矩阵

参考资料

• 矩阵 - 维基百科
• 可逆矩阵 - 维基百科

引入

矩阵 是按 矩形阵列 排列的数表，记为 $A=(a_{ij})_{m\times n}$，表示 $m$ 行 $n$ 列。

矩阵的真正威力在于：它可以表示 线性变换。矩阵乘法对应 变换的复合。

基本运算

加法与数乘

$$(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij},\quad (kA)_{ij}=ka_{ij}$$

要求 $A,B$ 同型。

矩阵乘法

设 $A$ 为 $m\times n$，$B$ 为 $n\times p$，则 $C=AB$ 为 $m\times p$，其中：

$$c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$$

tip

矩阵乘法 不满足交换律：$AB\ne BA$（一般情况下）。但满足结合律、分配律。

行列数能对上才能相乘：「左列 = 右行」。

转置

$$(A^T)_{ij}=a_{ji}$$

重要性质：

$$(A+B)^T=A^T+B^T,\quad (kA)^T=kA^T$$ $$(AB)^T=B^T A^T,\quad (A^T)^T=A$$

特殊矩阵

名称	定义
零矩阵 $O$	所有元素为 $0$
单位矩阵 $E$	对角线为 $1$，其余为 $0$，$AE=EA=A$
对角矩阵	非对角线元素全为 $0$
对称矩阵	$A^T=A$
反对称矩阵	$A^T=-A$，对角线必为 $0$
正交矩阵	$A^T A=AA^T=E$，即 $A^{-1}=A^T$

逆矩阵

定义

若存在 $B$ 使 $AB=BA=E$，称 $A$ 可逆，$B$ 为其 逆矩阵，记为 $A^{-1}$。

可逆的判定

$A$ 可逆 $\iff |A|\ne 0\iff r(A)=n\iff A\vec x=\vec 0$ 只有零解。

求逆方法

伴随矩阵法：

$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$$

其中伴随矩阵 $A^*$ 的元素是 代数余子式的转置：$A^*_{ij}=A_{ji}$。

初等变换法：对 $(A\,|\,E)$ 做行变换，化为 $(E\,|\,A^{-1})$。

运算性质

$$(A^{-1})^{-1}=A,\quad (kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}\,(k\ne 0)$$ $$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1},\quad (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T,\quad |A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$$

初等变换

三种 初等行（列）变换：

1. 交换两行：$r_i\leftrightarrow r_j$。
2. 某行乘非零常数：$kr_i$。
3. 某行加另一行的 $k$ 倍：$r_i+kr_j$。

初等矩阵

对单位矩阵 $E$ 做一次初等变换得到的矩阵。左乘 等价于 行变换，右乘 等价于 列变换。

行阶梯形 & 行最简形

• 行阶梯形：非零行的首非零元（主元）所在列号严格递增。
• 行最简形：在行阶梯形基础上，主元为 $1$ 且主元所在列其余元素为 $0$。

任何矩阵都可经初等行变换化为唯一的行最简形。

矩阵的秩

定义

矩阵 $A$ 的 秩 $r(A)$ = 行阶梯形中非零行的个数 = $A$ 的最高阶非零子式的阶数。

性质

$$0\le r(A)\le\min(m,n)$$ $$r(A^T)=r(A),\quad r(kA)=r(A)\,(k\ne 0)$$ $$r(A+B)\le r(A)+r(B),\quad r(AB)\le\min(r(A),r(B))$$

满秩

• 列满秩：$r(A)=n$。
• 行满秩：$r(A)=m$。
• 方阵 $A$ 满秩 $\iff |A|\ne 0\iff A$ 可逆。

分块矩阵

把矩阵划分为若干 子块，可按子块作为「元素」进行运算（前提是分块方式相容）。

常见分块

$$\begin{pmatrix}A_1&O\\O&A_2\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A_1^{-1}&O\\O&A_2^{-1}\end{pmatrix}$$ $$\begin{vmatrix}A&O\\C&B\end{vmatrix}=|A|\cdot|B|$$