《线性代数》

Summary

研究向量空间与线性映射的数学导览，把方程组、几何变换、数据降维统一在矩阵语言下。以「行列式 → 矩阵 → 线性方程组 → 特征值 → 二次型」为主线，每一节都是上一节的延伸。附速查表列出转置、逆、伴随、秩、迹等记号，以及乘积转置反序、行列式乘法、伴随公式等核心结论。学习建议强调几何直观与代数运算并重、抓住「秩」这条贯穿方程组解存在性的主线、把特征值当作后续机器学习与信号处理的核心，并动手把每个算例算到底。

参考资料

• 《线性代数》2小时期末不挂科|附赠讲义 - 一高数 - bilibili
• 《线性代数》2小时期末不挂科 - 蜂考 - bilibili
• 线性代数的本质 - 3Blue1Brown - bilibili
• 线性代数 - 维基百科

引入

线性代数 是研究 向量空间 与 线性映射 的数学。一切线性变换、方程组求解、几何投影、数据降维都可以统一在 矩阵 这一语言下。

本课的内在结构：

$$\text{行列式}\to\text{矩阵}\to\text{线性方程组}\to\text{特征值}\to\text{二次型}$$

每一节都是上一节的自然延伸。

章节大纲

• 行列式：定义、性质、按行/列展开、克拉默法则。
• 矩阵：运算、逆、初等变换、秩。
• 线性方程组与向量组：齐次/非齐次解结构、线性相关、极大无关组。
• 特征值与相似矩阵：特征值、特征向量、相似对角化、正交对角化。
• 二次型：标准形、正定性、合同变换。

速查表

重要符号

记号	含义
$A^T$	转置矩阵
$A^{-1}$	逆矩阵
$A^*$	伴随矩阵
$\det A$ 或 $\lvert A\rvert$	行列式
$r(A)$	矩阵的秩
$\operatorname{tr}(A)$	迹（对角线元素之和）
$E$ 或 $I$	单位矩阵

核心结论速查

$$(AB)^T=B^T A^T,(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1},(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$$ $$|AB|=|A|\cdot|B|,|A^T|=|A|,|A^{-1}|=\frac{1}{|A|},|kA|=k^n|A|$$ $$A A^*=A^* A=|A|E,A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*(|A|\ne 0)$$

学习建议

• 几何直观与代数运算并重。 行列式是体积缩放因子、矩阵是线性变换、特征向量是方向不变的轴 —— 每个概念都先想清楚它的几何画面，再去算。强烈推荐配合 3Blue1Brown 的《线性代数的本质》系列建立直觉。
• 抓住「秩」这条主线。 矩阵的秩、向量组的秩、方程组解的存在性，本质上是同一件事。
• 特征值是核心。 后续学概率统计、机器学习、信号处理都离不开特征值分解。
• 动手把每个算例从头算到尾。 各章节正文里嵌了大量「例：……」的具体计算（求逆、消元、对角化、配方），线代靠手算建立手感，光看不算等于没学。