《概率论与数理统计》

参考资料

• 《概率论与数理统计》4小时期末不挂科|附赠讲义 - 蜂考 - bilibili
• 概率论 - 维基百科
• 数理统计 - 维基百科

引入

这门课用数学语言处理 不确定性，方向相反的两半构成一个闭环：

• 概率论：已知分布 → 推算事件发生的概率与随机变量的特征（由因算果）。
• 数理统计：已知样本 → 反推总体的分布或参数（由果溯因）。

整门课的逻辑链条是：

$$\text{随机事件}\to\text{随机变量}\to\text{数字特征}\to\text{极限定理}\to\text{统计推断}$$

把前后两半接起来的桥梁，是 大数定律与中心极限定理：前者保证「样本均值会收敛于总体期望」，让「用样本反推总体」合法；后者给出正态近似的依据，让估计与检验有据可依。

章节大纲

• 随机事件与概率：样本空间、事件运算、古典 / 几何概型、条件概率、全概率与贝叶斯、独立性。
• 随机变量与分布：分布函数、离散 / 连续型常见分布、随机变量的函数、二维联合分布。
• 数字特征：期望、方差、协方差与相关系数、矩、协方差矩阵、全期望公式。
• 大数定律与中心极限定理：切比雪夫不等式、依概率收敛、三大数定律、CLT。
• 数理统计：抽样分布、三大分布、参数估计、区间估计、假设检验。

速查表

常用分布的期望与方差

分布	$E(X)$	$D(X)$
$B(n,p)$	$np$	$np(1-p)$
$P(\lambda)$	$\lambda$	$\lambda$
$U(a,b)$	$\dfrac{a+b}{2}$	$\dfrac{(b-a)^2}{12}$
$E(\lambda)$	$\dfrac{1}{\lambda}$	$\dfrac{1}{\lambda^2}$
$N(\mu,\sigma^2)$	$\mu$	$\sigma^2$

三大公式

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$$ $$P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)},\quad P(B_k\mid A)=\frac{P(B_k)P(A\mid B_k)}{\sum_i P(B_i)P(A\mid B_i)}$$

统计推断速查

推断目标	条件	枢轴量 / 统计量	分布
$\mu$（方差已知）	$\sigma^2$ 已知	$\dfrac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}$	$N(0,1)$
$\mu$（方差未知）	$\sigma^2$ 未知	$\dfrac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}$	$t(n-1)$
$\sigma^2$	$\mu$ 未知（用 $S$）	$\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$	$\chi^2(n-1)$
两总体方差之比	两正态总体	$\dfrac{S_1^2}{S_2^2}$	$F$ 分布

估计与检验同用这套枢轴量：区间估计反解参数范围，假设检验代入数据看是否落入拒绝域。

学习建议

• 抓住「条件概率」这条主线。 全概率、贝叶斯、独立性都是它的不同表述。
• 熟记常见分布。 形式 + 期望 + 方差 + 物理含义，考试和应用都会反复用到。
• 正态分布是终点。 各种检验、置信区间最后都归到标准正态表上。