行列式

参考资料

• 行列式 - 维基百科
• 克莱姆法则 - 维基百科

引入

行列式 是把 方阵 映射到一个 数 的函数。几何意义：

• 二阶行列式 = 平行四边形的 有向面积。
• 三阶行列式 = 平行六面体的 有向体积。
• $n$ 阶行列式 = $n$ 维平行多面体的 有向超体积，等于 $0$ 当且仅当 $n$ 个行向量 线性相关。

定义

二阶 & 三阶

$$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$$ $$\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}=a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1-a_2b_1c_3-a_1b_3c_2$$

记忆口诀：对角线法则（仅适用于二阶、三阶）。

$n$ 阶（按排列定义）

$$\det A=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma(i)}$$

$\operatorname{sgn}(\sigma)$ 是排列 $\sigma$ 的符号：偶排列为 $+1$，奇排列为 $-1$。

性质

性质	描述
转置不变	$\det A^T=\det A$
交换两行（列）	行列式 变号
某行（列）的公因子	可 提到行列式外
两行（列）相同或成比例	行列式 为 $0$
某行加另一行的 $k$ 倍	行列式 不变
分裂	某行能写成两行之和，行列式可拆成两个行列式之和

tip

「加另一行的 $k$ 倍」是化简最常用的初等变换，记号 $r_i+kr_j$。这种变换 不改变行列式值，是计算高阶行列式的关键。

按行（列）展开

余子式与代数余子式

• 余子式 $M_{ij}$：去掉第 $i$ 行第 $j$ 列后剩下的 $(n-1)$ 阶行列式。
• 代数余子式 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$。

展开定理

$$|A|=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$$

任取某一行（列）按对应代数余子式展开均可。

重要恒等式

$$\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{kj}=\begin{cases}|A|,&i=k\\0,&i\ne k\end{cases}$$

即「不同行（列）的元素与代数余子式之积求和为 $0$」。

特殊行列式

三角行列式

$$\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&\cdots\\&a_{22}&\cdots\\&&\ddots\\0&&&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$$

上 / 下三角行列式等于 对角线元素之积。

范德蒙德行列式

$$V_n=\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\x_1&x_2&\cdots&x_n\\x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\\\vdots&\vdots&&\vdots\\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}\end{vmatrix}=\prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)$$

克拉默法则

设线性方程组 $A\vec x=\vec b$，$A$ 为 $n$ 阶方阵且 $|A|\ne 0$，则方程组有 唯一解：

$$x_j=\frac{|A_j|}{|A|},\quad j=1,2,\dots,n$$

其中 $A_j$ 是把 $A$ 的第 $j$ 列换成 $\vec b$ 得到的矩阵。

齐次方程组

$A\vec x=\vec 0$ 有 非零解 $\iff |A|=0$。

行列式与矩阵的关系

行列式 $\det A$	矩阵 $A$
$\ne 0$	可逆（非奇异）
$=0$	不可逆（奇异），$r(A)<n$

详见 矩阵 一节。