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代数结构

参考资料​

引入​

代数结构 = 集合 + 运算。当我们抽象出整数加法、矩阵乘法、置换合成的 共性，得到的一般框架就是代数结构。这是 线性代数 的延伸，也是计算机科学（编码、密码、形式语言）的工具。

二元运算​

集合 AA 上的 二元运算 是函数：

∗:A×A→A*:A\times A\to A

要求运算结果 仍在 AA 中（封闭性）。

性质​

名称定义
结合律(a∗b)∗c=a∗(b∗c)(a*b)*c=a*(b*c)
交换律a∗b=b∗aa*b=b*a
单位元 ee∀a, a∗e=e∗a=a\forall a,\,a*e=e*a=a
零元 θ\theta∀a, a∗θ=θ∗a=θ\forall a,\,a*\theta=\theta*a=\theta
逆元 a−1a^{-1}a∗a−1=a−1∗a=ea*a^{-1}=a^{-1}*a=e

单位元、零元若存在则 唯一；逆元若存在则唯一（要求结合律）。

半群与含幺半群​

  • 半群：满足 结合律 的代数系统 (S,∗)(S,*)。
  • 含幺半群（幺半群）：有 单位元 的半群。

例：字符串集合在拼接运算下构成幺半群，单位元为空串。

群​

定义​

(G,∗)(G,*) 满足四条：

  1. 封闭性。
  2. 结合律。
  3. 存在单位元。
  4. 每个元素都有逆元。

若还满足 交换律，称 交换群（阿贝尔群）。

子群​

非空子集 H⊆GH\subseteq G 在 GG 的运算下仍为群，记 H≤GH\le G。

判定：H≠∅H\ne\varnothing 且 ∀a,b∈H,a∗b−1∈H\forall a,b\in H,a*b^{-1}\in H。

任何群都有 平凡子群 { e }\set{e} 和 GG 本身。

拉格朗日定理​

设 GG 是有限群，H≤GH\le G，则：

∣H∣ ∣ ∣G∣|H|\,\big|\,|G|

即子群的阶整除群的阶。

循环群​

由单个元素生成的群：G=⟨a⟩={ ak∣k∈Z }G=\langle a\rangle=\set{a^k\mid k\in\mathbb{Z}}。

  • aa 的 阶 为最小的 n>0n>0 使 an=ea^n=e（若不存在，阶为无穷）。
  • 有限循环群 ⟨a⟩\langle a\rangle 同构于 Zn\mathbb{Z}_n；无限循环群同构于 Z\mathbb{Z}。

常见群​

名称结构
(Z,+)(\mathbb{Z},+)整数加法群（无限循环）
(Zn,+)(\mathbb{Z}_n,+)模 nn 加法群（有限循环，阶 nn）
(Zp∗,×)(\mathbb{Z}_p^*,\times)模素数 pp 乘法群
SnS_nnn 元置换群（阶 n!n!，n≥3n\ge 3 非交换）
DnD_n二面体群（正 nn 边形对称群）

同态与同构​

设 (G,∗)(G,*) 与 (H,∘)(H,\circ) 是两个代数系统，映射 φ:G→H\varphi:G\to H 满足：

φ(a∗b)=φ(a)∘φ(b)\varphi(a*b)=\varphi(a)\circ\varphi(b)

称为 同态。同态种类：

  • 单同态：φ\varphi 单射。
  • 满同态：φ\varphi 满射。
  • 同构：φ\varphi 双射。

同构的两个结构在代数性质上 完全相同，只是给元素换了名字。

环与域​

环​

(R,+,⋅)(R,+,\cdot) 满足：

  1. (R,+)(R,+) 是 交换群。
  2. (R,⋅)(R,\cdot) 是 半群。
  3. 乘法对加法满足 分配律。

例：(Z,+,⋅)(\mathbb{Z},+,\cdot)、(Zn,+,⋅)(\mathbb{Z}_n,+,\cdot)、(Mn(R),+,⋅)(M_n(\mathbb{R}),+,\cdot)。

域​

满足：

  1. (F,+,⋅)(F,+,\cdot) 是 交换环。
  2. 存在 乘法单位元 1≠01\ne 0。
  3. 每个非零元素都有乘法逆元。

例：(Q,+,⋅)(\mathbb{Q},+,\cdot)、(R,+,⋅)(\mathbb{R},+,\cdot)、(C,+,⋅)(\mathbb{C},+,\cdot)、(Zp,+,⋅)(\mathbb{Z}_p,+,\cdot)（pp 为素数）。

tip

整环：无零因子的交换环。有限整环必为域。这就是为什么 Zp\mathbb{Z}_p（pp 素数）是域，而 Z6\mathbb{Z}_6 不是——后者有零因子 2⋅3=02\cdot 3=0。

格​

格（Lattice）是特殊的偏序集 (L,⪯)(L,\preceq)：任意两元素都有 上确界（并 ∨\lor）与 下确界（交 ∧\land）。

也可代数化定义：(L,∨,∧)(L,\lor,\land) 是满足结合、交换、吸收的代数。

例：

  • (P(A),⊆)(\mathcal{P}(A),\subseteq)：幂集偏序，∨=∪\lor=\cup，∧=∩\land=\cap。
  • (N, ∣ )(\mathbb{N},\,|\,)：整除关系，∨=lcm⁡\lor=\operatorname{lcm}，∧=gcd⁡\land=\gcd。

布尔代数​

满足 分配律 和 补元存在 的格。是数字电路、命题逻辑（参见 数理逻辑）的代数模型。