数理逻辑

Summary

命题逻辑与谓词逻辑的推理体系。命题部分给五个联结词、真值表、蕴含的「前真后假才假」、NAND/NOR 完备性，再讲永真式分类、重要等值式与等值演算。范式含 DNF、CNF 与由真值表读出的主析取、主合取范式及极小极大项编号。推理列假言推理、拒取式等规则与直接证法、附加前提法、归谬法。谓词逻辑引入谓词、量词、约束与自由变元、量词否定与分配、多重量词次序及前束范式的化归。

参考资料

• 命题逻辑 - 维基百科
• 一阶逻辑 - 维基百科
• 合取范式 - 维基百科
• 前束范式 - 维基百科

引入

数理逻辑（Mathematical Logic）用数学方法研究 推理：什么样的论证是「站得住脚」的，跟内容无关，只看形式。它是计算机科学的基础——电路设计、程序验证、数据库查询、人工智能里的知识表示，本质上都是在跟逻辑打交道。

可以这样理解：逻辑把日常语言里的「因为……所以……」抽象成符号运算，于是「论证是否正确」就变成了「公式是否恒为真」这种可以机械检验的问题。这正是计算机擅长的事。

本章先讲 命题逻辑（只关心整句的真假），再讲 谓词逻辑（深入到句子内部的「对象」和「性质」）。

命题逻辑

命题

能 判断真假 的陈述句称为 命题（Proposition）。真值用 $1$（真）或 $0$（假）表示。

「明天会下雨」「$1+1=2$」是命题；「请关门！」「$x+1=3$」不是命题——前者是祈使句无所谓真假，后者的真假取决于 $x$，本身不确定。

不能再拆分的命题叫 原子命题，用 $p,q,r$ 等 命题变元 表示；由联结词组合而成的叫 复合命题。

联结词

联结词（Connective）是把命题粘起来的「运算符」，就像算术里的 $+-\times\div$。

符号	名称	读法
$\neg p$	否定	非 $p$
$p\land q$	合取	$p$ 且 $q$
$p\lor q$	析取	$p$ 或 $q$
$p\to q$	蕴含	若 $p$ 则 $q$
$p\leftrightarrow q$	等价	$p$ 当且仅当 $q$

直觉上：

• 合取 $p\land q$ 是「两个都要成立」，像电路里的 串联开关——全通才通。
• 析取 $p\lor q$ 是「至少一个成立」（注意是 可兼或，不是「二选一」），像 并联开关——有一个通就通。
• 蕴含 $p\to q$ 表达「承诺」：只要 $p$ 成立，就保证 $q$ 成立。它最容易让人困惑，下面单独说。
• 等价 $p\leftrightarrow q$ 是「两者真值一样」，即 $p,q$ 同真同假。

真值表

把所有变元的取值组合穷举一遍，列出复合命题的真值，就是 真值表（Truth Table）。$n$ 个变元有 $2^n$ 行。

$p$	$q$	$\neg p$	$p\land q$	$p\lor q$	$p\to q$	$p\leftrightarrow q$
0	0	1	0	0	1	1
0	1	1	0	1	1	0
1	0	0	0	1	0	0
1	1	0	1	1	1	1

tip

蕴含 $p\to q$ 只有「前真后假」时为假，其余情形都真。

最反直觉的是 $0\to$ 任何 = 真，对应「错误前提可以推出任何结论」。想象承诺「如果考一百分，就请你吃饭」——只要没考到一百分，无论我请不请，这句承诺都没被违背，所以算真。逻辑里的蕴含是这种「空泛成立」（vacuously true）的承诺，跟日常语言里隐含的因果关系并不一样。

联结词的完备性

一个有意思的事实：所有联结词都能用 $\neg$ 和 $\land$（或 $\neg$ 和 $\lor$）表示出来，比如 $p\to q\iff\neg p\lor q$。更进一步，单独一个 与非 $\uparrow$（NAND）或 或非 $\downarrow$（NOR）就能表示一切——这就是为什么数字电路里用 NAND 门可以搭出任何逻辑电路。

$$p\uparrow q\iff\neg(p\land q),p\downarrow q\iff\neg(p\lor q)$$

命题公式

由命题变元、联结词、括号按规则组成的式子称为 命题公式（合式公式，well-formed formula）。按真值情况分类：

• 永真式（重言式，Tautology）：在所有赋值下恒为真。
• 永假式（矛盾式，Contradiction）：恒为假。
• 可满足式（Satisfiable）：至少存在一种赋值使其为真。

