三角函数

参考资料

• 三角函数 - 维基百科
• 《关于我不背三角公式，高考数学144这件事》 一个式子推出所有三角公式 - bilibili

基础知识

任意角

一条射线绕端点 逆时针 旋转形成的角称为 正角，顺时针 旋转形成的角称为 负角。

由于旋转方向和圈数都不受限制，任意角的大小可以是 任意实数。

弧度制

小学和初中常用的角度单位是 角度制，将一个周角平均分为 $360$ 份，其中每一份定义为 $1^\circ$。

但在更高层次的数学中，我们发现同一角的 弧长 与 半径 的比值是一个常数，据此引入了另一种角度单位——弧度制。

一个 $360^\circ$ 的周角对应整个圆周，其弧长为 $2\pi r$，半径为 $r$，所以比值为 $\frac{2\pi r}{r}=2\pi$，因此 $360^\circ=2\pi$ 弧度。

弧度与角度成正比，因此可以通过换算得到：

角度	弧度	角度	弧度
$0^\circ$	$0$	$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$
$15^\circ$	$\frac{\pi}{12}$	$120^\circ$	$\frac{2\pi}{3}$
$30^\circ$	$\frac{\pi}{6}$	$180^\circ$	$\pi$
$45^\circ$	$\frac{\pi}{4}$	$270^\circ$	$\frac{3\pi}{2}$
$60^\circ$	$\frac{\pi}{3}$	$360^\circ$	$2\pi$

单位圆

单位圆 指平面直角坐标系上，圆心为 原点 $O(0,0)$ 且半径为 单位长度 $1$ 的圆，方程为：

$$x^2+y^2=1$$

定义

锐角三角函数（直角三角形）

在初中阶段，我们学过 锐角 三角函数的定义：在 直角三角形 中，以一个 锐角 $\theta$ 为基准，定义 对边 $a$、邻边 $b$ 和 斜边 $c$ 中两边之比的函数。

如果，令：

$$\theta=\angle BAC,a=|BC|,b=|AC|,c=|AB|$$

每个三角函数的定义为：

$$\sin\theta=\frac{a}{c},\cos\theta=\frac{b}{c},\tan\theta=\frac{a}{b},\cot\theta=\frac{b}{a},\sec\theta=\frac{c}{b},\csc\theta=\frac{c}{a}$$

任意角三角函数（单位圆）

锐角三角函数定义是基于 直角三角形 的，但直角三角形的锐角只能在 $(0,\frac{\pi}{2})$ 范围内。

超出这个范围的三角函数就没有意义了，所以高中时会用 单位圆 定义 任意角 三角函数。

如图，将斜边为 $1$ 的直角三角形 $\triangle ABC$ 放入单位圆内。

代入 $\sin$ 和 $\cos$ 的锐角三角函数的定义：

$$\cos\theta=\frac{b}{c}=b,\sin\theta=\frac{a}{c}=a$$

而 $b$ 和 $a$ 是该直角三角形的两条直角边，也就是点 $B$ 的 横坐标 和 纵坐标.

因此，单位圆上辐角为 $\theta$ 的点 $B$ 的坐标为：

$$B(\cos\theta,\sin\theta)$$

tip

这个点的坐标是 $(\cos\theta,\sin\theta)$，注意 $\cos$ 和 $\sin$ 的位置顺序。

这就是 $\sin$ 和 $\cos$ 的定义，其他三角函数都可以通过它们计算得出。

性质

基本性质

函数	$\sin x$	$\cos x$	$\tan x$	$\cot x$	$\sec x$	$\csc x$
名称	正弦	余弦	正切	余切	正割	余割
定义	$\frac{a}{c}$	$\frac{b}{c}$	$\frac{a}{b}$	$\frac{b}{a}$	$\frac{c}{b}$	$\frac{c}{a}$
定义域	$x\in\mathbb{R}$	$x\in\mathbb{R}$	$x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi$	$x\ne k\pi$	$x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi$	$x\ne k\pi$
值域	$y\in[-1,1]$	$y\in[-1,1]$	$y\in\mathbb{R}$	$y\in\mathbb{R}$	$y\le1 \lor y\ge1$	$y\le1 \lor y\ge1$
奇偶性	奇函数	偶函数	奇函数	奇函数	偶函数	奇函数
周期	$2\pi$	$2\pi$	$\pi$	$\pi$	$2\pi$	$2\pi$

