殊的速度：电场建立速度 约等于光速 $3\times 10^8\ \text{m/s}$，闭合开关瞬间导线各处电子几乎同时开始移动，所以灯立刻亮；电子定向移动速度 仅 $10^{-5}\ \text{m/s}$ 量级；电子热运动速率 却高达 $10^5\ \text{m/s}$ 量级。

电源

电源是把其他形式的能转化为电能、维持电路两端电压的装置。电源内部靠 非静电力 把正电荷从低电势推向高电势，从而维持持续电流。

电路接通后会自动调整到 稳定状态：任一处流入的电荷量始终等于流出的电荷量，电荷分布稳定，形成 恒定电场。恒定电场的性质与静电场相同，静电场的一切关系在其中仍适用。高中只研究处于稳定状态的电路。

导体的电阻

欧姆定律

欧姆定律（Ohm's Law）：导体中的电流 $I$ 与其两端电压 $U$ 成正比，与电阻 $R$ 成反比：

$$I=\frac{U}{R}$$

电阻 $R=\frac{U}{I}$ 反映导体对电流的阻碍作用，单位欧姆 $(\Omega)$，$1\ \Omega=1\ \text{V/A}$。$R=\frac{U}{I}$ 是电阻的定义式，其值只由导体本身决定，与 $U$、$I$ 无关。

以电压 $U$ 为横轴、电流 $I$ 为纵轴画出的图线称为 伏安特性曲线。金属导体温度一定时 $R$ 为常数，图线是过原点的直线，称为 线性元件；灯丝、二极管、气态导体等为 非线性元件，图线弯曲，其电阻随电流改变。

tip

非线性元件上欧姆定律不再成立，但 $R=\frac{U}{I}$ 的定义仍保留。求某点电阻时，应取该点与原点连线的斜率 $\frac{U}{I}$，而不是曲线在该点的切线斜率 $\frac{\Delta U}{\Delta I}$——只有线性元件二者才相等。

电阻定律

同种材料的导体，其电阻与长度 $L$ 成正比，与横截面积 $S$ 成反比：

$$R=\rho\frac{L}{S}$$

电阻率 $\rho$ 只与材料和温度有关，单位 $\Omega\cdot\text{m}$，是电阻的决定式。温度对电阻率的影响随材料而异：

• 金属的电阻率随温度升高而增大；
• 半导体相反，且变化灵敏，可制成热敏电阻；
• 合金的电阻率几乎不随温度变化。

某些金属在极低温下电阻率突降为零，即 超导现象。将导线拉长时体积不变，需注意 $L$ 增大的同时 $S$ 减小。

串联电路和并联电路

特性	串联	并联
电流	处处相等 $I=I_1=I_2$	支路之和 $I=I_1+I_2$
电压	各段之和 $U=U_1+U_2$	各支路相等 $U=U_1=U_2$
总电阻	$R=R_1+R_2$	$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$
分配关系	电压与电阻成正比	电流与电阻成反比

$n$ 个相同电阻 $R_0$ 串联总阻 $nR_0$，并联总阻 $\frac{R_0}{n}$。并联总电阻小于任一支路电阻。两电阻并联时总阻可直接写作 $R=\frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}$（积在和上），此时支路分流满足 $I_1=I\cdot\frac{R_2}{R_1+R_2}$。

warning

并联「电流与电阻成反比」指电流之比等于电阻倒数之比 $I_1:I_2:\dots:I_n=\frac{1}{R_1}:\frac{1}{R_2}:\dots:\frac{1}{R_n}$，只有两条支路时才化简为 $I_1:I_2=R_2:R_1$。三条及以上时不能简单倒序，如 $\frac{1}{1}:\frac{1}{2}:\frac{1}{3}=6:3:2$，而非 $3:2:1$。

电路分析基础

高中电路分析的根基是 基尔霍夫定律：稳定电路中，任一点流入电流等于流出电流；沿任一回路一周，各段电压的代数和为零（这等价于恒定电场也是保守场）。串并联规律都是它的简化版，只适用于纯电阻电路。

分析电路时，两个概念很有用：

• 导线条：不经过节点就能连通的一段导线。同一导线条内 电流处处相等；
• 导线段：不经过用电器就能连通的一段导线。同一导线段内 电势处处相等。

其中 节点 指三条及以上导线的交点。用电器有电流通过时，沿电流方向电势降低（$\varphi_a>\varphi_b$）；无电流时两端电势相等。

理想电表与电容器的处理是电路分析的关键：

元件	等效	说明
理想电流表	电阻为零，视作导线	串联接入，测所在导线条的电流
理想电压表	电阻无穷大，视作断路	测所接两点所在导线段的电势差
电容器	稳态视作断路	稳态后电量不变，两端满足 $C=\frac{Q}{U}$

判断 短路 有一条通用依据：若与某部分电路相连的所有导线电势都相等，则这部分被短路，成为电势与之相等的等势体，电流为零。注意必须是「所有」相连导线等电势——仅两条导线等电势不足以判定短路。此外还有一类 用电器不参与回路 的情形：电流无法经它形成闭合通路，它便没有电流，两端等电势。