判断一个公式属于哪类，最朴素的办法就是列真值表。「公式是否可满足」这个问题（SAT）是计算机科学里第一个被证明 NP-完全的问题，地位很特殊。

例：判断 $(p\to q)\to(\neg q\to\neg p)$ 是哪类公式。逐行列真值表（记 $A=p\to q$、$B=\neg q\to\neg p$）：

$p$	$q$	$p\to q$	$\neg q\to\neg p$	$A\to B$
0	0	1	1	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	1
1	1	1	1	1

最后一列恒为 $1$，故它是 重言式——这正是逆否等价 $p\to q\iff\neg q\to\neg p$ 的另一种说法。

例：用真值表判断 $p\to(q\to r)$ 与 $(p\land q)\to r$ 是否等值。两式各有 $2^3=8$ 行，只需比较输出列。对照后会发现两列逐行相同（如 $p=q=1,r=0$ 时，左边 $1\to(1\to0)=1\to0=0$，右边 $(1\land1)\to0=1\to0=0$；其余各行同理），故二者 等值。这条规律叫 输出律（exportation），编程里「嵌套 if 等价于条件用 && 连起来」就是它。

重要等值式

若 $A\leftrightarrow B$ 是重言式，称 $A,B$ 等值，记 $A\iff B$。等值式是公式化简的「运算法则」，相当于代数里的恒等式。

双重否定	$\neg\neg p\iff p$
幂等律	$p\land p\iff p$，$p\lor p\iff p$
交换律	$p\land q\iff q\land p$，$p\lor q\iff q\lor p$
结合律	$(p\land q)\land r\iff p\land(q\land r)$
分配律	$p\land(q\lor r)\iff(p\land q)\lor(p\land r)$
德摩根律	$\neg(p\land q)\iff\neg p\lor\neg q$
吸收律	$p\lor(p\land q)\iff p$
零一律	$p\lor 1\iff 1$，$p\land 0\iff 0$
同一律	$p\lor 0\iff p$，$p\land 1\iff p$
排中律	$p\lor\neg p\iff 1$
矛盾律	$p\land\neg p\iff 0$
蕴含等价	$p\to q\iff\neg p\lor q$
逆否等价	$p\to q\iff\neg q\to\neg p$
等价展开	$p\leftrightarrow q\iff(p\to q)\land(q\to p)$

tip

蕴含等价 $p\to q\iff\neg p\lor q$ 是化简里最常用的一步：它把不好处理的 $\to$ 消成 $\neg$ 和 $\lor$，剩下的就能套德摩根律和分配律了。

等值演算

不列真值表、纯靠等值式一步步替换来证明等值或化简，称 等值演算。每一步都把局部子式换成等值的形式，整体真值不变。

例：化简 $(p\lor q)\land(p\lor\neg q)$。

$$\begin{aligned} (p\lor q)\land(p\lor\neg q) & \iff p\lor(q\land\neg q) & & \text{分配律（提取 }p\text{）} \\ & \iff p\lor 0 & & \text{矛盾律} \\ & \iff p & & \text{同一律} \end{aligned}$$

例：证明 $\neg(p\to q)\iff p\land\neg q$，这是「否定一个蕴含」的标准结果。

$$\begin{aligned} \neg(p\to q) & \iff\neg(\neg p\lor q) & & \text{蕴含等价} \\ & \iff\neg\neg p\land\neg q & & \text{德摩根律} \\ & \iff p\land\neg q & & \text{双重否定} \end{aligned}$$