函数图像

三角函数的图像。

红色为 $\sin$，蓝色为 $\cos$，绿色为 $\tan$，橙色为 $\cot$，紫色为 $\sec$，黑色为 $\csc$。

正弦函数的图象叫做 正弦曲线：

$$y=\sin x$$

余弦函数同理。更一般的形式如下：

$$y=A\cos(\omega x+\varphi)$$

常用值速查表

角度	弧度	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$	$\cot\theta$	$\sec\theta$	$\csc\theta$
$0^\circ$	$0$	$0$	$1$	$0$	$\infty$	$1$	$\infty$
$15^\circ$	$\frac{\pi}{12}$	$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$2-\sqrt{3}$	$2+\sqrt{3}$	$\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$	$\frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$
$30^\circ$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$	$\frac{2}{\sqrt{3}}$	$2$
$45^\circ$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$
$60^\circ$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$2$	$\frac{2}{\sqrt{3}}$
$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$	$1$	$0$	$\infty$	$0$	$\infty$	$1$
$120^\circ$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-2$	$\frac{2}{\sqrt{3}}$
$180^\circ$	$\pi$	$0$	$-1$	$0$	$\infty$	$-1$	$\infty$
$270^\circ$	$\frac{3\pi}{2}$	$-1$	$0$	$\infty$	$0$	$\infty$	$-1$
$360^\circ$	$2\pi$	$0$	$1$	$0$	$\infty$	$1$	$\infty$

恒等式

平方恒等式

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$ $$1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha$$ $$\cot^2\alpha+1=\csc^2\alpha$$

商数恒等式

$$\tan{\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$ $$\cot{\alpha}=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$$

倒数恒等式

$$\sin\alpha=\frac{1}{\csc\alpha}$$ $$\cos\alpha=\frac{1}{\sec\alpha}$$ $$\tan\alpha=\frac{1}{\cot\alpha}$$

积的恒等式

$$\sin\alpha=\tan\alpha\cos\alpha$$ $$\cos\alpha=\cot\alpha\sin\alpha$$ $$\tan\alpha=\sin\alpha\sec\alpha$$ $$\cot\alpha=\cos\alpha\csc\alpha$$ $$\sec\alpha=\tan\alpha\csc\alpha$$ $$\csc\alpha=\sec\alpha\cot\alpha$$

推导过程

在 $\triangle ABC$ 中，根据勾股定理：

$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$

等式两边同时除以 $\sin^2\theta$ 或 $\cos^2\theta$ 可得：

$$1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha$$ $$\cot^2\alpha+1=\csc^2\alpha$$

对于其他三组恒等式，将三角函数的定义代入即可证明。

Example

$$\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{a/c}{b/c}=\frac{a}{b}=\tan\theta$$

公式

两角和差公式

无字证明

一个优雅的无字证明：

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$

推导过程

tip

余弦差角公式 是本文 唯一 需要通过几何推导来证明的公式。

其他公式都可以通过代入已有公式推导得出。

余弦差角公式推导：

如图，设 $\angle AOB'=\alpha,\angle BOB'=\beta$，则 $A,B$ 两点的坐标分别为 $A(\cos\alpha,\sin\alpha),B(\cos\beta,\sin\beta)$。

将 $OA$ 和 $OB$ 同时绕原点顺时针旋转 $\beta$，得到 $OA'$ 和 $OB'$。此时 $OB'$ 和 $x$ 轴重合，而 $\angle A'OB'=\alpha-\beta$。

所以 $A',B'$ 两点的坐标分别为 $A'(\cos(\alpha-\beta),\sin(\alpha-\beta)),B'(1,0)$。

根据距离公式：

$$\begin{aligned} |AB|^2 &= (\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2 \\ &= \cos^2\alpha-2\cos\alpha\cos\beta+\cos^2\beta+sin^2\alpha-2\sin\alpha\sin\beta+sin^2\beta \\ &= 2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} |A'B'|^2 &= (\cos(\alpha-\beta)-1)^2+(\sin(\alpha-\beta)-0)^2 \\ &= \cos^2(\alpha-\beta)-2\cos(\alpha-\beta)+1+\sin^2(\alpha+\beta) \\ &= 2-2\cos(\alpha-\beta) \end{aligned}$$

显然 $\triangle ABO\cong\triangle A'B'O$，因此：

$$|AB|^2=|A'B'|^2$$ $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

余弦和角公式推导：

$$\begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)} &= \cos{(\alpha-(-\beta))} \\ &= \cos{\alpha}\cos{(-\beta)}+\sin{\alpha}\sin{(-\beta)} \\ &= \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned}$$

