行列式

Summary

把方阵映射到一个数的函数，几何上是线性变换的体积缩放因子，为零当且仅当行（列）向量线性相关。从二、三阶对角线法则讲到排列逆序数与 n 阶的按排列定义，给出转置不变、交换变号、倍加不变等性质。展开部分是余子式、代数余子式与拉普拉斯展开；计算技巧含化三角形、加边法、范德蒙德行列式、行和相等提公因子、三对角行列式递推。最后用克拉默法则给出方阵唯一解的闭式，并连起行列式、可逆性、秩与方程组解的存在性。

参考资料

• 行列式 - 维基百科
• 克莱姆法则 - 维基百科
• 范德蒙矩阵 - 维基百科

引入

行列式（Determinant）是把一个 方阵 映射到一个 数 的函数，记为 $\det A$ 或 $|A|$。

不要把它当成一堆符号的机械组合。行列式有非常清晰的几何含义：它衡量一个线性变换把 空间「放大」了多少倍。

• 二阶行列式 = 两个行（列）向量张成的 平行四边形的有向面积。
• 三阶行列式 = 三个向量张成的 平行六面体的有向体积。
• $n$ 阶行列式 = $n$ 个向量张成的 $n$ 维 平行多面体的有向超体积。

「有向」是关键：面积/体积可以是负的，符号记录了变换有没有把空间 翻面（改变定向）。比如二维里若把一对基向量的左右关系对调，面积就变号。

由此立刻能看懂一条最重要的事实：

$$\det A=0\iff n\text{个行（列）向量线性相关}$$

因为体积为 $0$ 意味着这些向量被压扁到了更低维的子空间里，张不出「饱满」的 $n$ 维体。这正是后面判断矩阵 可逆性 的核心。

tip

记住一句话就抓住了主线：行列式是线性变换的「体积缩放因子」。 它告诉你单位立方体经过变换 $A$ 之后变成的图形，体积是原来的 $|\det A|$ 倍，而符号告诉你定向有没有翻转。$\det A=0$ 就是「被压扁了」。

几何意义

设 $A$ 把单位正方形的两条边 $\vec e_1,\vec e_2$ 分别送到列向量 $\vec a_1,\vec a_2$，那么这两个像向量张成的平行四边形面积恰好是 $|\det A|$。三维同理，得到平行六面体体积。

由此能 不算一个数 就理解行列式的几条性质：

• 把某一列翻倍，对应的平行四边形沿那个方向拉长一倍，面积也翻倍 —— 所以某一行（列）的公因子能提到行列式外。
• 交换两列，相当于把图形「翻面」，定向反转，面积变号。
• 给某一列加上另一列的若干倍（错切，shear），平行四边形被「推斜」但底和高不变，面积不变 —— 这正是「某行加另一行的 $k$ 倍行列式不变」。
• 两列相同（或成比例），平行四边形退化成一条线段，面积为 $0$。

乘法性质也变得显然：连续做两个变换 $A,B$，体积缩放因子相乘，所以：

$$\det(AB)=\det A\cdot\det B$$

定义

二阶与三阶

$$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$$ $$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}=a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1-a_2b_1c_3-a_1b_3c_2$$

记忆口诀：对角线法则（沙路法）—— 主对角线方向三项取正，副对角线方向三项取负。

例：算 $\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&10\end{vmatrix}$。正项是三条「左上到右下」对角线 $1\cdot5\cdot10+2\cdot6\cdot7+3\cdot4\cdot8=50+84+96=230$，负项是三条「右上到左下」对角线 $3\cdot5\cdot7+1\cdot6\cdot8+2\cdot4\cdot10=105+48+80=233$，相减得 $230-233=-3$。

tip

对角线法则 只对二阶、三阶成立，四阶及以上完全不能用。高阶行列式要么按定义（逆序数），要么按行（列）展开，要么化成三角形。

排列与逆序数

$n$ 阶行列式的一般定义建立在 排列（Permutation）之上。把 $1,2,\dots,n$ 的一个排列记作 $\sigma=(\sigma(1),\sigma(2),\dots,\sigma(n))$。