直觉上「并非『若 $p$ 则 $q$』」就是「$p$ 成立却 $q$ 不成立」——承诺被违背的唯一情形。

例：证明 $(p\to q)\land(p\to r)\iff p\to(q\land r)$。

$$\begin{aligned} (p\to q)\land(p\to r) & \iff(\neg p\lor q)\land(\neg p\lor r) & & \text{蕴含等价} \\ & \iff\neg p\lor(q\land r) & & \text{分配律} \\ & \iff p\to(q\land r) & & \text{蕴含等价} \end{aligned}$$

化简到最后若得到 $1$ 就是重言式、得到 $0$ 就是矛盾式，所以等值演算也能用来判别公式类型。

范式

直接比较两个公式是否等值很麻烦，于是约定一种 标准写法，让等值的公式长得一样，这就是 范式（Normal Form）。

先约定两个词：

• 文字（Literal）：命题变元 $p$ 或其否定 $\neg p$。
• 简单合取式 / 简单析取式：若干文字的合取（如 $p\land\neg q$）/ 析取（如 $\neg p\lor q$）。

两种基本范式：

• 析取范式（Disjunctive Normal Form，DNF）：若干 简单合取式之析取，形如 $(p\land q)\lor(\neg p\land r)$。
• 合取范式（Conjunctive Normal Form，CNF）：若干 简单析取式之合取，形如 $(p\lor q)\land(\neg p\lor r)$。

任何公式都能化成 DNF 和 CNF，步骤是：

1. 用 蕴含等价 消去 $\to$、$\leftrightarrow$。
2. 用 德摩根律 把 $\neg$ 一直内推到变元前。
3. 用 分配律 展开成需要的形状。

主范式

普通范式不唯一（$p\lor(p\land q)$ 和 $p$ 都是 DNF），不便于比较。主范式 通过「每个变元在每个子式里恰好出现一次」消除了这种自由度，于是 每个公式的主范式唯一。

• 极小项（minterm）：每个变元恰出现一次的简单合取式，如 $p\land\neg q\land r$。它在真值表里 恰有一行为真。
• 极大项（maxterm）：每个变元恰出现一次的简单析取式，如 $\neg p\lor q\lor\neg r$。它 恰有一行为假。
• 主析取范式（principal DNF）：把真值表里所有取值为 真 的行对应的极小项析取起来。
• 主合取范式（principal CNF）：把所有取值为 假 的行对应的极大项合取起来。

直觉很简单：每个极小项「点亮」真值表里的一行，主析取范式就是把所有该真的行点亮、其余保持假。这也说明了为什么它唯一——真值表唯一，对应的极小项集合就唯一。

tip

记口诀：主析取看真行、用极小项；主合取看假行、用极大项。两者互补，知道一个就能写出另一个。

极小项与极大项的编号

约定一个变元顺序（如 $p,q,r$），把每个极小项里的变元 正则号为 $1$、否定号为 $0$，读成二进制就是它的编号 $m_i$。极大项相反：变元正则号为 $0$、否定号为 $1$。

例：三变元下 $m_5=m_{101}=p\land\neg q\land r$（它只在 $p=1,q=0,r=1$ 这行为真）；$M_5=M_{101}=\neg p\lor q\lor\neg r$（它只在 $p=1,q=0,r=1$ 这行为假）。同一编号的极小项与极大项互为否定：$\neg m_i\iff M_i$。

由此有一条对偶关系：若真值表里真的行编号集合是 $S$，则：

$$\text{主析取范式}=\bigvee_{i\in S}m_i, \text{主合取范式}=\bigwedge_{i\notin S}M_i$$

求主范式完整算例

例：求 $p\to(q\land r)$ 的主析取范式与主合取范式。先列真值表（变元序 $p,q,r$，编号 $0\sim7$）：

编号	$p$	$q$	$r$	$q\land r$	$p\to(q\land r)$
0	0	0	0	0	1
1	0	0	1	0	1
2	0	1	0	0	1
3	0	1	1	1	1
4	1	0	0	0	0
5	1	0	1	0	0
6	1	1	0	0	0
7	1	1	1	1	1

真的行是 $\set{0,1,2,3,7}$，假的行是 $\set{4,5,6}$。于是主析取范式取这五行的极小项：

$$m_0\lor m_1\lor m_2\lor m_3\lor m_7 =\neg p\land\neg q\land\neg r\lor\dots\lor p\land q\land r$$

