导数与微分

Summary

一元函数导数与微分的完整脉络。从导数定义、单侧导数与可导蕴含连续讲起，给全四则、链式、反函数、隐函数与参数方程、对数求导各法则及基本导数表。高阶导数配莱布尼茨公式，微分用于局部线性化近似。中值定理串起罗尔、拉格朗日、柯西，随后是洛必达法则、泰勒与麦克劳林展开。应用部分覆盖单调性、极值、凹凸、渐近线、证不等式与讨论方程根、曲率及相关变化率。

参考资料

• 导数 - 维基百科
• 微分 - 维基百科
• 泰勒级数 - 维基百科

引入

导数 刻画函数在某点的 瞬时变化率，几何上是切线斜率，物理上是速度。

微分 把这个变化率乘以自变量的增量，得到因变量的 线性近似增量。

一句话概括两者关系：导数告诉你「变得有多快」，微分告诉你「在这一小步里大概变了多少」。整个微分学就是用 直线（切线）局部代替曲线 的艺术——只要看得足够近，任何光滑曲线都像一条直线。

导数

定义

$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

也常写作 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$、$y'$、$\dot y$（物理记号）。

差商 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 是 割线斜率，也是 平均变化率。让 $\Delta x\to 0$，割线绕着 $(x_0,f(x_0))$ 转动、最终贴成 切线，割线斜率的极限就是切线斜率，也就是导数。物理上，把 $f$ 看成位移、$x$ 看成时间，平均速度的极限就是 瞬时速度。导数的本质，是用极限把「一段区间上的平均」逼成「一个点上的瞬时」。

由切线斜率立刻得到 切线方程 $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$，以及与之垂直的 法线方程（斜率取 $-\dfrac{1}{f'(x_0)}$）。

例（用定义求导）：求 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $x>0$ 处的导数。

$$\begin{aligned} f'(x) & =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)-x}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})} \\ & =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \end{aligned}$$

关键一步是 分子有理化 消掉「制造 $\dfrac00$」的差。

例（用定义判可导）：$f(x)=x|x|$ 在 $x=0$ 处是否可导？

$$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{x|x|-0}{x-0}=\lim_{x\to 0}|x|=0$$

可导且 $f'(0)=0$。可见带绝对值的函数未必在尖点不可导——$x|x|$ 在原点其实很光滑。

单侧导数与可导性

把定义里的极限换成单侧极限，得到 左导数 $f'_-(x_0)$ 与 右导数 $f'_+(x_0)$：

$$f'_-(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0^-}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}, f'_+(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0^+}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

$f$ 在 $x_0$ 可导 $\iff$ 左右导数都存在且相等。这是判断分段函数在分界点、绝对值函数在尖点可导性的标准工具。

可导与连续

可导 $\implies$ 连续，反之不成立。

道理是：若 $f$ 在 $x_0$ 有切线，图像在该点附近必然「接得上」，不能有跳断。但反过来，连续只保证「不断」，不保证「光滑」。典型反例 $y=|x|$ 在 $x=0$ 处连续，可左导数 $-1$、右导数 $+1$ 不相等，图像在原点形成一个 尖角，没有唯一切线，故不可导。更极端的还有处处连续却处处不可导的函数。一句话：可导比连续严格，它额外要求「光滑、无折角、无竖直切线」。

求导法则

四则运算

$$(u\pm v)'=u'\pm v'$$ $$(uv)'=u'v+uv'$$ $$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$

tip

乘积法则 $(uv)'=u'v+uv'$ 不是简单的「各自求导再相乘」。直觉上把 $u,v$ 看作矩形的两条边，面积 $uv$ 的增量来自 两条边各自的伸长：长边伸长贡献 $u'v$，宽边伸长贡献 $uv'$，那块 $u'v'$ 的角是高阶小量、被极限丢掉。

复合函数：链式法则

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$$

链式法则是 变化率的传递：$y$ 随 $u$ 变、$u$ 随 $x$ 变，那么 $y$ 随 $x$ 的变化率就是两段变化率相乘。形式上像分数约分，$\mathrm{d}u$ 一上一下「抵消」，这个记号上的巧合正是莱布尼茨记号的优势。它是复杂函数求导的主力，遇到「函数套函数」就 由外向内逐层剥。

例（四则法则）：$y=x^2\sin x$，乘积法则 $y'=(x^2)'\sin x+x^2(\sin x)'=2x\sin x+x^2\cos x$。

例（商法则）：$y=\dfrac{\ln x}{x}$，$y'=\dfrac{(1/x)\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$。