逆序数（Number of Inversions）$\tau(\sigma)$：排列中前面的数大于后面的数的「逆序对」个数。逆序数为偶则称 偶排列，为奇则称 奇排列。排列的 符号 为：

$$\operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)^{\tau(\sigma)}$$

例：求排列 $(3,1,4,2)$ 的逆序数。逐个数后面比它小的元素：$3$ 后面有 $1,2$ 两个比它小，记 $2$；$1$ 后面没有更小的，记 $0$；$4$ 后面有 $2$ 一个，记 $1$；$2$ 后面没有，记 $0$。合计 $\tau=2+0+1+0=3$，是奇排列，符号为 $(-1)^3=-1$。

例：用逆序数定义算 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}$。从每行各取一个分处不同列的元素，列下标取遍 $1,2,3$ 的全部 $3!=6$ 个排列，每项带符号 $(-1)^\tau$：

$$\begin{aligned} & (1,2,3),\tau=0:+a_{11}a_{22}a_{33} \\ & (2,3,1),\tau=2:+a_{12}a_{23}a_{31} \\ & (3,1,2),\tau=2:+a_{13}a_{21}a_{32} \\ & (3,2,1),\tau=3:-a_{13}a_{22}a_{31} \\ & (2,1,3),\tau=1:-a_{12}a_{21}a_{33} \\ & (1,3,2),\tau=1:-a_{11}a_{23}a_{32} \end{aligned}$$

六项相加正好是上面的三阶公式，对角线法则不过是它的图形记忆。

$n$ 阶（按排列定义）

$$\det A=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}$$

直观理解：行列式是「从每行各取一个元素、且这些元素分处不同列」的所有取法的乘积之和，每一项再按取法的奇偶性带上 $\pm$ 号。共有 $n!$ 项，正负项各占一半。

tip

这个定义计算量是 $n!$，纯粹用于理论分析，绝不要拿它去算具体行列式。实战靠展开和初等变换。但它解释了一个常用结论：行列式中只要某一行（或列）全为 $0$，每一项里都会含这一行的因子，于是行列式为 $0$。

性质

把 $A$ 的行（或列）看作一组向量，行列式满足下面这些性质。由于 $\det A^T=\det A$，对行成立的对列同样成立。

性质	描述
转置不变	$\det A^T=\det A$
交换两行（列）	行列式 变号
某行（列）有公因子 $k$	可把 $k$ 提到行列式外；故 $\det(kA)=k^n\det A$
两行（列）相同或成比例	行列式 为 $0$
某行（列）全为 $0$	行列式 为 $0$
某行加另一行的 $k$ 倍	行列式 不变
按某行（列）可加性	某行写成两行之和时，行列式可拆成两个行列式之和

由乘法性质 $\det(AB)=\det A\det B$ 还能推出：

$$\det(A^{-1})=\frac{1}{\det A},\det(A^m)=(\det A)^m$$

tip

「某行加另一行的 $k$ 倍」（记号 $r_i+kr_j$）是化简最常用的初等变换，它 不改变行列式值，是计算高阶行列式的主力。注意区分：交换两行要变号、某行乘 $k$ 要乘 $k$，只有「加倍数」这一种变换不影响结果。

按行（列）展开

余子式与代数余子式

• 余子式（Minor）$M_{ij}$：划去第 $i$ 行第 $j$ 列后，剩下的 $(n-1)$ 阶行列式。
• 代数余子式（Cofactor）$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$。

符号 $(-1)^{i+j}$ 排成棋盘格：左上角为 $+$，相邻格交替变号。

拉普拉斯展开定理

沿任意一行或一列展开，结果都等于行列式本身：

$$|A|=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij}(\text{按第 }i\text{ 行}),|A|=\sum_{i=1}^na_{ij}A_{ij}(\text{按第 }j\text{ 列})$$

实战中 挑零最多的那一行（列）展开，能少算很多项。

例：算 $\begin{vmatrix}3&0&0&2\\1&2&0&5\\4&1&3&0\\2&0&0&1\end{vmatrix}$。第 $3$ 列只有一个非零元 $a_{33}=3$，按它展开最省事：

$$|A|=a_{33}A_{33}=3\cdot(-1)^{3+3}\begin{vmatrix} 3 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$

这个三阶行列式的第 $2$ 列又只有 $a_{22}=2$ 非零，再按第 $2$ 列展开：

$$\begin{vmatrix} 3 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}=2\cdot(-1)^{2+2}\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=2(3-4)=-2$$

