数列

数学归纳法

定义

《人教版高中数学·选修二》：一般地，证明一个与正整数 $n$ 有关的命题，可按下列步骤进行：

1. （归纳奠基）证明当 $n=n_0$（$n_0\in\mathbb{N}^*$）时命题成立；
2. （归纳递推）以“当 $n=k$（$k\in\mathbb{N}^*,k\ge n_0$）时命题成立”为条件，推出“当 $n=k+1$ 时命题也成立”。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 $n_0$ 开始的所有正整数 $n$ 都成立，这种证明方法称为 数学归纳法（mathematical induction）。

理解

数学归纳法就是如果先证明了 第一步 成立，然后再证明只要 前一步 成立时 下一步 也一定成立，那么我们就能确定这个结论对所有情况都成立。

类似多米诺骨牌，如果 第一块 被推倒，且 前一块 被推倒后 下一块 也一定被推倒，那么所有骨牌都会被推倒。

Example

证明 $S_n=1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$。

由于 $S_1=1=\frac{1\times 2}{2}$ 成立，且若 $S_{n-1}=\frac{n(n-1)}{2}$ 成立，则 $S_{n+1}=\frac{n(n-1)}{2}+n=\frac{n(n+1)}{2}$ 成立。

因此，其对于任意自然数都成立。