《高等数学》

参考资料

• 《高等数学上》3小时期末不挂科|微积分|附赠讲义 - 蜂考 - bilibili
• 《高等数学下》4小时期末不挂科|微积分|附赠讲义 - 蜂考 - bilibili
• 微积分的本质 - 3Blue1Brown - bilibili

引入

高等数学（俗称「高数」）的核心是 微积分：用极限把「无限细分」与「无限累加」严格化，从而处理 连续变化 的问题。

整门课的逻辑链条非常清晰：

$$\text{极限}\to\text{连续}\to\text{导数}\to\text{积分}\to\text{级数}\to\text{多元推广}$$

后面的每一步都建立在前一步之上，因此 极限 是真正的地基。

$$\frac{\frac{\int_{0}^{+\infty}e^{-s}s^{5}\mathrm{d}s}{2}+\frac{\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t}{\int_{0}^{+\infty}\sin t^{2}\mathrm{d}t}\cdot\left(\frac{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}}{\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x}+\frac{\sum_{n=1}^{\infty}\arctan\frac{2}{n^2}}{\lim_{t\to 0^+}\int_{-2020}^{2020}\frac{t\cos x}{x^2+t^2}\mathrm{d}x}\right)}{\lim_{n\to\infty}\left[\left(n\int_{0}^{1}\frac{x^{n-1}}{1+x}\mathrm{d}x-\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{n}{2}\right]}=520$$ $$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{\sqrt[x]{2}+\sqrt[x]{53}+\sqrt[x]{49069}}{3}\right)^{3x}=5201314$$

章节大纲

上册（一元微积分）

• 函数与极限：数列与函数极限、$\varepsilon$ 语言证明、极限计算方法全家桶、各型未定式、Stolz 定理、连续与间断点。
• 导数与微分：导数定义、求导法则、高阶导数与莱布尼茨公式、中值定理证明套路、洛必达、泰勒展开、导数应用与相关变化率。
• 一元积分学：不定积分各法、定积分技巧（区间再现、点火公式）、反常积分判敛与 $\Gamma$ 函数、几何与物理应用。
• 微分方程：一阶 ODE 各型、可降阶高阶 ODE、常系数线性与待定系数、欧拉方程、建模算例。

下册（多元微积分与级数）

• 多元函数微积分：偏导、全微分、方向导数与梯度、多元极值与拉氏乘数法、重积分（极坐标 / 柱 / 球）、曲线曲面积分、场论三大公式。
• 无穷级数：数项级数各判别法、幂级数收敛域与和函数、函数展开、傅里叶级数、求和技巧。

速查表

常见极限

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,\quad \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e,\quad \lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$$

基本求导

$$(x^a)'=ax^{a-1},\quad (\sin x)'=\cos x,\quad (e^x)'=e^x,\quad (\ln x)'=\frac{1}{x}$$

基本积分

$$\int x^a\mathrm{d}x=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C\,(a\ne -1),\quad \int\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln|x|+C$$ $$\int e^x\mathrm{d}x=e^x+C,\quad \int\sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C$$

tip

公式记忆建议：导数与积分互为逆运算，只记一组、推另一组。 基本初等函数的求导熟练后，积分公式表大半可以「反着背」。

学习建议

• 先理解定义、再记公式。 高数所有公式都能从极限定义推出，硬背容易遗漏成立条件。
• 多做计算题。 求极限 / 求导 / 求积分三类基本功必须熟练，否则后续无法专注于推理。
• 善用几何直观。 切线、面积、旋转体、向量场等都有清晰的图像，配合代数推导事半功倍。