一元积分学

参考资料

• 积分 - 维基百科
• 牛顿-莱布尼茨公式 - 维基百科

引入

积分 是 导数 的逆运算，几何上是 面积 的极限累加。一元积分学包含两条主线：

• 不定积分：求原函数。
• 定积分：求曲边梯形面积，通过 牛顿-莱布尼茨公式 与不定积分挂钩。

不定积分

定义

若 $F'(x)=f(x)$，则 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。$f(x)$ 的全体原函数：

$$\int f(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C$$

基本积分表

$$\int x^a\,\mathrm{d}x=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C\,(a\ne -1),\quad \int\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln|x|+C$$ $$\int e^x\,\mathrm{d}x=e^x+C,\quad \int a^x\,\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C$$ $$\int\sin x\,\mathrm{d}x=-\cos x+C,\quad \int\cos x\,\mathrm{d}x=\sin x+C$$ $$\int\sec^2 x\,\mathrm{d}x=\tan x+C,\quad \int\csc^2 x\,\mathrm{d}x=-\cot x+C$$ $$\int\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\arctan x+C,\quad \int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x=\arcsin x+C$$

三大积分法

方法	公式
第一类换元（凑微分）	$\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\,\mathrm{d}x=\int f(u)\,\mathrm{d}u$
第二类换元	令 $x=\varphi(t)$，$\int f(x)\,\mathrm{d}x=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,\mathrm{d}t$
分部积分	$\int u\,\mathrm{d}v=uv-\int v\,\mathrm{d}u$

tip

分部积分的口诀：反对幂三指（反三角、对数、幂、三角、指数），越靠前的越优先选作 $u$。

特殊技巧

• 三角代换：$\sqrt{a^2-x^2}$ 令 $x=a\sin t$；$\sqrt{a^2+x^2}$ 令 $x=a\tan t$；$\sqrt{x^2-a^2}$ 令 $x=a\sec t$。
• 有理函数积分：部分分式分解。
• 三角有理式：万能代换 $t=\tan\dfrac{x}{2}$。

定积分

定义

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$$

其中 $\lambda=\max\Delta x_i$。

性质

$$\int_a^b f\,\mathrm{d}x=-\int_b^a f\,\mathrm{d}x,\quad \int_a^a f\,\mathrm{d}x=0$$ $$\int_a^b(f\pm g)\,\mathrm{d}x=\int_a^b f\,\mathrm{d}x\pm\int_a^b g\,\mathrm{d}x$$ $$\int_a^b f\,\mathrm{d}x=\int_a^c f\,\mathrm{d}x+\int_c^b f\,\mathrm{d}x$$

积分中值定理

设 $f\in C[a,b]$，则 $\exists\xi\in[a,b]$ 使：

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a)$$

牛顿-莱布尼茨公式

设 $F$ 是 $f$ 的原函数，$f\in C[a,b]$，则：

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$$

这是 微积分基本定理，把定积分计算转化为求原函数。

变上限积分

$$\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\Rightarrow \Phi'(x)=f(x)$$

复合形式：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}f(t)\,\mathrm{d}t=f(\psi(x))\psi'(x)-f(\varphi(x))\varphi'(x)$$

反常积分

无穷区间

$$\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$$

无界函数

若 $f$ 在 $x=c$ 处无界：

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\left(\int_a^{c-\varepsilon}+\int_{c+\varepsilon}^b\right)$$

常用敛散性结论

$$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}\,\mathrm{d}x\,:\, p>1\text{ 收敛};\quad \int_0^1\frac{1}{x^p}\,\mathrm{d}x\,:\, p<1\text{ 收敛}$$

定积分的几何应用

应用	公式
平面图形面积	$A=\int_a^b\lvert f(x)-g(x)\rvert\,\mathrm{d}x$
旋转体体积（绕 $x$ 轴）	$V=\pi\int_a^b f^2(x)\,\mathrm{d}x$
旋转体体积（柱壳法）	$V=2\pi\int_a^b x f(x)\,\mathrm{d}x$
曲线弧长	$L=\int_a^b\sqrt{1+f'^2(x)}\,\mathrm{d}x$
旋转曲面面积	$S=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+f'^2(x)}\,\mathrm{d}x$