二次型

参考资料

• 二次型 - 维基百科
• 正定矩阵 - 维基百科

引入

二次型 是 $n$ 个变量的 齐二次多项式：

$$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$$

研究目标：通过 变量替换，把它化为 平方和形式（标准形），从而判断符号性质。

二次曲面分类、最优化的二阶充分条件、概率论的协方差矩阵都依赖二次型理论。

矩阵表示

任何二次型都能写成 对称矩阵 形式：

$$f(\vec x)=\vec x^T A\vec x,\quad A^T=A$$

其中 $a_{ii}$ 为 $x_i^2$ 的系数，$a_{ij}=a_{ji}=\dfrac{1}{2}\times x_ix_j$ 的系数（$i\ne j$）。

矩阵 $A$ 称为二次型的 矩阵，$r(A)$ 称为二次型的 秩。

合同变换

合同

若存在可逆矩阵 $C$ 使：

$$B=C^T A C$$

则 $A,B$ 合同，记为 $A\simeq B$。

合同与相似

关系	定义	几何意义
相似	$P^{-1}AP=B$	同一线性变换在不同基下
合同	$C^T AC=B$	同一二次型在不同坐标下

实对称矩阵 正交相似 时，$Q^T=Q^{-1}$，相似与合同 同时成立。

标准形

定义

只含平方项的二次型：

$$f=d_1y_1^2+d_2y_2^2+\dots+d_ny_n^2$$

对应矩阵为对角阵 $\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)$。

化标准形的三种方法

方法	思路
正交变换法	求特征值 $\lambda_i$ 与正交矩阵 $Q$，$f=\lambda_1y_1^2+\dots+\lambda_ny_n^2$
配方法（拉格朗日）	逐个把含 $x_i$ 的项凑成完全平方
初等变换法	对 $(A\,\lvert\,E)$ 做相同的行列变换

正交变换法保留了几何性质（特征值即各方向缩放因子）；配方法和初等变换不保证。

规范形与惯性定理

规范形

把标准形继续化为只含 $\pm 1$ 和 $0$ 的形式：

$$f=y_1^2+\dots+y_p^2-y_{p+1}^2-\dots-y_{p+q}^2$$

惯性定理（西尔维斯特定律）

任意二次型经可逆线性变换化得的规范形 唯一： $p$（正惯性指数）、$q$（负惯性指数）、$r=p+q$（秩）由二次型本身决定，不依赖变换方式。

正定性

定义

设 $f(\vec x)=\vec x^T A\vec x$（$A$ 实对称）：

类型	对所有 $\vec x\ne\vec 0$
正定	$f(\vec x)>0$
负定	$f(\vec x)<0$
半正定	$f(\vec x)\ge 0$
半负定	$f(\vec x)\le 0$
不定	既能取正也能取负

正定的等价判定

以下条件相互等价：

1. $f$ 正定。
2. $A$ 的 所有特征值 都 $>0$。
3. $A$ 的 所有顺序主子式 都 $>0$。
4. 存在可逆矩阵 $P$ 使 $A=P^T P$。
5. 正惯性指数 $p=n$。
6. $A$ 合同于 $E$。

tip

顺序主子式判别法（赫尔维茨判据） 在计算上最便捷：

$$|A_1|>0,\,\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}>0,\,\dots,\,|A|>0$$

只需要算 $n$ 个不同阶的行列式。

负定的判定

$A$ 负定 $\iff -A$ 正定 $\iff$ 顺序主子式 奇数阶 $<0$，偶数阶 $>0$（即正负交替）。

应用

• 多元极值：海森矩阵正定 $\Rightarrow$ 极小值；负定 $\Rightarrow$ 极大值；不定 $\Rightarrow$ 鞍点。详见 多元微积分。
• 二次曲线 / 曲面分类：根据特征值符号判断椭圆、双曲、抛物等形状。
• 概率论：协方差矩阵半正定。