主合取范式取另外三行的极大项（编号 $4=100$、$5=101$、$6=110$）：

$$M_4\land M_5\land M_6 =(\neg p\lor q\lor r)\land(\neg p\lor q\lor\neg r)\land(\neg p\lor\neg q\lor r)$$

两者所用的编号正好互补（$\set{0,1,2,3,7}$ 与 $\set{4,5,6}$ 并起来是全部 $8$ 个），这是检验有没有写漏的好办法。也可不画真值表、直接由等值演算化成主析取范式：把公式化成析取范式后，对每个缺变元的简单合取式补上 $(x\lor\neg x)$ 再展开即可。

推理

推理形式

从一组 前提 $A_1,\dots,A_n$ 推出 结论 $B$，记为：

$$A_1\land A_2\land\dots\land A_n\implies B$$

推理 有效（Valid）当且仅当 $(A_1\land\dots\land A_n)\to B$ 是 重言式——也就是说，只要前提全真，结论就不可能假。注意「有效」只管形式对不对，前提本身是真是假它不负责。

常用推理规则

名称	规则
假言推理	$(p\to q)\land p\implies q$
拒取式	$(p\to q)\land\neg q\implies\neg p$
析取三段论	$(p\lor q)\land\neg p\implies q$
假言三段论	$(p\to q)\land(q\to r)\implies p\to r$
化简律	$p\land q\implies p$
附加律	$p\implies p\lor q$
构造性二难	$(p\to q)\land(r\to s)\land(p\lor r)\implies q\lor s$

证明方法

实际证明一个推理有效，除了列真值表，更常用的是 构造证明：从前提出发，每一步引用一条推理规则或等值式，逐行推到结论。常见策略有三种：

• 直接证法：从前提出发，正向逐步推出结论。
• 附加前提法（CP 规则）：当结论形如 $A\to B$ 时，把 $A$ 当作额外前提加进去，只要能推出 $B$，原结论即成立。依据是 $(\Gamma\land A)\to B$ 与 $\Gamma\to(A\to B)$ 等值。
• 归谬法（反证法）：把结论的 否定 $\neg B$ 加入前提，若能推出 矛盾（如 $r\land\neg r$，即 $0$），则说明 $\neg B$ 与前提不相容，故 $B$ 成立。

tip

结论是 蕴含式 时优先用附加前提法，能把目标拆小；结论是 否定式 或难以正面下手时用归谬法。两者本质都是把「难证的目标」换成「好证的等价命题」。

直接证法算例

例：前提 $p\to q$、$q\to r$、$p$，证结论 $r$。从前提正向推：

$$\begin{aligned} & (1)p & & \text{前提} \\ & (2)p\to q & & \text{前提} \\ & (3)q & & (1)(2)\text{假言推理} \\ & (4)q\to r & & \text{前提} \\ & (5)r & & (3)(4)\text{假言推理} \end{aligned}$$

附加前提法算例

例：前提 $p\to(q\to r)$、$p$，证结论 $q\to r$。结论是蕴含式，把前件 $q$ 当附加前提加入：

$$\begin{aligned} & (1)q & & \text{附加前提} \\ & (2)p & & \text{前提} \\ & (3)p\to(q\to r) & & \text{前提} \\ & (4)q\to r & & (2)(3)\text{假言推理} \\ & (5)r & & (1)(4)\text{假言推理} \end{aligned}$$

推出 $r$，故附加前提下结论成立，由 CP 规则原结论 $q\to r$ 得证。

归谬法算例

例：前提 $p\lor q$、$p\to r$、$q\to r$，证结论 $r$（这正是「构造性二难」的一个特例）。把结论的否定 $\neg r$ 加入前提找矛盾：

$$\begin{aligned} & (1)\neg r & & \text{否定结论} \\ & (2)p\to r & & \text{前提} \\ & (3)\neg p & & (1)(2)\text{拒取式} \\ & (4)q\to r & & \text{前提} \\ & (5)\neg q & & (1)(4)\text{拒取式} \\ & (6)\neg p\land\neg q & & (3)(5)\text{合取} \\ & (7)p\lor q & & \text{前提} \\ & (8)\neg(p\lor q) & & (6)\text{德摩根律} \\ & (9)(p\lor q)\land\neg(p\lor q) & & (7)(8)\text{矛盾} \end{aligned}$$

