函数与极限

参考资料

• 极限 (数学) - 维基百科
• 连续函数 - 维基百科

引入

极限是 微积分的地基。所有「无穷小」「无穷大」「连续」「导数」「积分」的概念，最终都要回到极限的严格定义。

直观上，极限刻画的是：当自变量「趋近」某个值时，函数值「趋近」一个确定的数。

数列极限

$\varepsilon$-$N$ 定义

设数列 $\set{a_n}$，若存在常数 $A$，使得对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N\in\mathbb{N}^+$，当 $n>N$ 时恒有：

$$|a_n-A|<\varepsilon$$

则称 $A$ 为数列 $\set{a_n}$ 的极限，记为：

$$\lim_{n\to\infty}a_n=A$$

收敛准则

• 单调有界准则：单调有界数列必有极限。
• 夹逼准则：若 $a_n\le b_n\le c_n$ 且 $\lim a_n=\lim c_n=A$，则 $\lim b_n=A$。
• 柯西收敛准则：$\set{a_n}$ 收敛 $\iff$ 对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$ 使 $\forall m,n>N$ 有 $|a_m-a_n|<\varepsilon$。

函数极限

$\varepsilon$-$\delta$ 定义

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域有定义，若存在常数 $A$，使得对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时恒有：

$$|f(x)-A|<\varepsilon$$

则记为：

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$$

单侧极限

$$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=A^-,\quad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=A^+$$

极限存在的充要条件：左右极限存在且相等。

无穷小与无穷大

若 $\lim f(x)=0$，称 $f(x)$ 为该过程下的 无穷小；若 $\lim f(x)=\infty$，称为 无穷大。

设 $\alpha,\beta$ 都是同一过程下的无穷小，则：

记号	含义
$\alpha=o(\beta)$	$\alpha$ 是 $\beta$ 的高阶无穷小
$\alpha=O(\beta)$	$\alpha$ 与 $\beta$ 同阶
$\alpha\sim\beta$	$\alpha$ 与 $\beta$ 等价

常用等价无穷小（$x\to 0$）

$$\sin x\sim x,\quad \tan x\sim x,\quad \arcsin x\sim x,\quad \arctan x\sim x$$ $$1-\cos x\sim\frac{x^2}{2},\quad e^x-1\sim x,\quad \ln(1+x)\sim x,\quad (1+x)^a-1\sim ax$$

tip

等价无穷小只能用于 乘除，不能直接用于 加减，否则容易出错。

两个重要极限

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$ $$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$$

第一个用 夹逼准则 + 几何面积证明；第二个由 单调有界准则 给出 $e$ 的定义。

连续与间断

连续的定义

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 连续 $\iff$

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$

等价表述：$\lim_{\Delta x\to 0}\Delta y=0$。

间断点分类

类型	条件
可去间断点	左右极限存在且相等，但 $\ne f(x_0)$ 或 $f$ 在 $x_0$ 无定义
跳跃间断点	左右极限都存在但不相等
无穷间断点	至少一侧极限为 $\infty$
振荡间断点	极限不存在且非无穷（如 $\sin\frac{1}{x}$ 在 $x=0$）

前两类合称 第一类间断点，后两类合称 第二类间断点。

闭区间连续函数性质

设 $f\in C[a,b]$，则有：

• 有界性定理：$f$ 在 $[a,b]$ 上有界。
• 最值定理：$f$ 在 $[a,b]$ 上取得最大值和最小值。
• 介值定理：$f$ 取到介于最大最小值之间的任意值。
• 零点定理：若 $f(a)f(b)<0$，则 $\exists\xi\in(a,b)$ 使 $f(\xi)=0$。