电表改装

电流表由 灵敏电流计（内阻 $R_g$、满偏电流 $I_g$、满偏电压 $U_g=I_g R_g$）改装而成。稳态下电流计可视作纯电阻。

• 改装成大量程电流表：并联一个小阻值 分流电阻 $R_1$。要测量程 $I$，分流支路承担 $I-I_g$，由并联等压：

$$R_1=\frac{I_g R_g}{I-I_g}$$

• 改装成电压表：串联一个大阻值 分压电阻 $R_2$。要测量程 $U$，分压电阻承担 $U-U_g$，由串联等流：

$$R_2=\frac{U}{I_g}-R_g$$

量程越大：电流表要求分流电阻越小、电压表要求分压电阻越大。改装后电流表总电阻很小（近似导线），电压表总电阻很大（近似断路），正与前面理想电表的等效对应。

电能 能量守恒定律

电路中的能量转化

电功

电流做的功等于电场力移动电荷所做的功。一段电路两端电压 $U$、通过电荷 $q=It$，则 电功：

$$W=UIt$$

单位焦耳 $(\text{J})$。电功表示电能转化为其他形式能的多少，对任何电路都成立。

电功率

电功率是单位时间内电流做的功：

$$P=\frac{W}{t}=UI$$

单位瓦特 $(\text{W})$。$P=UI$ 是电功率的普适定义式，对纯电阻与非纯电阻电路都适用。

焦耳定律

电流通过导体产生的 热量：

$$Q=I^2Rt$$

这是电流的热效应，称为 焦耳定律（Joule's Law）。$Q=I^2Rt$ 对一切电路都成立，是计算电热的普适式。

纯电阻电路（电能全部转化为内能，如电阻、白炽灯）中电功等于电热，可推得多种等价表达式：

$$P=UI=I^2R=\frac{U^2}{R}$$

非纯电阻电路（如电动机、电解槽，有部分电能转化为机械能 / 化学能）中，$W=UIt$ 求 总电功，$Q=I^2Rt$ 求 发热，二者不再相等，$U\ne IR$，只能用 $P=UI$ 和 $Q=I^2Rt$，不能用 $\frac{U^2}{R}$ 求热。

关系式	纯电阻	非纯电阻
$W=UIt$	电功（=电热）	总电功
$Q=I^2Rt$	电热（=电功）	电热（仅发热部分）
$P=\frac{U^2}{R}$	适用	不适用

闭合电路的欧姆定律

电动势

电源的 电动势（Electromotive Force，EMF）等于非静电力把单位正电荷从负极移到正极所做的功，用 $\varepsilon$ 表示，单位伏特 $(\text{V})$。电动势反映电源把其他能转化为电能的本领，由电源本身决定。

闭合电路欧姆定律

闭合电路由电源（电动势 $\varepsilon$、内阻 $r$）与外电路（外阻 $R$）组成。电流为：

$$I=\frac{\varepsilon}{R+r}$$

电动势等于内、外电压之和：$\varepsilon=U_{\text{外}}+U_{\text{内}}=IR+Ir$。

路端电压

外电路两端电压即 路端电压：

$$U=\varepsilon-Ir$$

• 外阻 $R$ 增大 时，$I$ 减小，路端电压 $U$ 增大；
• 外阻 $R$ 减小 时，$I$ 增大，$U$ 减小；
• 断路（$R\to\infty$）：$I=0$，$U=\varepsilon$，路端电压等于电动势；
• 短路（$R=0$）：$I=\frac{\varepsilon}{r}$ 最大，$U=0$。

电源的功率关系：总功率 $P_{\text{总}}=\varepsilon I$，输出功率 $P_{\text{出}}=UI$，内耗功率 $P_r=I^2r$，三者满足 $P_{\text{总}}=P_{\text{出}}+P_r$。当外阻 $R=r$ 时电源输出功率最大。

必记公式表

物理量	公式	说明
库仑定律	$F=k\frac{q_1 q_2}{r^2}$	真空中两点电荷相互作用力
电场强度	$E=\frac{F}{q}$	定义式，矢量
点电荷场强	$E=k\frac{Q}{r^2}$	仅点电荷适用
电场力做功	$W_{AB}=qU_{AB}$	与路径无关
电势	$\varphi=\frac{E_p}{q}$	标量
匀强电场	$E=\frac{U}{d}$	$d$ 沿场强方向
电容	$C=\frac{Q}{U}$	由电容器本身决定
加速	$qU=\frac{1}{2}mv^2$	动能定理
偏转侧移	$y=\frac{qUL^2}{2mdv_0^2}$	类平抛
电流	$I=\frac{q}{t}$	定义式
电流微观式	$I=neSv$	$n$ 为自由电子数密度
欧姆定律	$I=\frac{U}{R}$	一段电路
电阻定律	$R=\rho\frac{L}{S}$	$\rho$ 与材料、温度有关
电功	$W=UIt$	普适
电功率	$P=UI$	普适
焦耳定律	$Q=I^2Rt$	普适
纯电阻电功率	$P=I^2R=\frac{U^2}{R}$	仅纯电阻
闭合电路欧姆定律	$I=\frac{\varepsilon}{R+r}$	全电路
路端电压	$U=\varepsilon-Ir$	外电压