得到矛盾 $0$，故 $\neg r$ 与前提不相容，结论 $r$ 成立。

谓词逻辑

命题逻辑把整句话当成一个不可分的真值，于是无法刻画「所有人都会死」与「苏格拉底是人」推出「苏格拉底会死」这种推理——因为这里的关键是句子内部的「所有」和「是人」。谓词逻辑（Predicate Logic，又称一阶逻辑）深入句子内部，引入 谓词 和 量词。

谓词与量词

• 个体词：被研究的对象，用 $a,b,c$ 表示 常元，$x,y,z$ 表示 变元；它们的取值范围叫 个体域（论域）。
• 谓词：刻画对象的性质或对象间的关系，记 $P(x)$（「$x$ 是人」）、$R(x,y)$（「$x$ 大于 $y$」）。代入具体个体后才有真假。
• 全称量词 $\forall x$：「对所有 $x$」，是一种「无限的合取」。
• 存在量词 $\exists x$：「存在 $x$」，是一种「无限的析取」。

于是开头那个推理可写成 $\forall x(P(x)\to D(x))$、$P(a)$，推出 $D(a)$。

tip

量词与个体域 紧密绑定，翻译时容易出错：

• 全称量词通常配 蕴含：「所有学生都努力」是 $\forall x(S(x)\to H(x))$，而不是 $\forall x(S(x)\land H(x))$（后者意思是「万物都既是学生又努力」）。
• 存在量词通常配 合取：「有学生努力」是 $\exists x(S(x)\land H(x))$，而不是 $\exists x(S(x)\to H(x))$。

翻译算例

设个体域为全体人，$S(x)$：「$x$ 是学生」，$P(x)$：「$x$ 用功」，$M(x,y)$：「$x$ 认识 $y$」。

例：「所有学生都用功」译为 $\forall x(S(x)\to P(x))$。若误写成 $\forall x(S(x)\land P(x))$，意思变成「每个人既是学生又用功」——把非学生也卷进来了，错。

例：「有的学生用功」译为 $\exists x(S(x)\land P(x))$。若误写成 $\exists x(S(x)\to P(x))$，因为蕴含「前件假即真」，只要存在 任何一个非学生（让 $S(x)$ 假）整句就为真，跟「有学生用功」毫无关系，错得离谱。

例：「没有学生不用功」。先直译为 $\neg\exists x(S(x)\land\neg P(x))$，再用量词否定律推进否定：

$$\neg\exists x(S(x)\land\neg P(x)) \iff\forall x\neg(S(x)\land\neg P(x)) \iff\forall x(S(x)\to P(x))$$

化回了「所有学生都用功」——两种说法等值，这也验证了翻译没错。

例：「每个学生都认识某个用功的人」译为 $\forall x\bigl(S(x)\to\exists y(P(y)\land M(x,y))\bigr)$。注意 $\exists y$ 在 $\forall x$ 的辖域内，所以「某个用功的人」可以因学生而异——这正是 $\forall\exists$ 次序的含义。

约束变元与自由变元

落在某个量词辖域内、被该量词「管住」的变元称 约束变元（Bound Variable），其余称 自由变元（Free Variable）。含自由变元的公式真假未定，像命题里的 $x+1=3$；闭式（无自由变元）才有确定真假。

换名规则：约束变元可以改名（$\forall xP(x)\iff\forall yP(y)$），但新名字不能与辖域内已有的其他变元冲突，否则会改变含义。这跟编程里函数局部变量改名同理——只要不撞名，叫什么都行。

谓词的等值演算

命题逻辑的所有等值式在谓词逻辑里依然成立，此外还有专门处理量词的规则：

量词否定（量词的德摩根律）：

$$\neg\forall xP(x)\iff\exists x\neg P(x), \neg\exists xP(x)\iff\forall x\neg P(x)$$