例（链式法则逐层剥）：$y=\sin^2(3x+1)$。最外是平方、中间是 $\sin$、最里是 $3x+1$：

$$y'=2\sin(3x+1)\cdot\cos(3x+1)\cdot 3=3\sin(6x+2)$$

例（多层嵌套）：$y=e^{\sqrt{1+x^2}}$：

$$y'=e^{\sqrt{1+x^2}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot 2x=\frac{xe^{\sqrt{1+x^2}}}{\sqrt{1+x^2}}$$

反函数

$$[f^{-1}(y)]'=\frac{1}{f'(x)}$$

几何上，反函数图像是原图像关于 $y=x$ 的镜像，切线斜率互为倒数。$\arcsin,\arctan$ 等的导数公式都由此推出。

例（推 $\arcsin$ 的导数）：设 $y=\arcsin x$，即 $x=\sin y$（$y\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$）。则：

$$(\arcsin x)'=\frac{1}{(\sin y)'}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

这里取 $\cos y\ge 0$（因 $y$ 在主值区间），开方取正根。$\arctan x$ 同理：由 $x=\tan y$ 得 $(\arctan x)'=\dfrac{1}{\sec^2 y}=\dfrac{1}{1+\tan^2 y}=\dfrac{1}{1+x^2}$。

隐函数与参数方程

• 隐函数：对 $F(x,y)=0$ 两端关于 $x$ 求导，把 $y$ 看作 $x$ 的函数（即对含 $y$ 的项用链式法则补乘 $y'$），再解出 $y'$。
• 参数方程 $\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$$

二阶导需再对 $t$ 求一次并除以 $\varphi'(t)$：$\dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}=\dfrac{1}{\varphi'(t)}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\right)$。

例（隐函数求导）：圆 $x^2+y^2=R^2$ 在点 $(x,y)$ 处的切线斜率。两端对 $x$ 求导，把 $y$ 看成 $x$ 的函数：

$$2x+2yy'=0\implies y'=-\frac{x}{y}$$

含 $y$ 的项 $y^2$ 求导补乘 $y'$。这比先解出 $y=\pm\sqrt{R^2-x^2}$ 再求导干净得多。

例（参数方程求导）：摆线 $\begin{cases}x=t-\sin t\\ y=1-\cos t\end{cases}$。

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}=\frac{\sin t}{1-\cos t}=\frac{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}{2\sin^2\frac{t}{2}}=\cot\frac{t}{2}$$

末尾用了半角公式把结果化简。

对数求导法

遇到 幂指函数 $y=u(x)^{v(x)}$ 或 多个因子连乘连除 的式子，先取对数再求导往往省力：

$$\ln y=\ln u(x)^{v(x)}=v(x)\ln u(x)\implies\frac{y'}{y}=v'\ln u+v\cdot\frac{u'}{u}$$

原理是对数把 乘除变加减、幂变乘积，求导难度骤降；最后别忘了把 $\dfrac{y'}{y}$ 乘回 $y$。幂指函数也可改写成 $y=e^{v\ln u}$ 后用链式法则，两种做法等价。

例（幂指函数）：$y=x^x$（$x>0$）。取对数 $\ln y=x\ln x$，两端求导：

$$\frac{y'}{y}=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}=\ln x+1\implies y'=x^x(\ln x+1)$$

例（多因子连乘连除）：$y=\dfrac{(x+1)^2\sqrt{x-1}}{(x+2)^3}$。取对数化乘除为加减：

$$\ln y=2\ln(x+1)+\frac{1}{2}\ln(x-1)-3\ln(x+2)$$

求导得 $\dfrac{y'}{y}=\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{1}{2(x-1)}-\dfrac{3}{x+2}$，再乘回 $y$ 即得。若硬用商法则与乘积法则，会冗长易错得多。

基本初等函数导数

$f(x)$	$f'(x)$	$f(x)$	$f'(x)$
$x^a$	$ax^{a-1}$	$a^x$	$a^x\ln a$
$e^x$	$e^x$	$\log_a x$	$\dfrac{1}{x\ln a}$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$	$\tan x$	$\sec^2 x$
$\cot x$	$-\csc^2 x$	$\sec x$	$\sec x\tan x$
$\csc x$	$-\csc x\cot x$	$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos x$	$-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arctan x$	$\dfrac{1}{1+x^2}$