于是 $|A|=3\times(-2)=-6$。挑零多的行列展开，把一个四阶行列式两步压成了二阶。

重要恒等式

如果用某一行的元素去乘 另一行 的代数余子式再求和，结果恒为 $0$：

$$\sum_{j=1}^na_{ij}A_{kj}=\begin{cases} |A|, & i=k \\ 0, & i\ne k \end{cases}$$

直观解释：$i\ne k$ 时，这个和相当于把矩阵的第 $k$ 行换成了第 $i$ 行（两行相同）的行列式，自然为 $0$。这条恒等式正是 伴随矩阵 $AA^*=|A|E$ 的来源（详见 矩阵）。

计算技巧

化为三角形

最通用的方法：用 $r_i+kr_j$ 把行列式化成上（下）三角形，再取对角线元素之积。整个过程行列式值不变（只用了「加倍数」变换），若中途交换了行别忘了变号。

例：算 $\begin{vmatrix}2&1&-1\\1&3&2\\1&-1&3\end{vmatrix}$。先用第 $1$ 行把第 $2$、$3$ 行的首元消成 $0$（$r_2-\frac{1}{2} r_1$、$r_3-\frac{1}{2} r_1$，不变号）：

$$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} \xrightarrow{r_2-\frac{1}{2} r_1,r_3-\frac{1}{2} r_1} \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & \frac{5}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & -\frac{3}{2} & \frac{7}{2} \end{vmatrix}$$

再用第 $2$ 行消第 $3$ 行（$r_3+\frac{3}{5} r_2$）：

$$\xrightarrow{r_3+\frac{3}{5} r_2} \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & \frac{5}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 5 \end{vmatrix}=2\cdot\frac{5}{2}\cdot5=25$$

对角线相乘即得 $25$。若嫌分数烦，也可先把首行首列凑出 $1$ 再消，思路一致。

三角行列式

$$\begin{vmatrix} a_{11} & * & \cdots & * \\ & a_{22} & \cdots & * \\ & & \ddots & \vdots \\ 0 & & & a_{nn} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$$

上三角、下三角、对角行列式都等于 对角线元素之积。

加边法（升阶法）

当各行（列）有公共规律时，给行列式补一行一列、凑出便于消元的结构，再展开化简。常用形式是在左上角添一个 $1$、首行首列补上辅助元素，不改变原行列式的值。

例：算 $n$ 阶行列式 $D_n=\begin{vmatrix}a+1&1&\cdots&1\\1&a+1&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&1&\cdots&a+1\end{vmatrix}$（对角为 $a+1$，其余全 $1$）。在左上角加一行一列：

$$D_n=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & a+1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 1 & a+1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & a+1 \end{vmatrix}$$

首列除左上角全为 $0$，按首列展开值不变。现在每一行（除首行）减去首行，把 $a+1$ 变成 $a$、把那些 $1$ 变成 $0$：

$$\xrightarrow{r_i-r_1(i\ge2)} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ -1 & a & 0 & \cdots & 0 \\ -1 & 0 & a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & 0 & 0 & \cdots & a \end{vmatrix}$$

再把第 $2\sim(n+1)$ 列各乘 $\frac{1}{a}$ 加到第 $1$ 列（消去那些 $-1$），第 $1$ 列左上角变成 $1+\frac{n}{a}$，其余化零，化成下三角：

$$D_n=\left(1+\frac{n}{a}\right)a^n=a^{n-1}(a+n)$$

验证 $n=1$：原式应为 $a+1$，公式给 $a^0(a+1)=a+1$，吻合。

范德蒙德行列式

$$V_n=\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix}=\prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)$$

只要 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 两两不同，范德蒙德行列式就非零。这一点在多项式插值、特征值理论里反复出现 —— 它保证了「过 $n$ 个不同横坐标的点恰有唯一的 $n-1$ 次插值多项式」。

例：算 $\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&4&9\end{vmatrix}$。这是 $x_1=1,x_2=2,x_3=3$ 的三阶范德蒙德行列式，直接套公式 $\prod_{i<j}(x_j-x_i)$：

$$(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)=(2-1)(3-1)(3-2)=1\cdot2\cdot1=2$$