正弦差角公式推导：

$$\cos{(\frac{\pi}{2}-\theta)}=\cos{\frac{\pi}{2}}\cos{\theta}+\sin{\frac{\pi}{2}}\sin{\theta}=\sin{\theta}$$ $$\sin{(\frac{\pi}{2}-\theta)}=\cos{(\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{2}-\theta))}=\cos{\theta}$$ $$\begin{aligned} \sin{(\alpha-\beta)} &= \cos{(\frac{\pi}{2}-(\alpha-\beta))} \\ &= \cos{((\frac{\pi}{2}-\alpha)+\beta)} \\ &= \cos{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}\cos{\beta}-\sin{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}\sin{\beta} \\ &= \sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned}$$

正弦和角公式推导：

$$\begin{aligned} \sin{(\alpha+\beta)} &= \sin{(\alpha-(-\beta))} \\ &= \sin{\alpha}\cos{(-\beta)}+\cos{\alpha}\sin{(-\beta)} \\ &= \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned}$$

正切差角公式推导：

$$\begin{aligned} \tan{(\alpha-\beta)} &= \frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{(\alpha-\beta)}} \\ &= \frac{\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}} \\ &= \frac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{1+\tan{\alpha}\tan{\beta}} \end{aligned}$$

正切和角公式推导：

$$\begin{aligned} \tan{(\alpha+\beta)} &= \tan{(\alpha-(-\beta))} \\ &= \frac{\tan{\alpha}-\tan{(-\beta)}}{1+\tan{\alpha}\tan{(-\beta})} \\ &= \frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}} \end{aligned}$$

公式总结

$$\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$$ $$\sin{(\alpha-\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}$$ $$\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}$$ $$\cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$$ $$\tan{(\alpha+\beta)}=\frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}}$$ $$\tan{(\alpha-\beta)}=\frac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{1+\tan{\alpha}\tan{\beta}}$$

诱导公式

推导过程

诱导公式可以用和差角公式直接计算。

Example

$$\sin{(\frac{\pi}{2}+\alpha)}=\sin{\frac{\pi}{2}}\cos{\alpha}+\cos{\frac{\pi}{2}}\sin{\alpha}=\cos{\alpha}$$

记忆方法

「奇变偶不变，符号看象限。」

1. 奇变偶不变：奇偶是指 $\frac{\pi}{2}$ 的系数，例如 $\frac{\pi}{2}$ 和 $\frac{3\pi}{2}$ 是奇数，而 $\pi$ 和 $2\pi$ 是偶数。如果是偶数，公式前后函数名保持不变；如果是奇数，变为对应的函数名：

$$\sin\leftrightarrow\cos,\tan\leftrightarrow\cot,\sec\leftrightarrow\csc$$

2. 符号看象限：将 $\alpha$ 视为第一象限的角（例如 $\alpha=\frac{\pi}{4}$），计算前面函数的自变量在后面函数中的值的正负号：

象限	范围	$\sin{\alpha}$	$\cos{\alpha}$	$\tan{\alpha}$	$\cot{\alpha}$	$\sec{\alpha}$	$\csc{\alpha}$
第一象限	$(2k\pi,2k\pi+\frac{\pi}{2})$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
第二象限	$(2k\pi+\frac{\pi}{2},2k\pi+\pi)$	$+$	$-$	$-$	$-$	$-$	$+$
第三象限	$(2k\pi+\pi,2k\pi+\frac{3\pi}{2})$	$-$	$-$	$+$	$+$	$-$	$-$
第四象限	$(2k\pi+\frac{3\pi}{2},2k\pi+2\pi)$	$-$	$+$	$-$	$-$	$+$	$-$

原理：单位圆具有对称性和周期性；所有三角函数在第一象限内均为正数。

Example

化简 $\sin{(\frac{3\pi}{2}-\alpha)}$。

1. $\frac{3\pi}{2}=3\cdot\frac{\pi}{2}$，系数 $3$ 是奇数，所以要将 $\sin$ 变为 $\cos$。
2. 把 $\alpha$ 看作第一象限角，则 $\frac{3\pi}{2}-\alpha$ 为第三象限角，$\cos$ 在第三象限为负数，所以为负号。

综上所述，$\sin{(\frac{3\pi}{2}-\alpha)}=-\cos{\alpha}$。

tip

「诱导」指由现有结构自然生成的相关结构。

公式总结

第一组（$\frac{\pi}{2}$）

$$\sin{(\frac{\pi}{2}+\alpha)}=\cos{\alpha}$$ $$\sin{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}=\cos{\alpha}$$ $$\cos{(\frac{\pi}{2}+\alpha)}=-\sin{\alpha}$$ $$\cos{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}=\sin{\alpha}$$