高阶导数

$$f^{(n)}(x)=\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n}$$

二阶导 $f''$ 是「变化率的变化率」：物理上是 加速度，几何上决定 凹凸。更高阶导数在泰勒展开里充当各阶系数。

常见函数的 $n$ 阶导

$f(x)$	$f^{(n)}(x)$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x(\ln a)^n$
$\sin x$	$\sin\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)$
$\cos x$	$\cos\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)$
$\ln(1+x)$	$\dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$
$\dfrac{1}{x}$	$\dfrac{(-1)^nn!}{x^{n+1}}$
$x^m$	$m(m-1)\cdots(m-n+1)x^{m-n}$（$m$ 为正整数时 $n>m$ 为 $0$）

tip

正弦、余弦的 $n$ 阶导公式 $\sin^{(n)}x=\sin\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)$ 抓住了一个规律：每求一次导，相位前进 $\dfrac{\pi}{2}$。 求导四次正好回到自身，呈 $\sin\to\cos\to-\sin\to-\cos$ 的周期循环。

莱布尼茨公式（乘积的高阶导）：

$$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}u^{(n-k)}v^{(k)}$$

形式与二项式定理 $(a+b)^n$ 完全平行，组合系数一一对应——把「乘方」换成「求导」即可。

例：求 $y=x^2 e^x$ 的 $n$ 阶导（$n\ge 2$）。取 $u=e^x$（各阶导都是 $e^x$）、$v=x^2$（三阶起为 $0$），只剩三项：

$$\begin{aligned} (x^2 e^x)^{(n)} & =\binom{n}{0}e^x\cdot x^2+\binom{n}{1}e^x\cdot 2x+\binom{n}{2}e^x\cdot 2 \\ & =e^x\bigl[x^2+2nx+n(n-1)\bigr] \end{aligned}$$

诀窍是 把多项式那个因子选作 $v$——它的高阶导很快变零，求和被截成有限几项。

微分

$$\mathrm{d}y=f'(x)\mathrm{d}x$$

微分是因变量增量的 线性主部：$\Delta y=\mathrm{d}y+o(\Delta x)$。也就是说，当 $\Delta x$ 很小时，曲线的真实增量 $\Delta y$ 与切线给出的增量 $\mathrm{d}y$ 几乎相等，差距是更高阶的小量。

近似计算

由 $\Delta y\approx\mathrm{d}y$ 得 局部线性化 公式：

$$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$$

在 $x_0=0$ 附近，常用近似（$|x|$ 很小）：

$$(1+x)^a\approx 1+ax,e^x\approx 1+x,\ln(1+x)\approx x,\sin x\approx x,\tan x\approx x$$

这正是「用切线代替曲线」的实用版本：要估 $\sqrt{1.02}$，取 $f(x)=\sqrt{x}$、$x_0=1$，得 $\approx 1+\dfrac{1}{2}\cdot 0.02=1.01$。微分还用于 误差估计：自变量有微小测量误差 $\mathrm{d}x$ 时，因变量误差约为 $|f'(x)||\mathrm{d}x|$。

中值定理

定理	条件	结论
罗尔	$f\in C[a,b]$，在 $(a,b)$ 可导，$f(a)=f(b)$	$\exists\xi\in(a,b),f'(\xi)=0$
拉格朗日	$f\in C[a,b]$，在 $(a,b)$ 可导	$\exists\xi,f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
柯西	$f,g$ 满足拉格朗日条件，$g'\ne 0$	$\exists\xi,\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

几何直觉是这组定理的灵魂：

• 罗尔定理（Rolle's Theorem）：一条两端等高的光滑曲线，中间必有一处切线水平——爬上去总要下来，转折点处斜率为零。
• 拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）：是罗尔的「倾斜版」。连接两端的割线有个斜率（平均变化率），曲线中间必有一点的切线 恰好与这条割线平行。换句话说，瞬时变化率在某点等于整体的平均变化率。
• 柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）：把两个函数用参数曲线 $(g(t),f(t))$ 串起来，结论仍是「割线斜率 = 某点切线斜率」，只是斜率写成 $\dfrac{f'}{g'}$。它是洛必达法则的理论后盾。

拉格朗日定理常写成增量形式 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$，是连接「函数值之差」与「导数」的桥梁，证明不等式、估计误差时极其常用。

