导数与微分

参考资料

• 导数 - 维基百科
• 泰勒级数 - 维基百科

引入

导数 刻画函数在某点的 瞬时变化率，几何上是切线斜率，物理上是速度。

微分 把这个变化率乘以自变量的增量，得到因变量的 线性近似增量。

导数

定义

$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

也常写作 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$、$y'$、$\dot y$（物理记号）。

可导与连续

可导 $\Rightarrow$ 连续，反之不成立（典型反例：$y=|x|$ 在 $x=0$ 连续但不可导）。

求导法则

四则运算

$$(u\pm v)'=u'\pm v'$$ $$(uv)'=u'v+uv'$$ $$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$

复合函数：链式法则

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$$

反函数

$$[f^{-1}(y)]'=\frac{1}{f'(x)}$$

隐函数与参数方程

• 隐函数：对 $F(x,y)=0$ 两端关于 $x$ 求导，把 $y$ 看作 $x$ 的函数。
• 参数方程 $\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$$

基本初等函数导数

$f(x)$	$f'(x)$	$f(x)$	$f'(x)$
$x^a$	$ax^{a-1}$	$a^x$	$a^x\ln a$
$e^x$	$e^x$	$\log_a x$	$\dfrac{1}{x\ln a}$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$	$\tan x$	$\sec^2 x$
$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arctan x$	$\dfrac{1}{1+x^2}$

高阶导数

$$f^{(n)}(x)=\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n}$$

莱布尼茨公式：

$$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u^{(n-k)}v^{(k)}$$

微分

$$\mathrm{d}y=f'(x)\,\mathrm{d}x$$

微分是因变量增量的 线性主部：$\Delta y=\mathrm{d}y+o(\Delta x)$。

中值定理

定理	条件	结论
罗尔	$f\in C[a,b]$，在 $(a,b)$ 可导，$f(a)=f(b)$	$\exists\xi\in(a,b),f'(\xi)=0$
拉格朗日	$f\in C[a,b]$，在 $(a,b)$ 可导	$\exists\xi,f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
柯西	$f,g$ 满足拉格朗日条件，$g'\ne 0$	$\exists\xi,\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

洛必达法则

当 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型时：

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

成立的前提是右侧极限存在或为 $\infty$。

泰勒公式

$$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x)$$

$x_0=0$ 时称为 麦克劳林公式。

常用麦克劳林展开

$$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\quad \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$$ $$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n},\quad (1+x)^a=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{a}{n}x^n$$

应用

• 单调性：$f'(x)>0\Rightarrow$ 单调递增；$f'(x)<0\Rightarrow$ 单调递减。
• 极值：必要条件 $f'(x_0)=0$（驻点），充分条件看 $f''(x_0)$ 符号。
• 凹凸性：$f''(x)>0$ 凹（向上凸）；$f''(x)<0$ 凸。$f''=0$ 且变号处为 拐点。
• 曲率：$\kappa=\dfrac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$。