第二组（$\pi$）

$$\sin{(\pi+\alpha)}=-\sin{\alpha}$$ $$\sin{(\pi-\alpha)}=\sin{\alpha}$$ $$\cos{(\pi+\alpha)}=-\cos{\alpha}$$ $$\cos{(\pi-\alpha)}=-\cos{\alpha}$$

第三组（$\frac{3\pi}{2}$）

$$\sin{(\frac{3\pi}{2}+\alpha)}=-\cos{\alpha}$$ $$\sin{(\frac{3\pi}{2}-\alpha)}=-\cos{\alpha}$$ $$\cos{(\frac{3\pi}{2}+\alpha)}=\sin{\alpha}$$ $$\cos{(\frac{3\pi}{2}-\alpha)}=-\sin{\alpha}$$

第四组（$2\pi$）

$$\sin{(2\pi+\alpha)}=\sin{\alpha}$$ $$\sin{(2\pi-\alpha)}=-\sin{\alpha}$$ $$\cos{(2\pi+\alpha)}=\cos{\alpha}$$ $$\cos{(2\pi-\alpha)}=\cos{\alpha}$$

二倍角公式

推导过程

余弦二倍角公式推导：

$$\begin{aligned} \cos{2\alpha} &= \cos{(\alpha+\alpha)} \\ &= \cos{\alpha}\cos{\alpha}-\sin{\alpha}\sin{\alpha} \\ &= \cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}=1-2\sin^2{\alpha}=2\cos^2{\alpha}-1 \end{aligned}$$

tip

最后一行的三个公式等价。

正弦二倍角公式推导：

$$\begin{aligned} \sin{2\alpha} &= \sin{(\alpha+\alpha)} \\ &= \sin{\alpha}\cos{\alpha}+\cos{\alpha}\sin{\alpha} \\ &= 2\sin{\alpha}\cos{\alpha} \end{aligned}$$

正切二倍角公式推导：

$$\begin{aligned} \tan{2\alpha} &= \frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}} \\ &= \frac{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}} \\ &= \frac{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}} \\ &= \frac{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}/\cos^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}/\cos^2{\alpha}- \sin^2{\alpha}/\cos^2{\alpha}} \\ &= \frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2{\alpha}} \end{aligned}$$

公式总结

$$\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$$ $$\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}=1-2\sin^2{\alpha}=2\cos^2{\alpha}-1$$ $$\tan{2\alpha}=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2{\alpha}}$$

三倍角公式

推导过程

正弦三倍角公式推导：

$$\begin{aligned} \sin{3\alpha} &= \sin{(2\alpha+\alpha)} \\ &= \sin{2\alpha}\cos{\alpha}+\cos{2\alpha}\sin{\alpha} \\ &= 2\sin{\alpha}(1-\sin^2{\alpha})+(1-2\sin^2{\alpha})\sin{\alpha} \\ &= 3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha} \end{aligned}$$

余弦三倍角公式推导：

$$\begin{aligned} \cos{3\alpha} &= \cos{(2\alpha+\alpha)} \\ &= \cos{2\alpha}\cos{\alpha}-\sin{2\alpha}\sin{\alpha} \\ &= (2\cos^2{\alpha}-1)\cos{\alpha}-2(1-\cos^2{\alpha})\cos{\alpha} \\ &= 4\cos^3{\alpha}-3\cos{\alpha} \end{aligned}$$

正切三倍角公式推导：

$$\begin{aligned} \tan{3\alpha} &= \frac{\sin{3\alpha}}{\cos{3\alpha}} \\ &= \frac{3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha}}{4\cos^3{\alpha}-3\cos{\alpha}} \\ &= \frac{4\sin{\alpha}\sin{(\frac{\pi}{3}+\alpha)}\sin{(\frac{\pi}{3}-\alpha)}}{4\cos{\alpha}\cos{(\frac{\pi}{3}-\alpha)}\cos{(\frac{\pi}{3}+\alpha)}} \\ &= \tan{\alpha}\tan{(\frac{\pi}{3}-\alpha)}\tan{(\frac{\pi}{3}+\alpha)} \end{aligned}$$

公式总结

$$\sin{3\alpha}=3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha}$$ $$\cos{3\alpha}=-3\cos{\alpha}+4\cos^3{\alpha}$$ $$\tan{3\alpha}=\tan{\alpha}\tan{(\frac{\pi}{3}-\alpha)}\tan{(\frac{\pi}{3}+\alpha)}$$