也可手算核对：第 $1$ 行不动，$r_3-r_2$、$r_2-r_1$ 后按第 $1$ 列展开同样得 $2$。识别出范德蒙德结构，能省去整套消元。

行（列）和相等

若每一行元素之和都等于同一个常数 $c$，可把各列加到第一列，提出公因子 $c$，再化简。这类「轮换对称」的行列式常用此法。

例：算 $\begin{vmatrix}3&1&1\\1&3&1\\1&1&3\end{vmatrix}$。每行元素之和都是 $5$，把第 $2$、$3$ 列加到第 $1$ 列，第 $1$ 列全变成 $5$，提出公因子：

$$\xrightarrow{c_1+c_2+c_3} \begin{vmatrix} 5 & 1 & 1 \\ 5 & 3 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \end{vmatrix} =5\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix}$$

再 $r_2-r_1$、$r_3-r_1$ 把第 $1$ 列下方消零，化成上三角：

$$=5\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}=5\cdot1\cdot2\cdot2=20$$

三对角与递推行列式

只有主对角线及其上下两条相邻对角线非零的行列式称 三对角行列式。它没有简单闭式，但按第一行（列）展开会落到 递推关系 上。设：

$$D_n=\begin{vmatrix} a & b & & & \\ c & a & b & & \\ & c & a & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & b \\ & & & c & a \end{vmatrix}$$

按第一行展开，第二项再按其第一列展开，得到递推式：

$$D_n=aD_{n-1}-bcD_{n-2}$$

例：算主对角全 $2$、上下相邻对角全 $1$ 的 $n$ 阶行列式（$a=2,b=c=1$）。递推为 $D_n=2D_{n-1}-D_{n-2}$，初值 $D_1=2$、$D_2=\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}=3$。逐项算：$D_3=2\cdot3-2=4$，$D_4=2\cdot4-3=5$，看出规律 $D_n=n+1$。它正是特征方程 $x^2-2x+1=0$ 有重根 $x=1$ 的情形，通解形如 $(A+Bn)\cdot1^n$，代初值得 $D_n=n+1$。

克拉默法则

设线性方程组 $A\vec x=\vec b$，其中 $A$ 是 $n$ 阶方阵且 $|A|\ne 0$，则方程组有 唯一解：

$$x_j=\frac{|A_j|}{|A|},j=1,2,\dots,n$$

其中 $A_j$ 是把 $A$ 的第 $j$ 列换成常数列 $\vec b$ 得到的矩阵。

例：用克拉默法则解 $\begin{cases}x_1+x_2+x_3=6\\x_1-x_2+2x_3=5\\2x_1+x_2-x_3=1\end{cases}$。系数行列式：

$$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}=1(1-2)-1(-1-4)+1(1+2)=-1+5+3=7\ne0$$

非零，故有唯一解。把第 $1$ 列换成常数列 $(6,5,1)^T$：

$$|A_1|=\begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}=6(1-2)-1(-5-2)+1(5+1)=-6+7+6=7$$

换第 $2$ 列、第 $3$ 列同理：

$$|A_2|=\begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 1 & 5 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}=14, |A_3|=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 1 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix}=21$$

于是 $x_1=\frac{|A_1|}{|A|}=1$、$x_2=\frac{14}{7}=2$、$x_3=\frac{21}{7}=3$。代回原方程：$1+2+3=6$、$1-2+6=5$、$2+2-3=1$，全部吻合。

tip

克拉默法则在 理论上 很漂亮（给出解的闭式表达），但 计算上很笨：解 $n$ 元方程组要算 $n+1$ 个 $n$ 阶行列式，远不如高斯消元高效。它的主要价值是理论分析，以及强调「$|A|\ne 0$」这个唯一解的前提。

适用条件

克拉默法则只在 系数矩阵为方阵且 $|A|\ne 0$ 时适用。一旦 $|A|=0$，法则失效，方程组要么无解、要么有无穷多解，此时只能改用 增广矩阵的秩 来判定（详见 线性方程组与向量组）。

齐次方程组

对齐次方程组 $A\vec x=\vec 0$（$A$ 为方阵）：

• $|A|\ne 0$：只有 零解。
• $|A|=0$：有 非零解。

几何上，$|A|=0$ 意味着变换把空间压扁，于是有非零向量被映成 $\vec 0$。

行列式与矩阵的关系

行列式 $\det A$	矩阵 $A$
$\ne 0$	可逆（非奇异），$r(A)=n$
$=0$	不可逆（奇异），$r(A)<n$

这张表是连接 行列式、可逆性、秩、方程组解的存在性 的枢纽，后续章节会反复用到。详见 矩阵。