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无穷级数

参考资料​

引入​

级数 是把数列「加起来」的极限，是处理 无限求和 的工具。三大主题：

  • 数项级数：常数项的无穷和，研究敛散性。
  • 幂级数：含 xx 的多项式级数，是函数展开的工具。
  • 傅里叶级数：用三角函数展开周期函数。

数项级数​

定义​

部分和 Sn=∑k=1nukS_n=\sum_{k=1}^n u_k，若 lim⁡n→∞Sn=S\lim_{n\to\infty}S_n=S 存在，则称级数 ∑un\sum u_n 收敛，否则 发散。

必要条件​

∑un\sum u_n 收敛 ⇒lim⁡n→∞un=0\Rightarrow \lim_{n\to\infty}u_n=0。逆不成立（反例：调和级数 ∑1n\sum\dfrac{1}{n} 发散）。

几何级数与 pp 级数​

∑n=0∞aqn=a1−q (∣q∣<1 收敛)\sum_{n=0}^{\infty}aq^n=\frac{a}{1-q}\,(|q|<1\text{ 收敛}) ∑n=1∞1np : p>1 收敛; p≤1 发散\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\,:\, p>1\text{ 收敛};\,p\le 1\text{ 发散}

正项级数判别​

方法内容
比较判别法0≤un≤vn0\le u_n\le v_n：∑vn\sum v_n 收敛 ⇒∑un\Rightarrow\sum u_n 收敛
比较极限形式lim⁡unvn=l (0<l<∞)\lim\dfrac{u_n}{v_n}=l\,(0<l<\infty)：同敛散
比值（达朗贝尔）ρ=lim⁡un+1un\rho=\lim\dfrac{u_{n+1}}{u_n}：ρ<1\rho<1 收敛，ρ>1\rho>1 发散
根值（柯西）ρ=lim⁡unn\rho=\lim\sqrt[n]{u_n}：ρ<1\rho<1 收敛，ρ>1\rho>1 发散
积分判别法ff 单减正，∑f(n)\sum f(n) 与 ∫1∞f(x) dx\int_1^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x 同敛散

任意项级数​

绝对收敛与条件收敛​

  • 若 ∑∣un∣\sum|u_n| 收敛，称 ∑un\sum u_n 绝对收敛；绝对收敛 ⇒\Rightarrow 收敛。
  • 若 ∑un\sum u_n 收敛但 ∑∣un∣\sum|u_n| 发散，称 条件收敛。

莱布尼茨判别法（交错级数）​

若 un>0u_n>0 单调递减且 lim⁡un=0\lim u_n=0，则 ∑(−1)n−1un\sum(-1)^{n-1}u_n 收敛。

幂级数​

一般形式​

∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n

收敛半径​

R=lim⁡n→∞∣anan+1∣=1lim⁡∣an∣nR=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\frac{1}{\lim\sqrt[n]{|a_n|}}

收敛域：∣x−x0∣<R|x-x_0|<R 内绝对收敛；端点单独讨论。

运算性质​

在收敛区间内，幂级数可 逐项求导 和 逐项积分，收敛半径不变（端点可能改变）。

函数展开为幂级数​

泰勒级数：

f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)nf(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n

常用展开（参见 导数与微分）​

11−x=∑n=0∞xn (∣x∣<1)\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n\,(|x|<1) ex=∑n=0∞xnn!,sin⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!,cos⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\quad \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}

傅里叶级数​

周期 2π2\pi 函数​

f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)

系数公式：

an=1π∫−ππf(x)cos⁡nx dx,bn=1π∫−ππf(x)sin⁡nx dxa_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,\mathrm{d}x,\quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,\mathrm{d}x

周期 2l2l 函数​

f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nπxl+bnsin⁡nπxl)f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right)

狄利克雷收敛定理​

若 ff 在 [−l,l][-l,l] 上分段单调、有有限多间断点，则其傅里叶级数在每点收敛于：

f(x−)+f(x+)2\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}

连续点处即收敛于 f(x)f(x) 本身。

奇偶函数​

  • ff 为偶函数 ⇒bn=0\Rightarrow b_n=0（余弦级数）。
  • ff 为奇函数 ⇒an=0\Rightarrow a_n=0（正弦级数）。
tip

记忆方式：余弦是偶函数，奇偶相乘为奇，奇函数在对称区间上积分为 00。