初高衔接

一些初中不讲，但高中默认掌握的内容。

乘法公式

平方公式

初中课本中学过的三个乘法公式：

1. 平方差公式

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$

2. 完全平方和公式

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

3. 完全平方差公式

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

立方公式

将平方改为立方，展开得到：

1. 完全立方和公式

$$\begin{aligned} (a+b)^3 &= (a+b)(a+b)(a+b) \\ &= (a^2+2ab+b^2)(a+b) \\ &= a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3 \\ &= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{aligned}$$

将 $b$ 替换为 $-b$，得到：

2. 完全立方差公式

$$\begin{aligned} (a-b)^3 &= (a+(-b))^3 \\ &= a^3+3a^2(-b)+3a(-b)^2+(-b)^3 \\ &= a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \end{aligned}$$

将完全立方和公式移项，得到：

3. 立方和公式

$$\begin{aligned} a^3+b^3 &= (a+b)^3-3a^2b-3ab^2 \\ &= (a+b)^3-3ab(a+b) \\ &= (a+b)((a+b)^2-3ab) \\ &= (a+b)(a^2-ab+b^2) \end{aligned}$$

同理，将完全立方差公式移项，得到：

4. 立方差公式

$$\begin{aligned} a^3-b^3 &= (a-b)^3+3a^2b-3ab^2 \\ &= (a-b)^3+3ab(a-b) \\ &= (a-b)((a-b)^2+3ab) \\ &= (a-b)(a^2+ab+b^2) \end{aligned}$$

公式总结

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$ $$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$ $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$ $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

公式应用

化简二重根式（嵌套根式）

因式分解