微分方程

参考资料

• 微分方程 - 维基百科
• 常微分方程 - 维基百科

引入

微分方程（ODE）是含 未知函数及其导数 的方程。求解就是反向地从「变化率」还原出 函数本身。

最高阶导数的阶数称为方程的 阶。本节只讨论 常微分方程（自变量只有一个）。

基本概念

• 通解：含 $n$ 个任意常数的解（$n$ 为方程阶数）。
• 特解：满足初始条件、常数被确定的解。
• 初值问题（Cauchy 问题）：方程 + 初始条件。

一阶 ODE

可分离变量

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y)\Rightarrow \int\frac{\mathrm{d}y}{g(y)}=\int f(x)\,\mathrm{d}x+C$$

齐次方程

形如 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi\!\left(\dfrac{y}{x}\right)$，令 $u=\dfrac{y}{x}$ 化为可分离变量。

一阶线性方程

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$$

通解公式：

$$y=e^{-\int P\,\mathrm{d}x}\left(\int Q(x)\,e^{\int P\,\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x+C\right)$$

tip

记忆方式：「乘积求导」反推。把 $e^{\int P\,\mathrm{d}x}$ 视为 积分因子，乘到方程两边后左侧恰是 $(y\cdot e^{\int P\,\mathrm{d}x})'$。

伯努利方程

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n\,(n\ne 0,1)$$

令 $z=y^{1-n}$ 化为一阶线性。

全微分方程

$M(x,y)\,\mathrm{d}x+N(x,y)\,\mathrm{d}y=0$，若 $\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}$，则存在 $u(x,y)$ 使原方程为 $\mathrm{d}u=0$。

可降阶的高阶 ODE

形式	处理
$y^{(n)}=f(x)$	直接 $n$ 次积分
$y''=f(x,y')$（不显含 $y$）	令 $p=y'$，化为关于 $p$ 的一阶
$y''=f(y,y')$（不显含 $x$）	令 $p=y'$，$y''=p\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$

线性高阶 ODE

解的结构

二阶齐次线性方程 $y''+p(x)y'+q(x)y=0$：

• 若 $y_1,y_2$ 是两个 线性无关 解，则通解 $y=C_1y_1+C_2y_2$。

非齐次方程 $y''+py'+qy=f(x)$：

• 通解 = 对应齐次方程通解 + 一个特解。

常系数线性 ODE

二阶齐次

$$y''+py'+qy=0$$

特征方程：$r^2+pr+q=0$，根据判别式分三种情形：

$\Delta$	根	通解
$>0$	$r_1\ne r_2$ 实根	$y=C_1e^{r_1 x}+C_2e^{r_2 x}$
$=0$	$r_1=r_2$ 重根	$y=(C_1+C_2 x)e^{rx}$
$<0$	$\alpha\pm\beta i$ 复根	$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

非齐次特解（待定系数法）

设 $f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$，特解形式为：

$$y^*=x^k e^{\lambda x}Q_m(x)$$

$k$ 是 $\lambda$ 作为特征根的重数（不是根则 $k=0$）。

若 $f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos\omega x+Q_n(x)\sin\omega x]$，设 $m=\max(l,n)$：

$$y^*=x^k e^{\lambda x}[R_m(x)\cos\omega x+S_m(x)\sin\omega x]$$

$k$ 是 $\lambda+\omega i$ 作为特征根的重数。

欧拉方程

$$x^n y^{(n)}+a_1 x^{n-1}y^{(n-1)}+\dots+a_n y=f(x)$$

令 $x=e^t$（$t=\ln x$）化为常系数线性 ODE。