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多元函数微积分

参考资料​

引入​

一元微积分推广到多元：

  • 导数 →\to 偏导数 / 方向导数 / 梯度。
  • 定积分 →\to 二重 / 三重积分 / 曲线积分 / 曲面积分。
  • 微积分基本定理 →\to 格林公式 / 高斯公式 / 斯托克斯公式。

多元函数​

极限与连续​

lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=A\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A

要求 (x,y)(x,y) 沿 任何路径 趋近 (x0,y0)(x_0,y_0) 时极限都相同。

偏导数​

fx(x0,y0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δxf_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}

记号：∂f∂x\dfrac{\partial f}{\partial x}、fxf_x、∂xf\partial_x f。

全微分​

dz=∂z∂x dx+∂z∂y dy\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\,\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\,\mathrm{d}y

可微 ⇒\Rightarrow 连续、偏导存在；偏导连续 ⇒\Rightarrow 可微。注意 偏导存在不一定可微。

链式法则​

若 z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)：

∂z∂x=∂z∂u∂u∂x+∂z∂v∂v∂x\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}

隐函数求导​

由 F(x,y)=0F(x,y)=0 确定 y=y(x)y=y(x)：

dydx=−FxFy\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{F_x}{F_y}

由 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 确定 z=z(x,y)z=z(x,y)：

∂z∂x=−FxFz,∂z∂y=−FyFz\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}

方向导数与梯度​

方向导数：函数沿单位向量 l⃗=(cos⁡α,cos⁡β)\vec l=(\cos\alpha,\cos\beta) 的变化率。

∂f∂l⃗=fxcos⁡α+fycos⁡β=∇f⋅l⃗\frac{\partial f}{\partial \vec l}=f_x\cos\alpha+f_y\cos\beta=\nabla f\cdot\vec l

梯度：

∇f=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)

梯度方向是函数 增长最快 的方向，其模是该方向的方向导数。

多元函数极值​

无条件极值​

必要条件：fx=fy=0f_x=f_y=0（驻点）。

设 A=fxx,B=fxy,C=fyyA=f_{xx},B=f_{xy},C=f_{yy}，Δ=AC−B2\Delta=AC-B^2：

Δ>0\Delta>0Δ<0\Delta<0Δ=0\Delta=0
A>0A>0 极小，A<0A<0 极大非极值（鞍点）不定，需另判

条件极值：拉格朗日乘数法​

求 f(x,y)f(x,y) 在约束 g(x,y)=0g(x,y)=0 下的极值，构造：

L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)

令 Lx=Ly=Lλ=0L_x=L_y=L_\lambda=0 求解。

重积分​

二重积分​

∬Df(x,y) dσ\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma
  • 直角坐标：dσ=dx dy\mathrm{d}\sigma=\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y，按 XX-型或 YY-型区域化为二次积分。
  • 极坐标：dσ=r dr dθ\mathrm{d}\sigma=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta。

三重积分​

∭Ωf(x,y,z) dV\iiint_\Omega f(x,y,z)\,\mathrm{d}V
坐标系体积元
直角坐标dV=dx dy dz\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z
柱坐标dV=r dr dθ dz\mathrm{d}V=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z
球坐标dV=ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\mathrm{d}V=\rho^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta

曲线积分​

第一类（对弧长）​

∫Lf(x,y) ds=∫αβf(φ(t),ψ(t))φ′2+ψ′2 dt\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t),\psi(t))\sqrt{\varphi'^2+\psi'^2}\,\mathrm{d}t

与 方向无关。

第二类（对坐标）​

∫LP dx+Q dy\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y

与 方向有关，反向取负号。

曲面积分​

第一类（对面积）​

∬Σf(x,y,z) dS\iint_\Sigma f(x,y,z)\,\mathrm{d}S

第二类（对坐标）​

∬ΣP dy dz+Q dz dx+R dx dy\iint_\Sigma P\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z+Q\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x+R\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y

与 侧 有关，反侧取负。

三大公式​

格林公式（平面）​

∮LP dx+Q dy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dσ\oint_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}\sigma

高斯公式（散度定理）​

∯ΣP dy dz+Q dz dx+R dx dy=∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dV\oiint_\Sigma P\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z+Q\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x+R\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\iiint_\Omega\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}V

斯托克斯公式​

∮LP dx+Q dy+R dz=∬Σ(∇×F⃗)⋅dS⃗\oint_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y+R\,\mathrm{d}z=\iint_\Sigma(\nabla\times\vec F)\cdot\mathrm{d}\vec S
tip

三大公式是同一思想的不同维度：把 边界上的积分 转化为 内部的积分。一维情形就是牛顿-莱布尼茨公式。