典型证明套路

中值定理类的证明题，核心都是 构造一个恰当的辅助函数 $F$，让它满足罗尔条件，再断言其导数有零点。

例（构造辅助函数）：设 $f\in C[0,1]$，在 $(0,1)$ 可导，$f(1)=0$，证存在 $\xi\in(0,1)$ 使 $\xi f'(\xi)+f(\xi)=0$。注意到要证的式子是 $[xf(x)]'=xf'(x)+f(x)$ 在 $\xi$ 处为零。令 $F(x)=xf(x)$，则 $F(0)=0$、$F(1)=1\cdot f(1)=0$，$F$ 满足罗尔条件，故 $\exists\xi$ 使 $F'(\xi)=\xi f'(\xi)+f(\xi)=0$。「凑导数」是关键：把待证式倒着看成某个 $F$ 的导数。

例（拉格朗日证不等式）：证当 $x>0$ 时 $\dfrac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x$。对 $f(t)=\ln(1+t)$ 在 $[0,x]$ 用拉格朗日：存在 $\xi\in(0,x)$ 使：

$$\ln(1+x)-\ln 1=f'(\xi)(x-0)=\frac{x}{1+\xi}$$

由 $0<\xi<x$ 得 $\dfrac{1}{1+x}<\dfrac{1}{1+\xi}<1$，两边乘 $x$ 即得欲证的双侧不等式。把 $\ln$ 之差写成中值形式，再用 $\xi$ 的范围夹住。

例（柯西中值定理）：证存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{f'(\xi)}{2\xi}\cdot 2\xi$ 一类「带权」结论时，取 $g(x)=x^2$ 套柯西即可——选对 $g$ 是用柯西定理的全部技巧。

洛必达法则

当 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型时：

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

适用条件需 同时满足：

• 是 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型（其余未定式须先化归到这两种）；
• $f,g$ 在 $x_0$ 去心邻域可导且 $g'(x)\ne 0$；
• 右端 $\lim\dfrac{f'}{g'}$ 存在或为 $\infty$。

tip

洛必达常见陷阱：

• 右端极限不存在 ≠ 原极限不存在。若 $\lim\dfrac{f'}{g'}$ 振荡不存在，法则失效，但原极限可能照样存在（如 $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x+\sin x}{x}=1$，求导后变成 $\lim(1+\cos x)$ 反而不存在）。
• 用前必须验型。对非 $\dfrac00$、$\dfrac\infty\infty$ 的式子直接求导是错的。
• 能用等价无穷小先化简就先化简，盲目连续求导可能越求越复杂（尤其分母含三角时）。

泰勒公式

$$f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x)$$

$x_0=0$ 时称为 麦克劳林公式（Maclaurin's Formula）。

泰勒公式的灵魂是 用多项式逼近一般函数。多项式是最好算的函数（只用加减乘），而泰勒展开让我们用一段多项式 在 $x_0$ 附近模仿 任意光滑函数：常数项对齐函数值，一次项对齐斜率（切线），二次项对齐凹凸，阶数越高、贴合的范围越广、误差 $R_n$ 越小。微分近似 $f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$ 不过是 只取到一次项 的泰勒公式。

余项 $R_n$ 常用两种写法：佩亚诺型 $R_n=o((x-x_0)^n)$（求极限够用），拉格朗日型 $R_n=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$（需要估误差时用）。

常用麦克劳林展开

$$e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}, \sin x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \cos x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$$ $$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}, (1+x)^a=\sum_{n=0}^\infty\binom{a}{n}x^n, \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n$$

用泰勒展开求极限

遇到「等价无穷小因相减而失效」的 $\dfrac00$ 型，把各函数展到 同一阶（一般展到分母同阶）最稳。

例：$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2}$。$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$，代入分子：

$$\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac{\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{x^2}\xrightarrow{x\to 0}\frac{1}{2}$$

例：$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x-x\cos x}{x^3}$。$\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)$、$x\cos x=x\left(1-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)\right)=x-\dfrac{x^3}{2}+o(x^3)$，相减：

$$\sin x-x\cos x=\left(-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\right)x^3+o(x^3)=\frac{x^3}{3}+o(x^3)\implies\text{极限}=\frac{1}{3}$$