含义直白：「不是所有都满足」等于「存在一个不满足」；「不存在满足的」等于「所有都不满足」。否定一个量词，就是把它换成另一个量词、并把否定推进去。

量词辖域收缩与扩张（设 $Q$ 中不含 $x$，故 $x$ 在 $Q$ 中自由出现与否不影响）：

$$\forall x(P(x)\land Q)\iff\forall xP(x)\land Q, \exists x(P(x)\lor Q)\iff\exists xP(x)\lor Q$$

量词分配：

$$\forall x(P(x)\land Q(x))\iff\forall xP(x)\land\forall xQ(x)$$ $$\exists x(P(x)\lor Q(x))\iff\exists xP(x)\lor\exists xQ(x)$$

tip

分配只在「$\forall$ 对 $\land$」「$\exists$ 对 $\lor$」时是等值；交叉情形 只能单向蕴含，不能划等号。例如：

$$\forall xP(x)\lor\forall xQ(x)\implies\forall x(P(x)\lor Q(x))$$

反过来不成立——「每个数要么正要么负」是真的，但「所有数都正」和「所有数都负」都假。

多重量词的次序

同类量词可以交换次序，异类量词 不能随便交换：

$$\forall x\forall yP(x,y)\iff\forall y\forall xP(x,y), \exists x\exists yP(x,y)\iff\exists y\exists xP(x,y)$$

但 $\forall$ 与 $\exists$ 的次序事关重大：

$$\exists y\forall xP(x,y)\implies\forall x\exists yP(x,y)$$

只能这样单向推，反向不成立。设 $P(x,y)$ 为「$y$ 是 $x$ 的母亲」：

• $\forall x\exists yP(x,y)$：每个人都有母亲（母亲可以因人而异）——真。
• $\exists y\forall xP(x,y)$：存在一个人是 所有人 共同的母亲——假。

关键在于：后置量词依赖前置量词时，$\exists y$ 选的 $y$ 是否允许随 $x$ 变。$\forall x\exists y$ 允许 $y$ 随 $x$ 变，$\exists y\forall x$ 要求一个 $y$ 通吃——后者强得多。极限定义里 $\forall\varepsilon\exists N$ 的次序之所以不能调换，正是这个道理。

前束范式

把所有量词 提到公式最前面、辖域覆盖其后整个式子的形式，称 前束范式（Prenex Normal Form）：

$$(Q_1 x_1)(Q_2 x_2)\cdots(Q_k x_k)M$$

其中每个 $Q_i$ 是 $\forall$ 或 $\exists$，$M$ 是 不含量词 的公式（母式）。任何谓词公式都能化成前束范式，步骤：

1. 消去 $\to$、$\leftrightarrow$。
2. 用量词否定律把 $\neg$ 推到谓词前。
3. 必要时 换名，避免不同量词用了同一变元而提取时冲突。
4. 用辖域扩张律把量词逐个提到最前。

前束范式把「量词结构」和「命题结构」彻底分开，是判定、模型论里进一步处理（如 Skolem 化）的标准起点。

例：求 $\forall xP(x)\to\exists xQ(x)$ 的前束范式。两个量词都用了 $x$，直接提取会冲突，所以先换名再提取：

$$\begin{aligned} \forall xP(x)\to\exists xQ(x) & \iff\neg\forall xP(x)\lor\exists xQ(x) & & \text{蕴含等价} \\ & \iff\exists x\neg P(x)\lor\exists xQ(x) & & \text{量词否定} \\ & \iff\exists x\neg P(x)\lor\exists yQ(y) & & \text{换名} \\ & \iff\exists x\exists y(\neg P(x)\lor Q(y)) & & \text{辖域扩张} \end{aligned}$$

母式 $\neg P(x)\lor Q(y)$ 已不含量词，前缀 $\exists x\exists y$ 即为所求。若中途不换名、把两个 $\exists x$ 直接合并，会错误地强迫「不用功」和「用功」指同一个 $x$，含义就变了——这是求前束范式最常见的错。