半角公式

推导过程

余弦半角公式推导：

$$\cos{2\theta}=2\cos^2{\theta}-1$$

令 $\alpha=2\theta$。

$$\begin{array}{l} \cos{\alpha}=2\cos^2{\frac{\alpha}{2}}-1 \\ \Rightarrow \cos^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1+\cos{\alpha}}{2} \\ \Rightarrow \cos{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos{\alpha}}{2}} \end{array}$$

正弦半角公式推导：

$$\cos{2\theta}=1-2\sin^2{\theta}$$

令 $\alpha=2\theta$。

$$\begin{array}{l} \cos{\alpha}=1-2\sin^2{\frac{\alpha}{2}} \\ \Rightarrow \sin^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos{\alpha}}{2} \\ \Rightarrow \sin{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{2}} \end{array}$$

正切半角公式推导：

$$\begin{aligned} \tan{\frac{\alpha}{2}} &= \frac{\sin{\frac{\alpha}{2}}}{\cos{\frac{\alpha}{2}}} \\ &= \frac{\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{2}}}{\pm\sqrt{\frac{1+\cos{\alpha}}{2}}} \\ &= \pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \tan{\frac{\alpha}{2}} &= \frac{\sin{\frac{\alpha}{2}}}{\cos{\frac{\alpha}{2}}} \\ &= \frac{\sin{\frac{\alpha}{2}}\cdot2\cos{\frac{\alpha}{2}}}{\cos{\frac{\alpha}{2}}\cdot2\cos{\frac{\alpha}{2}}} \\ &= \frac{2\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}}{2\cos^2{\frac{\alpha}{2}}} \\ &= \frac{\sin{\alpha}}{1+\cos{\alpha}} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \tan{\frac{\alpha}{2}} &= \frac{\sin{\frac{\alpha}{2}}}{\cos{\frac{\alpha}{2}}} \\ &= \frac{\sin{\frac{\alpha}{2}}\cdot2\sin{\frac{\alpha}{2}}}{\cos{\frac{\alpha}{2}}\cdot2\sin{\frac{\alpha}{2}}} \\ &= \frac{2\sin^2{\frac{\alpha}{2}}}{2\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}} \\ &= \frac{1-\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} \end{aligned}$$

tip

以上的三个正切半角公式等价。

公式总结

$$\sin{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{2}}$$ $$\cos{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos{\alpha}}{2}}$$ $$\tan{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}}=\frac{\sin{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}=\frac{1-\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$$

积化和差公式

推导过程

正弦两角和差公式：

$$\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$$ $$\sin{(\alpha-\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}$$

令 $\sin{\alpha}\cos{\beta}=x,\cos{\alpha}\sin{\beta}=y$。

已知 $x,y$ 两数的和为 $\sin{(\alpha+\beta)}$，差为 $\sin{(\alpha-\beta)}$。

这是 小学二年级 的和差问题：

$$x=\sin{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}[\sin{(\alpha+\beta)}+\sin{(\alpha-\beta)}]$$ $$y=\cos{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}[\sin{(\alpha+\beta)}-\sin{(\alpha-\beta)}]$$

同理，用余弦两角和差公式，可以求出另外两组积化和差公式：

$$\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}=x-y$$ $$\cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}=x+y$$ $$x=\cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}[\cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)}]$$ $$y=\sin{\alpha}\sin{\beta}=-\frac{1}{2}[\cos{(\alpha+\beta)}-\cos{(\alpha-\beta)}]$$

记忆方法

sc=(s+s)/2
cs=(s-s)/2
cc=(c+c)/2
ss=-(c-c)/2

公式总结

$$\sin{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}[\sin{(\alpha+\beta)}+\sin{(\alpha-\beta)}]$$ $$\cos{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}[\sin{(\alpha+\beta)}-\sin{(\alpha-\beta)}]$$ $$\cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}[\cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)}]$$ $$\sin{\alpha}\sin{\beta}=-\frac{1}{2}[\cos{(\alpha+\beta)}-\cos{(\alpha-\beta)}]$$

和差化积公式

推导过程

积化和差公式：

$$\sin{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}[\sin{(\alpha+\beta)}+\sin{(\alpha-\beta)}]$$ $$\cos{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}[\sin{(\alpha+\beta)}-\sin{(\alpha-\beta)}]$$ $$\cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}[\cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)}]$$ $$\sin{\alpha}\sin{\beta}=-\frac{1}{2}[\cos{(\alpha+\beta)}-\cos{(\alpha-\beta)}]$$