应用

单调性与极值

• 单调性：$f'(x)>0\implies$ 单调递增；$f'(x)<0\implies$ 单调递减。斜率的正负直接决定曲线的升降。
• 极值：必要条件 $f'(x_0)=0$（驻点，或导数不存在的点）。判别有两法：一阶导变号法（$f'$ 由正变负是极大，由负变正是极小），或 二阶导法（$f''(x_0)>0$ 为极小、$<0$ 为极大、$=0$ 失效）。
• 最值：闭区间上的最值在 驻点、不可导点、端点 三类候选里比大小取得。

凹凸性与拐点

• 凹凸性：$f''(x)>0$ 时曲线 凹（形如 $\smile$），$f''(x)<0$ 时 凸（形如 $\frown$）。二阶导描述的是「斜率本身在变快还是变慢」。
• 拐点：$f''=0$ 且两侧变号处，是凹凸性的分界点。

渐近线

• 水平渐近线：$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A$，则 $y=A$。
• 竖直渐近线：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$，则 $x=x_0$（常出现在间断点、定义域边界）。
• 斜渐近线：$y=kx+b$，其中 $k=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}$、$b=\lim\limits_{x\to\infty}[f(x)-kx]$，两极限都存在时才有。

用导数证不等式与讨论方程根

• 证不等式：把不等式整理成 $g(x)\ge 0$，研究辅助函数 $g$ 的单调性与最值——若 $g$ 在区间上单调且端点取等，则全程不小于零。本质是把「比大小」转成「求最值」。
• 讨论方程根：方程 $f(x)=0$ 的实根个数 = 曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴交点数。用单调性把定义域切成若干单调段，每段至多一根，再结合 零点定理（端点异号则有根）数清根的个数；含参数时讨论参数如何移动极值。

例（单调性证不等式）：证当 $x>0$ 时 $e^x>1+x$。令 $g(x)=e^x-1-x$，则 $g(0)=0$，$g'(x)=e^x-1>0$（$x>0$），故 $g$ 在 $(0,+\infty)$ 严格递增，于是 $g(x)>g(0)=0$，即 $e^x>1+x$。「移项—求导定号—比端点」三步，是导数证不等式的固定流程。

例（讨论根的个数）：方程 $x^3-3x+a=0$（$a$ 为参数）有几个实根？令 $f(x)=x^3-3x+a$，$f'(x)=3x^2-3=0$ 得驻点 $x=\pm 1$，极大值 $f(-1)=2+a$、极小值 $f(1)=a-2$。曲线呈「升—降—升」，与 $x$ 轴交点数由极值符号决定：极大 $>0$ 且极小 $<0$（即 $-2<a<2$）有 $3$ 根；$a=\pm 2$ 时某极值触轴，有 $2$ 根（含一个重根）；$|a|>2$ 时仅 $1$ 根。

例（凹凸性证不等式）：证 $\dfrac{e^x+e^y}{2}\ge e^{(x+y)/2}$。因 $f(t)=e^t$ 满足 $f''(t)=e^t>0$ 处处凹（形如 $\smile$），由凹函数的 琴生不等式 $\dfrac{f(x)+f(y)}{2}\ge f\left(\dfrac{x+y}{2}\right)$ 即得。凹凸性把一大类「均值不等式」一句话拿下。

曲率

$$\kappa=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$$

曲率衡量曲线 弯曲的剧烈程度：直线曲率为 $0$，圆的曲率处处为 $\dfrac{1}{R}$（半径越小越弯）。曲率的倒数 $\dfrac{1}{\kappa}$ 是 曲率半径，即在该点最贴合曲线的那个圆的半径。

相关变化率

几个量由方程联系在一起、都随时间 $t$ 变化时，对约束方程两端 关于 $t$ 求导，就把各自的变化率联系起来——已知其中一些，可解出另一个。

例（梯子下滑）：长 $5\mathrm{m}$ 的梯子靠墙，底端以 $1\mathrm{m/s}$ 远离墙脚滑动。当底端离墙 $3\mathrm{m}$ 时，顶端下滑多快？设底端距墙 $x$、顶端高 $y$，约束 $x^2+y^2=25$。两端对 $t$ 求导：

$$2x\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=0\implies\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-\frac{x}{y}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$$

此刻 $x=3$，$y=\sqrt{25-9}=4$，$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=1$，代入得 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-\dfrac34\mathrm{m/s}$。负号表示 $y$ 在减小，即顶端以 $\dfrac34\mathrm{m/s}$ 下滑。先列几何约束、再整体对 $t$ 求导、最后代入瞬时数值——切忌一开始就代数字。