令 $\alpha+\beta=A,\alpha-\beta=B$，则 $\alpha=\frac{A+B}{2},\beta=\frac{A-B}{2}$。

代入积化和差公式：

$$\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}=\frac{1}{2}[\sin{A}+\sin{B}]$$ $$\cos{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}=\frac{1}{2}[\sin{A}-\sin{B}]$$ $$\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}=\frac{1}{2}[\cos{A}+\cos{B}]$$ $$\sin{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}=-\frac{1}{2}[\cos{A}-\cos{B}]$$

移项得：

$$\sin{A}+\sin{B}=2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}$$ $$\sin{A}-\sin{B}=2\cos{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}$$ $$\cos{A}+\cos{B}=2\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}$$ $$\cos{A}-\cos{B}=-2\sin{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}$$

公式总结

$$\sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}$$ $$\sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}$$ $$\cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}$$ $$\cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}$$

辅助角公式

推导过程

$$\begin{aligned} a\sin{\theta}+b\cos{\theta} &= \sqrt{a^2+b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin{\theta}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos{\theta}) \\ &= \sqrt{a^2+b^2}(\cos{\varphi}\sin{\theta}+\sin{\varphi}\cos{\theta}) \\ &= \sqrt{a^2+b^2}\sin{(\theta+\varphi)} \end{aligned}$$

tip

第一行到第二行，$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 和 $\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 的平方和等于 $1$，而 $\cos{\varphi}$ 和 $\sin{\varphi}$ 的平方和也等于 $1$，所以可以换元。

同理，可以将 $\cos{\varphi}$ 和 $\sin{\varphi}$ 交换位置。

$$\begin{aligned} a\sin{\theta}+b\cos{\theta} &= \sqrt{a^2+b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin{\theta}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos{\theta}) \\ &= \sqrt{a^2+b^2}(\sin{\varphi}\sin{\theta}+\cos{\varphi}\cos{\theta}) \\ &= \sqrt{a^2+b^2}\cos{(\theta-\varphi)} \end{aligned}$$

公式总结

$$a\sin{\theta}+b\cos{\theta}=\sqrt{a^2+b^2}\sin{(\theta+\varphi)},\tan{\varphi}=\frac{b}{a}$$ $$a\sin{\theta}+b\cos{\theta}=\sqrt{a^2+b^2}\cos{(\theta-\varphi)},\tan{\varphi}=\frac{a}{b}$$

万能公式

推导过程

正弦万能公式推导：

$$\begin{aligned} \sin{\alpha} &= \sin{(\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2})} \\ &= 2\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}} \\ &= \frac{2\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}}{\cos^2{\frac{\alpha}{2}}+\sin^2{\frac{\alpha}{2}}} \\ &= \frac{2\tan{\frac{\alpha}{2}}}{1+\tan^2{\frac{\alpha}{2}}} \end{aligned}$$

余弦万能公式推导：

$$\begin{aligned} \cos{\alpha} &= \cos{(\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2})} \\ &= \cos^2{\frac{\alpha}{2}}-\sin^2{\frac{\alpha}{2}} \\ &= \frac{\cos^2{\frac{\alpha}{2}}-\sin^2{\frac{\alpha}{2}}}{\cos^2{\frac{\alpha}{2}}+\sin^2{\frac{\alpha}{2}}} \\ &= \frac{1-\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}{1+\tan^2{\frac{\alpha}{2}}} \end{aligned}$$

正切万能公式推导：

$$\tan{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=\frac{2\tan{\frac{\alpha}{2}}}{1-\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}$$

公式总结

$$\sin{\alpha}=\frac{2\tan{\frac{\alpha}{2}}}{1+\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}$$ $$\cos{\alpha}=\frac{1-\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}{1+\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}$$ $$\tan{\alpha}=\frac{2\tan{\frac{\alpha}{2}}}{1-\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}$$

应用

三角函数在几何中广泛应用：

详见 解三角形。

详见 直线和圆。

扩展

以下内容为 高中物理 或 大学数学 的内容，可作为扩展阅读。

反三角函数

$$\sin{(\arcsin x)}=x$$

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双曲函数

$$e^{j\theta}=\cosh{\theta}+j\sinh{\theta}$$

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简谐运动

$$x=A\cos{(\omega t+\varphi)}$$

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傅里叶变换

$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}\mathrm{d}x$$

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